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应用定积分求和的极限

12-01

p.438:4 (3 ) 应用定积分求极限 lim

n

k1

n

kp

。 np1

p

解：

k1

n

n

kpkp1nk1p

p ，此式是函数 f(x)x 在区间 0,1 的p1

nnk1nnk1n

特殊积分和：区间 0,1 被分为 n 等分，k 是小区间 

k1k

, 的右端点。函数nn

f(x)xp 在区间 0,1 可积，因而有：所求极限

n

lim

k1

n

1kppxdxp10n

xp1

p1

这一类型题的解题关键一是分离出因式 数。例如本题解答中即是如此。

又如p.438:4 (4 ) ：应用定积分求极限 lim

n

10

1p1

1k

，二是将余下的因式化为 或类似形式的函nn

1nn1nn1 。 n

本例无求和，只有乘积，因而不能直接应用上述解法；但利用对数性质可将乘积转化为求和，这样，即可分离出因式

解：令 y

1 。 n

1nn1nn1 ，则 n

1

lnylnnn1nn1

n

nn1nn1lnnnn1n1kln1nk0n



 

1n1k

ln1 是函数 f(x)lnx 在区间 1,2 的特殊积分和：区间 1,2 被分为 nk0n

kk1

的左端点。函数 f(x)lnx 在区间 1,2 可n 等分，k 是小区间 1,1nn

积，因而有：极限

1

1n1k

limlnylimln1nnnnk0lnxdx

12



定积分

2

1

lnxdxxlnx1

2

2ln211ln112ln2 。函数 ex 在其

1

定义域内连续，因而所求极限

n

limylimelnyen

n

limlny

eln44 。

2


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