事件的独立性

2.3.2 事件的独立性

双基达标 限时15分钟

121．已知A、B是相互独立事件，且P(A)＝2P(B)＝3P(AB)＝________；

P(AB)＝________.

11解析 P(A)＝2，∴P(A)＝2，

1P(B)＝1－P(B)＝3.

∵A、B相互独立，∴A与B，A与B也相互独立，

1∴P(AB)＝P(A)·P(B)＝6

1∴P(AB)＝P(A)·P(B)＝611答案 6 6

2．下列事件A、B是相互独立事件的是________．

①一枚硬币掷两次，事件A表示“第一次为正面”，事件B表示“第二次为反面” ②袋中有2白，2黑的小球，不放回的摸两球，事件A表示“第一次摸到白球”，事件B表示“第二次摸到白球” ③掷一枚骰子，事件A表示“出现的点数为奇数”，事件B表示“出现的点数为偶数” ④事件A表示“人能活到20岁”，事件B表示“人能活到50岁”

答案 ①

3．将一枚硬币连续抛掷5次，5次都出现正面朝上的概率是________．

111解析 每一次出现正面朝上的概率为2，且它们相互独立，所以P＝25＝32

1答案 32

4．某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次

16的概率为25，则该队员每次罚球的命中率为________．

解析 设该队员每次罚球的命中率为p(其中0＜p＜1)，则依题意有1－p2＝16932，p.又0＜p＜1，因此有p＝252553答案 5

115．有一道数学难题，在半小时内甲能解决的概率是23，两

人试图独立地在半小时解决，则两人都未解决的概率为________．

111解析 都未解决的概率为1－2×1－3＝3

1答案 3

6．设甲、乙、丙三人每次射击命中目标的概率分别为0.7、0.6和0.5.三人各向目标射击一次，求至少有一人命中目标的概率及恰有两人命中目标的概率． 解 设Ak表示“第k人命中目标”，k＝1,2,3.

这里，A1，A2，A3独立，且P(A1)＝0.7，P(A2)＝0.6，P(A3)＝0.5.

从而，至少有一人命中目标的概率为1－P(A1·A2·A3)＝1－P(A1)P(A2)P(A3)＝1－0.3×0.4×0.5＝0.94.

恰有两人命中目标的概率为

P(A1·A2·A3＋A1·A2·A3＋A1·A2·A3)

＝P(A1·A2·A3)＋P(A1·A2·A3)＋P(A1·A2·A3)

＝P(A1)P(A2)P(A3)＋P(A1)P(A2)P(A3)＋

P(A1)P(A2)P(A3)＝0.7×0.6×0.5＋0.7×0.4×0.5＋0.3×0.6×0.5＝0.44. ∴至少有一人命中目标的概率为0.94，恰有两人命中目标的概率为0.44.

综合提高 限时30分钟

7．在一次数学考试中，第14题和第15题为选做题．规定每位考生必须且只须

1在其中选做一题．设4名考生选做这两题的可能性均为2则其中甲、乙两名

学生选做同一道题的概率为________．

解析 设事件A表示“甲选做第14题”，事件B表示“乙选做第14题”，

则甲、乙2名学生选做同一道题的事件为“AB＋A B”，且事件A、B相互独立

∴P(AB＋A B)＝P(A)P(B)＋P(A)P(B)

11111＝2×2＋1－2×1－2＝2

1∴甲、乙两名学生选做同一道题的概率为2.

1答案 2

8．甲、乙、丙三人将参加某项测试，他们能达标的概率分别是0.8,0.6,0.5，则三人都达标的概率为________，三人中至少有一人达标的概率为________． 解析 每个人是否达标是相互独立的，“三人中至少有一人达标”的对立事件为“三人均未达标”，设三人都达标为事件A，三人中至少有一人达标为事件B，则P(A)＝0.8×0.6×0.5＝0.24，P(B)＝1－0.2×0.4×0.5＝0.96. 答案 0.24 0.96

9．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于________．

解析 此选手恰好回答4个问题就晋级下一轮，说明此选手第2个问题回答错误，第3、第4个问题均回答正确，第1个问题答对答错都可以．因为每个问题的回答结果相互独立，故所求的概率为1×0.2×0.82＝0.128.

