切线的证明

中考切线分析

证明切线的方法：1. （已知一条切线证明另一条也是切线）通用的方法是三角形全等

如果这两条切线相等可以运用两个等腰三角形进行证明，此种方法为

等量代换法。

2. （已知中弦长和半径相等或者根据条件可以找到特殊角）通用的方法就

是将要证明的角分为两部分去寻找特殊角的度数，然后证明相加为90°

3. （已知角之间的相等关系）通用的方法就是在已知条件中寻找直角三角

形，将角之间的相等关系转移到要证明的位置，进而得出90°

这是切线证明中的三种类型，具体哪种要根据已知条件具体分析。学会运

用上面几种方法，切忌随便乱找关系导致题的分析思路不到位。

步骤方面需注意：经过半径的外端并且垂直与半径的直线是圆的切线。因此写过程的时候最终要说明谁是半径，要证明的线与半径垂直。

切线中求长度的方法：（1）勾股定理。直接由线段长度运用勾股定理和间接设未知数的方

式运用勾股定理。

在圆中经常体现在垂径定理的运用中。 （2）相似三角形。可以已知两条线段或三条线段就能求长度。已知两

条线段是在两个三角形有公共的一条边（不是对应边）的情况下，或者类似摄影定理的模型下就用到相似三角形。

（3）锐角三角函数。已知中有角之间的相等关系，并且此角能够转移

到直角三角形中才能运用。

备注：锐角三角函数和相似可以通用的情况是在直角三角形中，锐角

三角函数更不容易出错，建议用三角函数去解决问题。有时候在解决切线的题时，以上方法综合运用才能将问题解决。

1

切线的证明

(09石景山一模)

1．已知：如图，点A 是⊙O 上一点，半径OC 的延长线与过点A 的直线交于点B ，

OC =BC ，AC =

1

OB ． 2

（1）求证：AB 是⊙O 的切线；

（2）若∠ACD =45︒，OC =2，求弦CD 的长．

第19题 A

(09西城一摸)

2．已知：如图，AB 为⊙O 的弦，过点O 作AB 的平行线，交⊙O 于点C ，直线OC 上一点D 满足∠D =∠ACB .

（1）判断直线BD 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论；

4

（2）若⊙O 的半径等于4，tan ∠ACB =，求CD 的长.

3

（09昌平一摸） 3．如图，点A 、B 、F 在

O 上，∠AFB =30︒，OB 的延长线交直线AD 于点D ，过点B 作BC ⊥AD 于C ，∠CBD =60︒，连接AB . （1）求证：AD 是O 的切线； （2）若AB =6，求阴影部分的面积.

2

4．（本小题满分5分）

如图，以等腰∆ABC 中的腰AB 为直径作⊙O ，交底边BC 于 点D ．过点D 作DE ⊥AC ，垂足为E ． （I ）求证：DE 为⊙O 的切线；

（II ）若⊙O 的半径为5，∠BAC =60，求DE 的长．

（09房山一摸）

5、（本小题满分5分）

已知：如图，在△ABC 中，∠ACB =90，∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D ，

DE ⊥DB 交AB 于点E ，过B 、D 、E 三点作⊙O ． （1）求证:AC 是⊙O 的切线；

（2）设⊙O 交BC 于点F ，连结EF ，若BC =9， CA=12.

求

EF

的值. AC

（09门头沟一摸） 6．（本小题满分5分）

A

已知：如图，AB 是⊙O 的直径，E 是AB 延长线上的一点，D 是⊙O 上的一点，且AD 平分∠FAE ，ED ⊥AF 交AF 的延长线于点C ．

（1）判断直线CE 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论； （2）若AF ∶FC =

5∶3，AE =16，求⊙O 的直径AB

3

A

7．（本小题满分5分）

如图，点D 是⊙O 直径CA 的延长线上一点，点B 在⊙O 上，且AB ＝AD ＝AO ． （1）求证：BD 是⊙O 的切线；

（2）若点E 是劣弧BC 上一点，弦AE 与BC 相交

2

于点F ，且CF ＝9，cos ∠BFA ＝，求EF 的长．

3

（09顺义一摸）

8、 已知：如图，⊙O 的直径AB =8cm，P 是AB 延长线上的一点，过点P 作⊙O 的切线，切点为C ，连接AC ． (1) 若∠ACP =120︒，求阴影部分的面积；

