抛物线的简单几何性质
抛物线的简单几何性质
课前预习学案
一、 预习目标
回顾抛物线的定义及抛物线的标准方程,预习抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质
二、 预习内容 1、 复习回顾 (1) 抛物线定义
叫作抛物线; 叫做抛物线的焦点。 叫做抛物线的准线
相
同
①
点
; ②不同点 ; (3)回顾练习
①已知抛物线y 2=2px 的焦点为F ,准线为l ,过焦点F 的弦与抛物线交于A 、B 两点,过A 、B 分别作AP ⊥l ,BQ ⊥l ,M 为PQ 的中点,求证:MF ⊥AB ②在抛物线y 2=2x 上方有一点M (3,
103
图①
),P 在抛物线上运
动,|PM|=d 1,P 到准线的距离为d 2,求当d 1 +d2最小时,P 的坐标。 2、预习新知
(1)根据抛物线图像探究抛物线的简单几何性质
①范围 : ; ②对称性: ; ③顶点: ; ④离心率: ; (2)自我检测: 1.已知点F (-
14
, 0) ,直线l :x =
14
,点B 是直线l 上的动点,若过B 垂直于y 轴的直线
与线段BF 的垂直平分线交于点M ,则点M 所在曲线是( )
(A ) 圆 (B ) 椭圆 (C ) 双曲线 (D ) 抛物线
2.设抛物线y 2=2x 的焦点为F ,以P (为圆心,PF 长为半径作一圆,与抛物线在x
2
9
轴上方交于M , N ,则|MF |+|NF |的值为 ( )
(A ) 8 (B ) 18 (C ) 22 (D ) 4
3.过点(-3, -1) 的抛物线的标准方程是 . 焦点在x -y -1=0上的抛物线的标准方程是 .
4.抛物线y 2=8x 的焦点为F ,在抛物线上找一点M ,当|M A (4,-2) 为一定点,A ||+M F |为最小时,则M 点的坐标 ,当||M A |-|M F |为最大时,则M 点的坐|标 . 三、提出疑惑
同学们,通过你的自主学习,你还有哪些疑惑,请把它填在下面的表格中
课内探究学案
一、学习目标
1.掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质;
2.能根据抛物线的几何性质对抛物线方程进行讨论,在此基础上列表、描点、画抛物线
图形;
3.在对抛物线几何性质的讨论中,注意数与形的结合与转化 二、学习过程
1、定义 2、标准方程 ; 3、几何性质
①范围 : ; ②对称性: ; ③顶点: ; ④离心率: ;
4
5、分析例题
例1 已知抛物线关于x 轴为对称,它的顶点在坐标原点,并且经过点M (2, -22) ,求它的标准方程,并用描点法画出图形.
例2 探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分,光源位于抛物线的焦点处,已知灯的圆的直径60cm ,灯深为40cm ,求抛物线的标准方程和焦点位置. 例3 过抛物线y =2px 的焦点F 任作一条直线m ,交这抛物线于A 、B 两点,
求证:以AB 为直径的圆和这抛物线的准线相切.
例4. 已知抛物线x =4y 与圆x +y =32相交于A , B 两点,圆与y 轴正半轴交于C 点,直线l 是圆的切线,交抛物线
A C B 上. 与M , N ,并且切点在
2
2
2
2
(1)求A , B , C 三点的坐标.(2)当M , N 两点到抛物线焦点距离和最大时,求直线l 的方程.
课后练习与提高
1.过抛物线y 2=4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1, y 1),B (x 2, y 2)两点,如果x 1+x 2=6,那么|AB |=( B )
(A )10 (B )8 (C )6 (D )4
2.已知M 为抛物线y 2=4x 上一动点,F 为抛物线的焦点,定点P (3, 1),则
|MP |+|MF |的最小值为( B )
(A )3 (B )4 (C )5 (D )6
3.过抛物线y =ax 2(a >0)的焦点F 作直线交抛物线于P 、Q 两点,若线段PF 、QF 的长分别是p 、q ,则
1p
1q
+=( C )
1
4a
(A )2a (B )
2a
(C )4a (D )
4.过抛物线y 2=4x 焦点F 的直线l 它交于A 、B 两点,则弦AB 的中点的轨迹方程是 ______ (答案:y 2=2(x -1) )
5. 定长为3的线段AB 的端点A 、B 在抛物线y 2=x 上移动,求AB 中点M 到y 轴距离的最小值,并求出此时AB 中点M (答案:M
⎛552⎫
⎪ , M到y 轴距离的最小值为) , ±
442⎪⎝⎭
6.根据下列条件,求抛物线的方程,并画出草图.
(1)顶点在原点,对称轴是x 轴,顶点到焦点的距离等于8.
