第 03 讲 映射与函数
第 3 讲 映射与函数
(第课时)
⎧⎪
⎪一对多⎪⎧一般映射⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪
⎪定义⎧传统定义(对应)⎪⎨⎪⎪⎪⎩近代定义(映射)⎪多对一⎫⎪⎪对应⎨ ⎧定义域⎪⎪⎪
映射⎬⎨⎪⎪⎪函数(两个数集之间的映射) 三要素⎨⎨对应法则⎪⎪一对一⎪⎭⎪⎪值域⎪⎪⎩⎪⎪⎪
⎧列表法⎪⎪⎪
⎪表示法⎪解析法(公式法)⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪图像法⎪⎪⎪⎩⎩⎩
⎪⎩
对应、映射与一一映射这三者之间的关系:
重点:1.映射的概念;2.函数的概念;3.函数的表示法。
难点:1.求有特殊要求的映射的个数;2.对函数概念的正确理解。
2.函数的概念可能以小题的形式出现,也可能以大题的形式出现。
参看上面的映射关系图。
⑴ 对应: 若有两个集合A 和B ,有一种关系f ,能使对A 中每一个元素都确定出B 中的一个或几个元素,那么就说f 是一种对应关系,或者说f 使对A 中每一个元素,B 中都有一个或几个元素与之对应。
⑵ 映射: 若有两个集合A 和B ,如果按照某种对应法则f ,使A 中每一个元素在B 中都有唯一的一个元素与之对应,那么这种关系叫做从A 到B 的映射。记为 f :A →B 。A 中元素a 所对应的B 中元素b 叫做a 的像,a 叫做b 的原像。
理解映射概念要注意四点:
①映射含有对应法则f 以及两个集合 ②映射具有方向性
即映射中的两个集合是有顺序的,即f :A →B 和 f :B →A 不是一回事。 ③剩余元素
不允许A 中有剩余元素,但允许B 中有剩余元素(即任何一个元素在B 中都可以找到唯一的像。而B 中的元素可以没有原像,也可以有一个或多个原像。)
④一对多不是映射。
⑶ 一一映射: 对于映射f :A →B ,若A 中元素在B 中有不同的像,而且B 中每一个元素都有原像,那么这个映射就叫做A 到B
理解一一映射概念要注意三点: ①一一映射的对应关系是一对一。 ②B 中任一元素都必须有原像。 ③一一映射与一一对应不是一回事。
例如,A 是实数集,B 是数轴上的点集,我们说实数与数轴上的点一一对应有两方面的含义,一是任给一个实数,在数轴上可以找到一点与之对应,即 f 1:A →B ;二是任给数轴上一点,可以找到一个实数与之对应,即 f 2:B →A ;故一一对应是由两个互为逆映射的一一映射构成的。
⑷ 逆映射: 设有一个映射 f :A →B ,如果使B 中每一个元素在A 中都有原像与之对应,这样得到的映射就叫做映射 f :A →B 的逆映射,记为 f :B →A 。
例如, 映射f :X →Y 使Y 中的元素y =2x +1与X 中的元素x 对应。那么其逆映射为
-1
f
-1
:Y →X 使X 中的元素x =
y -1
与Y 中的元素y 对应。 2
理解逆映射概念要注意两点: ①只有一一映射才有逆映射。
②求逆映射的对应法则时,原像集合与像集合都不得扩大或缩小。
例.若A ={1,2,3,4,5} ,B ={1,3,7,15,31},则符合f :A →B 的f 是 (A) f :x →x 2-x +1 ; (B) f :x →x +(x -1) 3 ; (C) f :x →2x -1-1 ; (D) f :x →2x -1 。 分析:先看(A),当x =4时,x 2-x +1=13∉B ,故排除(A)。 次看(B),当x =3时,x +(x -1) 3=17∉B ,故排除(B)。
再看(C),当x =1时,2x -1-1=0∉B ,故排除(C)。 最后看(D),当x =13、7、15、31 ,都属于B ,故应选(D)。 、2、3、4、5时,2x -1=1、例.在映射f :S →T 中,下列判断正确的是
(A) S 中的任何一个元素在T 中都有像,但不一定唯一; (B) T 中的元素在S 中可能有多个原像,也可能没有原像; (C) 集合S 和T 一定是数集;
(D) 记号f :S →T 与f :T →S 的含义是相同的。
分析:(A)中的对应是一对多,不是映射,故排除;(B)正确;(C)是错的,故排除;(D)是错的,因为映射中的两个集合是有序的。
2.函数的概念
⑴ 函数:一个非空数集到另一个非空数集的映射叫做函数。记为 y =f (x ) 。 理解函数概念时注意三点:
①函数的三要素为:对应法则、定义域和值域。 ②f :A →B 中,前面一个集合是定义域,后面一个集合是值域,“f ”应理解为对应法则;
③A 、B 是非空数集。
例.下列对应是否为从A 到B 的映射?能否构成函数?