答案 0.128

110．从某地区的儿童中挑选体操学员，已知儿童体型合格的概率为51构造合格的概率为4，从中任挑一儿童，这两项至少有一项合格的概率是

________(假定体型与身体关节构造合格与否相互之间没有影响)．

113解析 两项都不合格的概率为P＝1－5×1－4＝5， 

32∴至少有一项合格的概率是1－55

2答案 5

11．某课程考核分理论与实验两部分进行，每部分考核成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考核都是“合格”，则该课程考核“合格”，若甲、乙、丙三人在理论考核中合格的概率分别为0.9,0.8,0.7，在实验考核中合格的概率分别为0.8,0.7,0.9，所有考核是否合格相互之间没有影响．

(1)求甲、乙、丙三人在理论考核中至少有两人合格的概率；

(2)求这三个人该课程考核都合格的概率(结果保留三位小数)．

解 记“甲理论考核合格”为事件A1，“乙理论考核合格”为事件A2，“丙理论考核合格”为事件A3，记事件Ai为Ai的对立事件，i＝1,2,3.记“甲实验考核合格”为事件B1，“乙实验考核合格”为事件B2，“丙实验考核合格”为事件B3.

(1)记“理论考核中至少有两人合格”为事件C，记C为事件C的对立事件， P(C)＝P(A1A2A3＋A1A2A3＋A1A2A3＋A1A2A3)

＝P(A1A2A3)＋P(A1A2A3)＋P(A1A2A3)＋P(A1A2A3)

＝0.9×0.8×0.7＋0.9×0.8×0.3＋0.9×0.2×0.7＋0.1×0.8×0.7＝0.902. 所以，理论考核中至少有两人合格的概率为0.902.

(2)记“三个人该课程考核都合格”为事件D.

P(D)＝P[(A1·B1)·(A2·B2)·(A3·B3)]

＝P(A1·B1)·P(A2·B2)·P(A3·B3)

＝P(A1)·P(B1)·P(A2)·P(B2)·P(A3)·P(B3)

＝0.9×0.8×0.8×0.7×0.7×0.9≈0.254.

所以，这三个人该课程考核都合格的概率为0.254.

12．如图，由M到N的电路中有4个元件，分别标为T1，T2，T3，T4，电流能通过T1，T2，T3的概率都是p，电流能通过T4的概率是0.9.电流能否通过各元件相互独立．已知T1，T2，T3中至少有一个能通过电流的概率为

0.999.

(1)求p；

(2)求电流能在M与N之间通过的概率．

解 记Ai表示事件：电流能通过Ti，i＝1,2,3,4.A表示事件：T1，T2，T3中至少有一个能通过电流．B表示事件：电流能在M与N之间通过．

(1)A＝A1·A2·A3，A1，A2，A3相互独立，

P(A)＝P(A1·A2·A3)＝P(A1)P(A2)P(A3)

＝(1－p)3，又P(A)＝1－P(A)＝1－0.999＝0.001，

故(1－p)3＝0.001，p＝0.9.

(2)B＝A4＋(A4·A1·A3)∪(A4·A1·A2·A3)

P(B)＝P(A4)＋P(A4·A1·A3＋A4·A1·A2·A3)，

＝P(A4)＋P(A4)P(A1)P(A3)＋P(A4)P(A1)P(A2)P(A3)

＝0.9＋0.1×0.9×0.9＋0.1×0.1×0.9×0.9

＝0.989 1.

1113．(创新拓展)甲、乙两人破译一密码，它们能破译的概率分别为3和4，试求：

(1)两人都能破译的概率；

(2)两人都不能破译的概率；

(3)恰有一人能破译的概率；

(4)至多有一人能破译的概率；

(5)若要使破译的概率为99%，至少需要多少乙这样的人？

解 设事件A为“甲能译出”，事件B为“乙能译出”，则A、B相互独立，从而A与B、A与B、A与B均相互独立．

(1)“两人都能译出”为事件AB，则

111P(AB)＝P(A)P(B)＝3412(2)“两人都不能译出”为事件AB，则

P(A B)＝P(A)P(B)＝[1－P(A)][1－P(B)]

111＝1－31－4＝2

(3)“恰有一人能译出”为事件AB＋AB，又A B与AB互斥，则P(AB＋AB)＝P(AB)＋P(AB)

＝P(A)P(B)＋P(A)P(B)

11151＝3×1－4＋1－3×412

(4)“至多一人能译出”为事件AB＋AB＋A B，且AB、AB、AB互斥，故

P(A B＋AB＋A B)

＝P(A)P(B)＋P(A)P(B)＋P(A)P(B)

11111111＝3×1－4＋1－3×41－3×1－4＝12

1n(5)设至少需n个乙这样的人，而n个乙这样的人译不出的概率为1－4，故

1n个乙这样的人能译出的概率为1－1－4n≈99%. 

解得n＝16.

故至少需16个乙这样的人，才能使译出的概率为99%.