传染病的SIR模型
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２００３
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一一一一一一一一一．一一一一一一一一一一一一一一世当羔９＿曼兰
２
传染病的ＳＩＲ模型
查淑玲
．
（渭南师范学院，陕西渭南７１４０００
摘要目的：探讨传染病的ＳＩＲ模型。方法：通过微分方程解的特征，对于按照一般传播机理建立的ＳＩＲ模型，分析受感染人数的变化规律，预报传染病的ａｉ潮时间，得出控制传染病蔓延的方法。结果：当ｓ０＞１／（ｒ时传染病蔓延，当岛≤１／（ｒ时传染病不会蔓延。结论：根据传染病的ＳＩＲ模型，得到两种控制传染病蔓延的方法。关键词传染病；ＳＩＲ模型；移出者；治愈率中国分类号：Ｒ５１
文献标识码：Ａ
文章编号：１６７１—０２５８（２００３）０２—００５２—０２
中医学源远流长，不论在传染病的理论探讨方对于病愈的移出者而言有：
面，还是防治传染的实践方面，祖国医学都作出了巨大贡献。早在公元１０００年（宋代），我国就有接种鼻ＮｄｄＲｔ一斗ＮＩ
（３）
痘的记录，比英国接种牛痘早了８００年。随着卫生设记初始时刻的健康者和病人的比例分别是Ｓｏ施的改善、医疗水平的提高以及人类文明的不断发和Ｉ。，故ＳＩＲ模型的方程为：
展，曾经肆虐全球的天花、霍乱、鼠疫等传染性疾病＿ｄＩ：ＲＳＩ—ＬＬＩ
（Ｉｔ
已经得到有效的控制，但目前仍有一些传染病（如：（４）
艾滋病等）则跨国越界地在各国蔓延，而人们又不可拿：一＾ＳＩ
ｄｔ
能去做传染病传播的试验以获取数据，所以主要是Ｉ（０）＝Ｉ。，ｓ（ｏ）＝Ｓｏ
依据机理分析的方法建立适当的数学模型，通过模型解的特征，分析受感染人数的变化规律，预报传染病的高潮时间，从而控制传染病的蔓延。
２
ＳＩＲ模型解的特征
本文建立的ＳＩＲ模型，为预防和治疗传染病提用微分方程的定性理论来讨论方程（４）的解的
供了理论基础。我们可以在不同的时期采取相应的
性质。在相平面上相轨线的定义域为Ｄ＝“Ｓ，１）Ｉ
措施，充分发挥祖国医学在预防和治疗传染病上的
Ｓ≥０，Ｉ≥０，Ｓ＋Ｉ≤１｝。
特点，控制传染源，切断传播途径，并给传染者以对由方程（４）消去ｄｔ，有：
症治疗，保护未感人群，为其提供必要的免疫、预防措施，以控制传染病的传播。
鹾２磊１—１
（５）
ｔ１ｌ。：。。＝Ｉｏ
ｌ
ＳＩＲ模型
方程（５）的解为：
由于大多数传染病人治愈后均有很强的免疫（６）
力，病愈后的人即非健康人（易感染者Ｓｕｓｃｅｐｔｉｂｌｅ）
Ｉ＝５；０＋１０一Ｓ＋吉Ｌｎ蚤
又非病人（已感染者Ｉｎｆｅｃｔｉｖｅ），他们已经退出传染
在Ｄ内方程（６）所示曲线为相轨线，图１中简系统，该模型的假设条件为：
头表示了Ｓ（ｔ）和Ｉ（ｔ）随时间ｔ的增加的变化趋向。
１）人群分为健康者、病人和病愈免疫移出者，三Ｉ
类人在总人数Ｎ中占的比例分别为ｓ（ｔ）、Ｉ（ｔ）和Ｒ（ｔ）。
２）病人的日接触率为ｘ，日治愈率为阻，传染期
接触数为口＝ｈ／１．Ｌ。
由条件１）有：Ｓ（ｔ）＋Ｉ（ｔ）＋Ｒ（ｔ）＝１
（１）ＪＴ
由条件２）有：Ｎｕ．＋ｌ＝ｋＮＳＩ～斗ＮＩ
（２）
Ｓ
查积玲．女，讲师，从事基础数学的研究
图１
ＳＩＲ模型的相轨线
万
方数据
婴垡生迦垦主巳一……………一……一
１）不论初始条件‰、Ｉｏ如何，病人终将消失，即
ｋ＝０。
◆膏垂瞎墨謦赣
２００３年第４卷第２１０１
ｌ／口，１（ｔ）单调减小至零，Ｓ（Ｉ）则单调减小至Ｓ。，如图
由Ｂ（ＳＯ，１０）出发的轨线。３培论
首先ｉｄＳ≤ｏ，而ｓ（ｔ）≥ｏ，由单调有界必有极限
知ｓ。存在；警≥ｏ，ｒｔ（ｔ）≤ｌ，同时Ｒ。存在；因而Ｉ。
必定存在。
通常人们认为仅当病人比例有一段增长时才认为传染病在蔓延，由上述讨论可知１／ｏ＂是一个非常关键的量，根据该量可得到以下两种控制传染病的
蔓延方法。
一种方法是当ｓｏ＞ｌ／ｏ＇时传染病蔓延，我们只要
其次若Ｉ。＝ｎ＞０，则由方程（２）对充分大的ｔ有
警，嗤这将导致Ｒ。＝＊与Ｒ。存在矛盾。
从图形上看．不论相轨线从Ｂ或Ｐ２出发，它都
与Ｓ轴相交。