1
① A =R ,B =R ,f :x →y = ;
x +1
11⎧⎫
② A ={a |a =2n , n ∈N } ,B =⎨b |b =, n ∈N ⎬ ,f :a →b = ;
n a ⎩⎭
③ A ={平面α内的矩形},B ={平面α内的圆},f :作矩形的外接圆。
解:① 一个对应要是映射,必须这个对应f 的原像集合中不能有剩余元素,但这里的原像集合x 中有剩余元素-1(即当x =-1 时,y 不存在),所以这个对应不是映射。
1⎧1111⎫
② A 、B 两集合即 A ={2,4,6„„},B =⎨, , , , ⎬ ,由对应法则 a →b =
a ⎩1234⎭
可知,这个对应是映射;又A 、B 为非空数集,所以这个映射是函数。
③ 这个对应是映射,但A 、B 不是数集,所以这个映射不是函数。
例.设 f (x ) =2 ,g (x ) =log 解:f [g (x )]=2
log
x
28x
8x ,求满足 f [g (x )]=g [f (x )]的x 。 =2
log
2
8x
=2
2log
2
(8x ) 2
=(8x ) 2 ,
2
g [f (x )]=log
2
2
(8∙2x ) =log
2
2x +3=(x +3) log (2) 2=2(x +3) ,
-1±-1+385
,由g (x ) 可知x >0 ,∴ x = 。
6464
点评:对函数 y =f (x ) 中的“f ”应理解为对应法则,而这一法则是可以反复使用的,
解(8x ) =2(x +3) 得 x =
在使用时要注意函数符号与函数值符号的区别。
⑵ 函数的表示法:列表法,解析式法,图像法。
⑶ 常用函数:正比例函数,反正比例函数,一次函数,二次函数,指数函数,对数函数,三角函数,常数函数(y =c ,c 为常数)。
⑷ 判断两个函数是否同一函数
要判断两个函数是否同一函数,只要看它们的定义域和对应法则是否都相同。
例.判断函数 y =
x 2 和 y =x 是否同一函数?
解:二者定义域相同,但对应法则不同,前者的对应法则为 y =x ,后者的对应法则为
y =x ,所以y =x 2 和 y =x 不是同一函数。
例.判断函数 y =
x 2 和 y =x 是否同一函数?