(2)顶点在原点,焦点在y 轴上,且过P (4,2)点.
(3)顶点在原点,焦点在y 轴上,其上点P (m ,-3)到焦点距离为5.
7.过抛物线焦点F 的直线与抛物线交于A 、B 两点,若A 、B 在准线上的射影是A 2,B 2,则∠A 2FB 2等于
8.抛物线顶点在原点,以坐标轴为对称轴,过焦点且与y 轴垂直的弦长为16,求抛物线方程. 9.以椭圆
x
2
5
+y
2
=1的右焦点,F 为焦点,以坐标原点为顶点作抛物线,求抛物线截椭圆
在准线所得的弦长.
10.有一抛物线型拱桥,当水面距拱顶4米时,水面宽40米,当水面下降1米时,水面宽
是多少米?
抛物线的简单几何性质
教学目的:
1.掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质;
2.能根据抛物线的几何性质对抛物线方程进行讨论,在此基础上列表、描点、画抛物线图形;
3.在对抛物线几何性质的讨论中,注意数与形的结合与转化 教学重点:抛物线的几何性质及其运用 教学难点:抛物线几何性质的运用 授课类型:新授课课时安排:1课时 教 具:多媒体、实物投影仪 内容分析:
节知识在生产、生活和科学技术中经常用到,也是大纲规定的必须掌握的内容,还是将来大对于训练学生用坐标法解题,本节一如前面各节一样起着相当重
研究抛物线的几何性质和研究椭圆、双曲线的几何性质一样,按范围、对称性、顶点、 已知抛物线的标准方程,求它的焦点坐标和准线方程时,首先要判断抛物线的对称轴和开口方向,一次项的变量如果为x (或y ),
则x 轴(或y 轴)是抛物线的对称轴,一次项的符号决定开口方向,由已知条件求抛物线的标准方程时,首先要根据已知条件确定抛物线标准方程的类型,再求出方程中的参数p
第一课时内容主要讲抛物线的四个几何性质、抛物线的画图、例1、例2、及其它例题;第二课时主要内容焦半径公式、通径、例教学过程:
一、复习引入: 1.抛物线定义:
平面内与一个定点F 和一条定直线l 定点F 叫做抛
物线的焦点,定直线l 2.抛物线的标准方程:相同点:(1)抛物线都过原点;(2)对称轴为坐标轴;(3)准线都与对称轴垂直,垂足与
它们到原点的距离都等于一次项系数绝对值的
14
,即
2p 4
=
不同点:(1)图形关于X 轴对称时,X 为一次项,Y 为二次项,方程右端为±2px 、左端为y 2;图形关于Y 轴对称时,X 为二次项,Y 为一次项,方程右端为±2py ,左端为x 2
(2)开口方向在X 轴(或Y 轴)正向时,焦点在X 轴(或Y 轴)的正半轴上,方程右端取正号;开口在X 轴(或Y 轴)负向时,焦点在X 轴(或Y 轴)负半轴时,方程右端取负
二、讲解新课: 抛物线的几何性质 1.范围
因为p >0,由方程y 2=2px (p >0)可知,这条抛物线上的点M 的坐标(x,y) 满足不等式x≥0,所以这条抛物线在y 轴的右侧;当x 的值增大时,|y|也增大,这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸. 2.对称性
以-y 代y ,方程y 2=2px (p >0)不变,所以这条抛物线关于x 轴对称,我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴. 3.顶点
抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点.在方程y 2=2px (p >0)中,当y=0时,x=0,因此抛物线y 2=2px (p >0)的顶点就是坐标原点.
4.离心率
抛物线上的点M 与焦点的距离和它到准线的距离的比,叫做抛物线的离心率,用e 表示.由抛物线的定义可知,e=1.
对于其它几种形式的方程,列表如下:
抛物线不是双曲线的一支,抛物线不存在渐近线
通过图形的分析找出双曲线与抛物线上的点的性质差异,当抛物线上的点趋向于无穷远时,抛物线在这一点的切线斜率接近于对称轴所在直线的斜率,也就是说接近于和对称轴所在直线平行,而双曲线上的点趋向于无穷远时,它的切线斜率接近于其渐近线的斜率附:抛物线不存在渐近线的证明.(反证法)
假设抛物线y 2=2px 存在渐近线y =mx +n ,A (x ,物线上一点,
y )为抛
A 0(x ,y 1)为渐近线上与A 横坐标相同的点如图,
则有y =±2px 和y
1=mx +n . ∴ y 1-y =mx +n
=x ⋅m +
n x
2p x
2px
当m ≠0时,若x →+∞,则y 1-y →+∞ 当m =0时,y 1-y =n
2px ,当x →+∞,则y 1-y →+∞
这与y =mx +n 是抛物线y 2=2px 的渐近线矛盾,所以抛物线不存在渐近线 三、讲解范例:
例1 已知抛物线关于x 轴为对称,它的顶点在坐标原点,并且经过点M (2, -22) ,求它的标准方程,并用描点法画出图形.