２）当最终末被感染的健康者的比例是Ｓ。时，由相轨线知病人人数Ｉ。＝０，
想办法提高１／ｏｒ的值使得ｓｏ≤１／ｏｒ，传染病就不会蔓延（初始时期的健康者的比例是定值Ｓ０—１）。又因
为人们的卫生水平越高Ｋ越小，医疗水平越高扯越
太，于是１／ｏ＂越大，故提高卫生水平和医疗水平有助于控制传染病的蔓延。
（７）
另一种方法是当ｓｏ＞ｌ／ｏ－时，在人们的卫生水平
Ｓｏ＋Ｉ。一Ｓ＊＋吉。嗉２０
Ｓ。是方程（７）在（０，１／ｏ＂）内的单根，是相轨线与ｓ轴在（Ｏ，１／ｏ）内交点的横坐标，也是方程（４）的奇点。
和医疗水平不改变的条件下，降低初始人群中健康
者的比例Ｓ。使得Ｓ。≤１／ｏ＂，传染病也不会蔓延。要
３）若ＳＯ＞Ｉ／ｏ＂，Ｉ（ｔ）增加，当Ｓ＝１／，ｒ时Ｉ（ｔ）最大降低Ｓ０，必须提高传染病的治愈人数和免疫人数。这就要求我们在发展免疫方面提高免疫能力，同时努力提高传染病的治愈率。
（收稿日期：２００３—０２—２７修回日期：２００３—０３～１５）
为Ｓｏ＋Ｉｏ一｛（１＋Ｌｎｏ＇ＳＯ），然后ｌ（ｔ）减小至零，Ｓ（ｔ）
则减小至Ｓ。，如图由Ｐ．Ｃｓ０，ＩｏＪ出发的轨线。若Ｓｏ≤
皆人所为，非豆之咎也一
本地向有鸣放爆竹以示庆典之习俗．故对子夜时分突如其来的鞭炮声未曾留意，及至手机上一则煞有其事的短信所言“某地一初生婴儿，落生即语，告世人ＳＡＲＳ流行本为｝：灭之意，立夏之口燃放鞭炮并饮绿豆汤方可避之”云云，始觉不可小觑。一时问，街市绿豆价格飞涨。病情虽未见因之而缓解，倒是爆竹和绿豆商贩的生意却着实火丁一把。
奈何天不遂人愿，ＳＡＲＳ病毒并未应验。“燃放鞭炮，饮绿豆汤”之类的谬说、谣传自是不攻自破。笔者不善购物，绿豆价格是否回落尚未知晓，虽然那闹心的鞭炮声已渐寂然，人们卫能睡个安稳觉了，但这一来二去令人啼笑皆非的闹腾，总使人有一种被愚弄的感觉。可怜芸芸众生．竟然让哪些居心叵测者牵着鼻子玩弄于股掌之中，遭遇天灾之后，复遭灵魂的戏弄，所以然者，人性的弱点和文明的缺失难辞其咎。
大自然缔造ｒ人，同时也造就了需要人类这个万物之灵去破解的谜团和应对的挑战。人类从蛮荒时代跨人现代文明的经历，实际上就是从畏惧自然、崇拜自然到辨析自然、控制自然的过程，在这个过程中，逐渐孕育了理性而科学的自然观，也激发了积极而冷静的生活态度。当然，面埘突发事件，浮躁、恐慌、盲从自是难免，可怕的是
慌乱到失去理性，盲从到弃却文明，“蒙蒙昧昧、蠢若游魂”非独绿豆如此遭遇，君不见几味草药一夜间身价百倍，一副口罩竟突然间奇货可居，街市抢｜４勾成风，屋内囤积居奇，“忘躯徇物”，“钦望巫祝”，人性的弱点暴露无遗。
其实，天行时病，古来有之，不足为奇。所不同的是，古代圣贤在灾难面前，积极应对，不断破解大自然的神秘，不断推动文明的进程。汉代名医张仲景，面对其家族“其死亡者二分有二”，“感往昔之沦丧，伤横夭之奠救，乃勤求古训，博采众方”终于著成不朽医著《伤寒杂病论》，明代医家吴又可，面对瘟疫流行，司门传染，非但不恐慌．不盲从，而是“静心劳理，格其所感之气”，终于捕捉到了
瘟疫的之凶——戾气。此等科学态度，实令我等文明时代
的后辈汗颜。
至于绿豆，学名Ｐｈａｓｅｏｌｕｓ
ｒａｄｉａｔｕｓ
Ｌ，从《开宝本草》
首载药用，千年间原本平常之品，中医用其清热解毒，消暑利水，从不旨目夸大疔效，更无不着边际的誉美之词，倒是对其不良反应却从不回避，恰如李时珍在《本草纲目》中所云，“消肿治痈之功虽用赤豆，而压热解毒之力过之”，“或偏于冷，或偏于热，能致人病，皆人所为，非豆之咎也。”圣贤之言，精辟莫过于斯也。
（太原五中施莼）
万方数据
传染病的SIR模型
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：被引用次数：
查淑玲
渭南师范学院,陕西,渭南,714000
山西中医学院学报
JOURNAL OF SHANXI COLLEGE OF TRADITIONAL CHINESE MEDICINE2003,4(2)1次
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引用本文格式：查淑玲 传染病的SIR模型[期刊论文]-山西中医学院学报 2003(2)