x 2 和 y =x 是同
二者定义域相同,对应法则表面不同,但实际上是一回事,所以y =一函数。
点评:同一函数,其对应法则有时可能有不同的表现形式。
x -11
和 y = 是否同一函数。
x (x -1) x
解:二者对应法则相同,但定义域不同,前者的定义域为 x ≠0 且 x ≠1 ,但后者为x ≠0,
例.判断函数 y =
所以二者不是同一函数。 3.分段函数与复合函数
若函数在定义域的不同子集上对应法则不同,可以各用各的对应法则,这种形式的函数叫做分段函数。
处理分段函数的问题,需要用到分类讨论的思想,同时要注意其中局部与整体的关系。 如果y 是u 的函数,u 又是x 的函数,即y =f (u ) ,u =g (x ) ,那么y =f [g (x )]叫做f 和g 的复合函数,u 叫做中间变量,u 的取值范围是g (x ) 的值域。
⎧x 2+1⎪
例.已知 f (x ) =⎨π
⎪0⎩
(x >0)
(x =0) ,求 f {f [f (-1)]} 。 (x
2
分析:f (x ) 是一个分段函数,f {f [f (-1)]}表示复合函数f {f [f (x )]}当x =-1时的函数值。 解: f (-1) =0 ,f [f (-1)]=f (0) =π ,f {f [f (-1)]}=f (π) =π+1 。 解题错误:写f ()=x -1 。
2
+
B =R ,对应法则是“取平方根”;②A ={矩形},B =R ,对应法则是“求矩形的面积”;③A ={非负实数},B =(0,1),对应法则是“平方后与1的和的倒数”,其中从A 到B 的对应中是映射的是 ( )。
A . ② ; B . ②③ ; C . ①②③ ; D . ①② 。
2.已知集合A
={整数},B ={非负整数},f 是从集合A 到集合B 的映射,且f :x → y =2
x (x ∈A ,y ∈B ),那么在f 的作用下象是4的原象是 ( )
A . 16 ; B . ±16 ; C . 2 ; D . ±2 。
3.下列几图中,不可能是函数y =f (x ) 的图像是 ( ) 4.给出如下三个等式:①f (x +y ) =f (x ) +f (y ) ;②f (xy ) =f (x ) +f (y ) ;③
f (xy ) =f (x ) ∙f (y ) ;则不满足其中任何一个等式的函数是 ( )
A . x 2 ; B . 3x ; C . lg x ; D . sin x 。
⎧1x
⎪() (x ≥4)
5.给出函数 f (x ) =⎨2 ,则 f (log23) = ( )
⎪⎩f (x +1) (x
23111
A . - ; B . ; C . ; D . 。
1181924
6.判断下列各对函数是否同一函数:
32
⑴ y =x 和 y =3lg x ; ⑵ y =x 和 y =2lg x 。
7.已知定义域为R 的函数满足 f (a +b ) =f (a ) ∙f (b ) ,(a ,b ∈R ),且 f (x ) >0 ,若 1
f (1) = ,求f (-2) 。
2
8﹡.函数f (x ) 对一切实数x 均有 f (x +y ) -f (y ) =(x +2y +1) x 成立,且f (1) =0 ,求⑴f (0) 的值;⑵ 当f (x ) +2
9﹡.设 f (x ) =x +2 ,g (x ) =3x +1 ,求:⑴ g [f (x )];⑵ 又当 h {g [f (x )]}=f (x ) 成立时,求h (x ) 。
12
DS
22
01
映 射 与
函 数 +
1 2 3 4 5 6 7 8 9 √ √
√ √ √ √ √ √ √ √
+
1.有下列三个对应:①A =R ,B =R ,对应法则是“取平方根”;②A ={矩形},B =R ,对应法则是“求矩形的面积”;③A ={非负实数},B =(0,1),对应法则是“平方后与1的和的倒数”,其中从A 到B 的对应中是映射的是 ( )。
A . ② ; B . ②③ ; C . ①②③ ; D . ①② 。 解:A 。
点评:考查映射的概念。
2.已知集合A ={整数},B ={非负整数},f 是从集合A 到集合B 的映射,且f :x → y =2