(2)若点P 在AB 的延长线上运动，∠CPA 的平分线交AC 于点

A

M ，∠CMP 的大小是否发生变化？若变化，请说明理由；若不

变，求出∠CMP 的度数．

（09东城一摸）

9．已知：如图，在△ABC 中，AB = AC ，点D 是边BC 的中点．以BD 为直径作圆O ，交边AB 于点P ，联结PC ，交AD 于点E ． （1）求证：AD 是圆O 的切线；

（2）若PC 是圆O 的切线，BC = 8，求DE 的长．

O

（09怀柔一摸） （第21题） 10．（本小题满分5分）

如图，ΔABC 中，AC=BC，以BC 上一点O 为圆心、OB 为半径作⊙O 交AB 于点D ，已知经过点D 的⊙O 切线恰好经过点C ．

（1）试判断CD 与AC 的位置关系，并证明；

（2）若ΔACB ∽ΔCDB ，且AC=3，求圆心O 到直线AB 的距离． C

4

C

O

A

B

11．已知：如图，△ABC 内接于⊙O ，点D 是AB 边的中点，且∠BAC +∠DCB=90°. 试判断△ABC 的形状并证明.

（09延庆一摸）

12. （本题满分5分）

在Rt △ABC 中，∠C=90， BC=9， CA=12，∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D ，

DE ⊥DB 交AB 于点E ，⊙O 是△BDE 的外接圆，交BC 于点F （1）求证:AC 是⊙O 的切线;

A EF

（2）联结EF ，求的值.

AC

（第19题）

（09密云一摸）

13．（本小题满分5分）

如图，四边形ABCD 内接于O ，BD 是O 的直径，AE ⊥CD 于E ，

DA 平分∠BDE .

（1）求证：AE 是O 的切线；

（2）若∠DBC =30︒, DE =1cm , 求BD 的长.

（09平谷一摸）

14. 如图，AB 是⊙O 的直径，⊙O 交BC 的中点 于D ，DE ⊥AC ，E 是垂足. （1）求证：DE 是⊙O 的切线； （2）如果AB=5,tan∠B=, 求CE 的长.

5

1

E D

C

C

B

15．如图，△ABC 中，AB =AE ，以AB 为直径

作⊙O 交BE 于C ，过C 作CD ⊥AE 于D ， DC 的延长线与AB 的延长线交于点P . （1）求证：PD 是⊙O 的切线； （2）若AE =5，BE =6，求DC 的长.

（09通州二模）

16. 如图：AB 是⊙O 的直径，AD 是弦，∠DAB =22.5，延长AB 到点C ， 使得

∠ACD =2∠DAB ．

(1)求证：CD 是⊙O 的切线；

(2)若AB =，求BC 的长．

（09房山二模）

17．（本小题满分5分）

已知：如图，AB 为⊙O 的直径，AD 为弦，∠DBC =∠A . （1）求证： BC 是⊙O 的切线；

（2）若OC ∥AD ，OC 交BD 于E ，BD=6，CE=4，求AD 的长.

A

（09大兴二模）

18．如图，点C 在以AB 为直径的⊙O 上，CD ⊥AB 于P ，设AP =a ，PB =b ．

（1）求弦CD 的长；

（2）如果a +b =10，求ab 的最大值，并求出此时a ，b 的值．

A

（09东城二模）

19. 如图，已知⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 是⊙O 的直径，D 是AB 延长线的一点，AE ⊥CD 交DC 的延长线于E ，CF ⊥AB 于F ，且CE ＝CF ． （1） 求证：DE 是⊙O 的切线；

（2） 若AB ＝6，BD ＝3，求AE 和BC 的长．

A

6

B

D

20．如图，⊙O 的直径AB =4，点P 是AB 延长线上的一点，过P 点作⊙O 的切线，切点为C ，联结AC ．

（1）若∠CPA =30︒，求PC 的长；

（2）若点P 在AB 的延长线上运动，∠CPA 的平分线交AC 于点M ．你认为∠CMP 的

大小是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变化，求出∠CMP 的大小．

（09昌平二模） 21．如图，点P 在半

第19题

O 的直径BA 的延长线上，AB =2PA ，PC 切半O 于点C ，连

结BC .

