07山东科技大学高等代数
01-30
山东科技大学2007年招收硕士学位研究生入学考试
高等代数试卷
一、（20分） 设矩阵
130， A210002
解矩阵方程 AXXA。
二、（20分）
1、 将所有4级矩阵按相似关系进行分类后（即相似的矩阵划分
为一类），特征多项式为f()(a)(b)3的4级矩阵占几类？每类各写出一个代表矩阵。
2、 证明n级矩阵A与它的转置矩阵A相似。
三、（30分） 设A为n级全1矩阵（即矩阵的每个元素都是1），
1．求A的特征多项式及最小多项式；
2、矩阵A能否对角化？若能，请求出可逆矩阵B使B1AB 为对角矩阵。
四、（30分） 设A与B都是n级正定矩阵，求证：
1、A1 也是正定矩阵；
2、AB 也是正定矩阵；
3、当ABBA时，AB也是正定矩阵。
五、(20分) 设T是数域P上n维线性空间V上的一个线性变换,
在多项式环P[x]中，f(x)g(x)h(x)，且g(x)与h(x)互素， 符号1()表示线性变换的核, 试证：
11 f(T)()g(T1)()hT(). ()
六、(30分)
1、 设T是内积空间V的一个线性变换，证明：T是正交变换的
充要条件为T保持任意两向量x,y的距离不变，即
|TxTy||xy|.
2、 设T是内积空间V的一个变换，证明：若T保持任意两向量
x,y的内积不变，即 (Tx,Ty)(x,y)，则T一定是一个线性变换，从而是正交变换。
3、内积空间的保持距离不变的变换是否一定是线性变换？若一定是，请证明；若不一定是，请举反例。