分析:首先由已知点坐标代入方程,求参数p .
解:由题意,可设抛物线方程为y 2=2px ,因为它过点M (2, -22) , 所以 (-22) 2=2p ⋅2,即 p =2 因此,所求的抛物线方程为y 2=4x .
将已知方程变形为y =±2x ,根据y =2x 计算抛物线在x ≥0的范围内几个点的坐标,得
点评:在本题的画图过程中,如果描出抛物线上更多的点,可以发现这条抛物线虽然也向右上方和右下方无限延伸,但并不能像双曲线那样无限地接近于某一直线,也就是说,抛物线没有渐近线.
例2 探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分,光源位于抛物线的焦点处,已知灯的圆的直径60cm ,灯深为40cm ,求抛物线的标准方程和焦点位置.
分析:这是抛物线的实际应用题,设抛物线的标准方程后,根据题设条件,可确定抛物线上一点坐标,从而求出p 值.
解:如图,在探照灯的轴截面所在平面内建立直角坐标系,使反光镜的顶点(即抛物线的顶点) 与原点重合,x 轴垂直于灯口直径.
设抛物线的标准方程是y 2=2px (p>0) .
由已知条件可得点A 的坐标是(40,30) ,代入方程,得302=2p ⨯40, 即 p =
454
2
所求的抛物线标准方程为y
2
=
452
x .
例3 过抛物线y =2px 的焦点F 任作一条直线m ,交这抛物线于A 、B 两点,
求证:以AB 为直径的圆和这抛物线的准线相切. 分析:运用抛物线的定义和平面几何知识来证比较简捷.
证明:如图.设AB 的中点为E ,过A 、E 、B 分别向准线l 引垂线AD ,EH ,BC ,垂足为D 、H 、C ,则
|AF |=|AD |,|BF |=|BC |
∴|AB |=|AF |+|BF |=|AD |+|BC |=2|EH |
所以EH 是以AB 为直径的圆E 的半径,且EH ⊥l ,因而圆E 和准线l 相切. 四、课堂练习:
1.过抛物线y =4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1, y 1),B (x 2, y 2)两点,如果
2
x 1+x 2=6
,那么|AB |=( B )
(A )10 (B )8 (C )6 (D )4
2.已知M 为抛物线y 2=4x 上一动点,F 为抛物线的焦点,定点P (3, 1),则
|MP |+|MF |的最小值为( B )
(A )3 (B )4 (C )5 (D )6
3.过抛物线y =ax 2(a >0)的焦点F 作直线交抛物线于P 、Q 两点,若线段PF 、QF 的长分别是p 、q ,则
1p +1q
=( C )
1
4a
(A )2a (B )
2a
(C )4a (D )
4.过抛物线y 2=4x 焦点F 的直线l 它交于A 、B 两点,则弦AB 的中点的轨迹方程是 ______ (答案:y 2=2(x -1) )
5. 定长为3的线段AB 的端点A 、B 在抛物线y 2=x 上移动,求AB 中点M 到y 轴距离的最小值,并求出此时AB 中点M (答案:M
⎛552⎫
⎪ , M到y 轴距离的最小值为) , ±
442⎪⎝⎭
五、小结 :
六、课后作业:
1.根据下列条件,求抛物线的方程,并画出草图.
(1)顶点在原点,对称轴是x 轴,顶点到焦点的距离等于8.
(2)顶点在原点,焦点在y 轴上,且过P (4,2)点.
(3)顶点在原点,焦点在y 轴上,其上点P (m ,-3)到焦点距离为5.
2.过抛物线焦点F 的直线与抛物线交于A 、B 两点,若A 、B 在准线上的射影是A 2,B 2,则∠A 2FB 2等于
3.抛物线顶点在原点,以坐标轴为对称轴,过焦点且与y 轴垂直的弦长为16,求抛物线方程. 4.以椭圆
x
2
5
+y
2
=1的右焦点,F 为焦点,以坐标原点为顶点作抛物线,求抛物线截椭圆
在准线所得的弦长.
5.有一抛物线型拱桥,当水面距拱顶4米时,水面宽40米,当水面下降1米时,水面宽是多少米?
习题答案: 1.(1)y 2=±32x 2.90°
3.x 2=±16 y 4.45
(2)x 2=8y
(3)x 2=-8y
5.205七、板书设计