（1）求∠P 的正弦值；

（2）若半O 的半径为2，求BC 的长度.

（09门头沟二模）

22. （本小题满分5分）

已知：如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的一点，且∠BCE =∠CAB ，CE 交AB 的延长线于点E ，AD ⊥AB ，交EC 的延长线于点D ． （1）判断直线DE 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论； （2）若CE =3，BE =2，求CD 的长．

（09延庆二模）

A

23. 点D 是⊙O 的直径CA 延长线上一点，点B 在⊙O 上，且AB ＝AD ＝AO ． ⑴求证：BD 是⊙O 的切线．

⑵若点E 是劣弧BC 上一点，AE 与BC 相交于点F ，

2

且△BEF 的面积为8，cos ∠BFA ＝，求△ACF 的面积．

3

7

（第19题）

24. （本小题7分）

已知：在⊙O 中，AB 是直径，AC 是弦，OE ⊥AC 于点E ，过点C 作直线FC ，使∠FCA ＝∠AOE ，交 AB 的延长线于点D.

（1）求证：FD 是⊙O 的切线；

（2）设OC 与BE 相交于点G ，若OG ＝2，求⊙O

半径的长；

（3）在（2）的条件下，当OE ＝3时，求图中阴影

部分的面积.

（09崇文二模）

25．如图， AB 是⊙O 的直径，M 是线段OA 上一点，过M 作AB 的垂线交AC 于点N ，交BC 的延长线于点E ，直线CF 交EN 于点F ，且∠ECF =∠E ． （1）证明CF 是⊙O 的切线；

（2）设⊙O 的半径为1，且AC =

CE AM 的长．

（09西城二模）

26．如图，等腰△ABC 中，AC=BC，⊙O 为△ABC 的外接圆，

D 为BC 上一点， CE ⊥AD 于E . 求证：AE= BD +DE．

8

27．如图，△ABC 中，AB ＝10，BC ＝8，AC ＝6，AD 是∠BAC 的角平分线，以AB 上一点O 为圆心，AD 为弦作⊙O ． （1）求证：BC 是⊙O 的切线； （2）求⊙O 的半径．

(08丰台一摸)

28．已知：如图，以△ABC 的边AB 为直径的O 交边AC 于点D ，且过点D 的切线DE

平分边BC ．

（1）求证：BC 是O 的切线；

（2）当△ABC 满足什么条件时，以点O 、B 、E 、D 为顶点的四边形是正方形？

请说明理由．

A

（08大兴二模） 29．（本题满分5分）如图，AB 是半⊙O 的直径，弦AC 与AB 成30°的角，. （1）求证：CD 是半⊙O 的切线； （2）若OA =2，求AC 的长.

（08朝阳一摸）

30．（本小题满分5分）

已知：如图，在⊙O 中，弦CD 垂直直径AB ，垂足为M ，AB=4

，CD=E 在

AB 的延长线上，且tan E =

. 3

（1）求证：DE 是⊙O 的切线；

（2）将△ODE 平移，平移后所得的三角形记为△O 'D 'E '．求当点E '与点C 重合时，△O 'D 'E '与⊙O 重合部分的面积．

9

30．（本小题满分5分）

已知：如图，AB 为⊙O 的直径，AC 、BC 为弦，点P 为 上一点，AB=10，AC ∶BC=3∶4． （1）当点P 与点C 关于直线AB 对称时（如图①），求PC 的长； （2）当点P 为 的中点时（如图②），求PC 的长． 解：（1） （2）

（08石景山一摸） 31．（本小题满分5分）

已知：如图，AB 是⊙O 的直径，D 是BC 的中点，

DE ⊥AC 交AC 的延长线于E ， （1）求证：DE 是⊙O 的切线；

（2）若∠BAE =60°, ⊙O 的半径为5，求DE 的长．

（08顺义一摸）

32．已知：如图，AB 为⊙O 的直径，D 是弧BC 的中点，DE ⊥AC 交AC 的延长线于点E ，⊙O 的切线BF 交AD 的延长线于点F .

(1)求证：DE 是⊙O 的切线；

(2)若DE =3, ⊙O 的半径为5，求BF 的长.