x (x ∈A ,y ∈B ),那么在f 的作用下象是4的原象是 ( )
A . 16 ; B . ±16 ; C . 2 ; D . ±2 。 解:D 。
点评:考查象和原象的概念。
3.下列几图中,不可能是函数y =f (x ) 的图像是 ( ) 解:答案D 中的对应x →y 是一对多,所以它不是映射,故它不是函数。 点评:考查函数的定义。
4.给出如下三个等式:①f (x +y ) =f (x ) +f (y ) ;②f (xy ) =f (x ) +f (y ) ;③
f (xy ) =f (x ) ∙f (y ) ;则不满足其中任何一个等式的函数是 ( )
A . x 2 ; B . 3x ; C . lg x ; D . sin x 。
解:x 2满足③;3x 满足①;lg x 满足②,故应选D 。
点评:考查函数的三要素。
⎧1x ⎪() (x ≥4)
5.给出函数 f (x ) =⎨2 ,则 f (log23) = ( )
⎪⎩f (x +1) (x
23111
A . - ; B . ; C . ; D . 。
1181924
11
解:f (log23) =f (1+log 23) = =f (3+log 23) =f (log224) =() log 224= ,故应选D 。
224
点评:考查分段函数。
6.判断下列各对函数是否同一函数:
⑴ y =x 和 y =3lg x ; ⑵ y =x 和 y =2lg x 。 解:(略)⑴是,⑵不是。 点评:考查同一函数的判别。
7.已知定义域为R 的函数满足 f (a +b ) =f (a ) ∙f (b ) ,(a ,b 若 f (1) =
3
2
,且 f (x ) >0 ,∈R )
1
,求f (-2) 。 2
解:令 a =b =0 ,代入 f (a +b ) =f (a ) ∙f (b ) 得 f (0) =f (0) ∙f (0) , ∵ f (x ) >0 ,∴ 两边同时除以f (0) 得 f (0) =1 ,
111
又 f (2) =f (1+1) =f (1) ∙f (1) =∙= , f (0) =f (2-2) =f (2) ∙f (-2) ,
224
11
把f (0) =1 和 f (2) = 代入上式可得 f (-2) ==4 。
f (2) 4
点评:本题使用。
8﹡.函数f (x ) 对一切实数x 均有 f (x +y ) -f (y ) =(x +2y +1) x 成立,且f (1) =0 ,求
1
⑴f (0) 的值;⑵ 当f (x ) +2
2
解:⑴ 令 x =1 ,y =0 ,代入 f (x +y ) -f (y ) =(x +2y +1) x 得 f (1) -f (0) =2 , ∵ f (1) =0 ,∴ f (0) =-2 。
⑵ ∵ f (0) =-2 ,即 2=-f (0) ,∴ f (x ) +2=f (x ) -f (0) ,
根据 f (x +y ) -f (y ) =(x +2y +1) x 可得 f (x +0) -f (0) =(x +1) x , ∴ f (x ) +2=(x +1) x ,
13
∵ x ∈(0, ) ,∴ f (x ) +2∈(0, ) ,
24
1
根据对数函数的性质,当 a >1 且 x ∈(0, ) 时,log a x ≤0 ,故f (x ) +2
2
又根据对数的定义有 a ≠1 ,
⎧0
∴ ⎨≤a
log ≥4a ⎪24⎩
9﹡.设 f (x ) =x +2 ,g (x ) =3x +1 ,求:⑴ g [f (x )];⑵ 又当 h {g [f (x )]}=f (x ) 成立时,求h (x ) 。
解:⑴ g [f (x )]=g (x +2) =3(x +2) +1=3x +7。 ⑵ ∵ f (x ) 是一次的,故可设 h (x ) =ax +b , 由于 f (x ) =x +2 ,h {g [f (x )]}=f (x ) ,
∴ h {g [f (x )]}=x +2 ,即 a (3x +7) +b =x +2 ,即 3ax +7a +b =x +2 ,
比较两边系数得 3a =1 ,7a +b =2 ,即 a =点评:考查复合函数。
1111,b =- ,∴ h (x ) =x - 。 3333