10

（第19题）

A

（08延庆二模）

33. （本题满分6分）

已知:如图6，以一底角为67.5°的等腰梯形ABCD 的一腰BC 为直径做⊙O ，交底AB 于E ，

且恰与另一腰AD 相切于Ｍ； （1）求证：△EOM 为等腰直角三角形；

BE （2）求 的值.

AE

（08昌平二模） 34. 如图，⊙O 的直径AB 交弦CD 于点M ，且M 是CD 的中点. 过点B 作BE ∥ CD ，交AC

的延长线于点E . 连接BC ． （1）求证：BE 为⊙O 的切线； （2）如果CD =6，tan ∠BCD=

（08崇文一摸）

35．如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝30°，

BC =动点O 在AC 边上，以点O 为圆心，OA 长为半径的⊙O 分别交AB 、AC 于点D 、E ，连结

CD ．

（1）若点D 为AB 边的中点（如图2），请你判断直

线CD 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论； （2）当∠ACD ＝15°时，请你求出此时弦AD 的长.

1

，求⊙O 的直径的长． 2

A

B

C

A

11

B

C

A

如图2

(08大兴一摸)

36．（本小题满分5分）

OC ⊥OA 交AB 于点C ，如图，AB 是⊙O 的弦，过B 的直线交OC 的延长线于点E ，当CE =BE

时，直线BE 与⊙O 有怎样的位置关系？请说明理由.

第18题图 （08东城二模）

37. 如图，已知等边△ABC ，以边BC 为直径的半圆与边AB 、AC 分别交于点D 、点E 。过点D 作DF ⊥AC ，垂足为点F.

（1）判断DF 与圆O 的位置关系，并证明你的结论；

（2）过点F 作FH ⊥BC ，垂足为点H 。若等边△ABC 的边长为4，求FH 的长（结果保留根号）。

B C O H

(第21题图)

（08房山二模）

38．（本小题满分5分）

已知：如图，AB 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 上的一点，CD 交AB 的延长线于D ， ∠DCB ＝∠CAB ．

(1) 求证：CD 为⊙O 的切线．

(2) 若CD ＝4，BD ＝2，求⊙O 的半径长.

12

39．(本小题满分5分) 已知：△ABC 内接于⊙O ，过点B 作直线EF ，AB 为非直径的弦，且∠CBF =∠A 。

（1）求证：EF 是⊙O 的切线；

（2）若∠A ＝30︒，BC =2，联结OC 并延长交EF 于点M ，求由弧BC 、线段BM

和CM 所围成的图形的面积．

B

F

（08海淀一摸）

40．已知：如图，AC 是⊙O 的直径，AB 是弦，MN 是过点A 的直线，AB 等于半径长． （1）若∠BAC =2∠BAN ，求证：MN 是⊙O 的切线；

（2）在(1)成立的条件下，当点E 是AB 的中点时，在AN 上截取AD =AB ，连结BD 、BE 、DE ，求证：△BED 是等边三角形．

（08海淀二模）

41．已知：如图，在⊙O 中，AB 是弦，PF 切⊙O 于点B ，直线PE 过A 点，若PB =PA .

(1) 求证：PE 是⊙O 的切线； (2) 在满足(1)的情况下，当∠APB =120°, B 、C 分别是⊙O 的三等分点，连结BC

，且PB =BC 弦的长.

13

42．已知，如图，△ABC 内接于⊙O ，且AB=AC=13，BC=24， PA ∥BC ，割线PBD 过圆心，交⊙O 于另一个点D ，连接

CD ．

（1） 求证：PA 是⊙O 的切线；

（2） 求：⊙O 的半径及CD 的长．

（08石景山二模）

43．（本小题满分5分） 如图，在△ABC 中，AB =AC ，以AB 为直径的⊙O 交BC 于点D ，交AC 于点E ，过点D 作DF ⊥AC ，垂足为F ． （1）求证：DF 为⊙O 的切线；

（2）过A 点作AG ∥BC ，交BE 的延长线于G 点，联结CG ．当△ABC 是等边三角形时，求∠AGC 的度数．

（08顺义二模）

（第19题）

G

44．如图，在平面直角坐标系xOy 中，以点A (3, 0) 为圆心的圆与x 轴交于原点O 和点B ，直线l 与x 轴、y 轴分别交于点C （-2，0）、D （0，3）． （1）求出直线l 的解析式；

（2）若直线l 绕点C 顺时针旋转，设旋转后的直线与y 轴交于点E （0，b ），且0

14

45. 如图，点A ，B ，C ，D 在⊙O 上，AB =AC ，AD 与BC 相交于点E ，AE =

1

ED ，2

1

BD ，连结AF ． 2

（1）证明△BDE ∽△FDA ；

（2）试判断直线AF 与⊙O 的位置关系，并给出证明．

延长DB 到点F ，使FB =

（08宣武二模）

46．（本小题满分5分）如图，已知点O 为Rt △ABC 斜边AB 上一点，以O 为圆心，OA 为半径的圆与BC 相切于点D ，与AB 相交于点E , 与AC 相交于点F ．试判断AD 是否平分∠BAC ？并说明理由．

（11昌平期末上）

D

(第19题图)

19．（5分）已知：如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90，AC =

4，BC =，以AC 为直径的O 交AB 于点D ，点E 是BC 的中点， OB ，DE 相交于点F ． （1）求证：DE 是⊙O 的切线； （2）求EF ：FD 的值．

（11朝阳期末上）

1. 如图，在矩形ABCD 中，点O 在对角AC 上，以OA 长为半径的⊙O 与AD 、AC 分

别交于点E 、F ，且∠ACB =∠DCE 。

（1）求证：CE 是⊙O 的切线； （2）若tan ∠ACB =

15

3

，AE =7，求⊙O 的直径。

4

（11东城期末上）

1. 如图，AB 为⊙O 的直径，AD 与⊙O 相切于点A ，DE 与⊙O 相切于点E ，点C 为

DE 延长线上一点，且CE =CB 。 （1）求证：BC 为⊙O 的切线；

（2）若AB =25，AD =2，求线段BC 的长。

（11房山期末上）

C

20. 如图8，AB 是⊙O 的直径，BC 是弦，∠ABC=30°，点D 在BA 的延长线上，且CD=CB，. （1）求证：DC

是⊙O 的切线； （2）若O 半径.

（11门头沟期末上） 16. （本小题满分5分）

已知：如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦， 且AB ⊥CD ，垂足为E ，联结OC ， OC =5．

（1）若CD =8，求BE 的长；

（2）若∠AOC =150°, 求扇形OAC 的面积．

（11平谷期末上）

22. 已知：如图，AB =AC , 以AB 为直径的⊙O 交BC 于点D ， 过D 作DE ⊥AC 于点E . (1) 求证：DE 是⊙O 的切线； (2) 如果⊙O 的半径为2，sin ∠B =

16

1

, 求BC 的长. 2

(11石景山期末上)

21．如图，已知：△ABC 内接于⊙O ，AD 是⊙O 的切线，CO 的延长线交AD 于点D ． （1）若∠B =2∠D ，求∠D 的度数；

（2）在（1）的条件下，若AC =4，求⊙O 的半径．

(11顺义期末上) 第21题图

21. (6分) 已知：如图，边长为2的圆内接正方形ABCD 中，P 为边CD 的中点，直线AP

交圆于E 点．求弦DE 的长及∆PDE 的面积．

E

(11顺义期末上)

23．(7分) 如图①，△ABC 内接于

O ，且AB =AC ，点D 在BC 上运动，过点D 作

DE ∥BC ．DE 交直线AB 于点E ，连结BD ．

（1）求证：AD =AC AE ；

（2）当点D 运动到什么位置时，△DBE ∽△ADE ？请你利用图②进行探索和证明．

2

E 图①

图②

17

（11通州期末上）

21．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，BC 是⊙O 的直径，

D 是劣弧AC 中点，BD 交AC 于点E .

2

⑴求证：AD =DE ·DB

⑵若BC =13，CD =5，求DE 的长

（11西城初三上）

21．已知：如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，OD ⊥AC 于

点E ，交⊙O 于点F ，连接BF ，CF ，∠D=∠BFC . （1）求证：AD 是⊙O 的切线； 1

（2）若AC=

8，tan B =，求AD 的长.

2

（11燕山期末上）

21. 如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，点P 在⊙O 上，∠PBC=∠C . （1）判断直线BC 和PD 的位置关系，并证明你的结论； （2）若BC=2，cos ∠BPD=0.8，求⊙O 的半径．

18