八年级(上册)期中数学模拟试卷

八年级（上册）期中数学模拟试卷

一、选择题：（本大题共16个小题，每小题2分，共32分. 在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请将它的代号填在题后的括号内. ） 1．（2分）下列实数中，属于无理数的是（ ） A ．﹣3 B ．3.14 C ． 2．（2分）要使分式

D ．

有意义，则x 的取值应满足（ ）

A ．x=﹣2 B ．x ≠2 C．x ＞﹣2 D ．x ≠﹣2 3．（2分）下列说法正确的是（ ）

A ．1的平方根是±1 B ．1的算术平方根是﹣1 C ．1的立方根是±1 D ．﹣1是无理数 4．（2分）如果把分式A ．扩大3倍 B．不变 C ．缩小为原来的倍

D ．缩小为原来的倍

中的x 和y 都扩大3倍，那么分式的值（ ）

5．（2分）化简的结果是（ ）

A ． B． C ． D ．

6．（2分）分式方程+

=的根是（ ）

A ．x=1 B ．x=﹣1 C ．x=3 D ．x=﹣3 7．（2分）下列命题中，为真命题的是（ ） A ．对顶角相等 B ．同位角相等

22

C ．若a =b，则a=b D ．若a ＞b ，则﹣2a ＞﹣2b 8．（2分）两个分式A=

，B=

+

，其中a ≠±1，则A 与B 的关系是（ ）

A ．相等 B．互为倒数 C．互为相反数 D ．A 大于B 9．（2分）小明同学不小心把一块玻璃打碎，变成了如图所示的三块，现需要到玻璃店再配一块完全一样的玻璃，聪明的小明只带了图③去，就能做出一个和原来一样大小的玻璃．他这样做的依据是（ ）

A ．SSS B ．SAS C ．AAS D．ASA 10．（2分）如图，在方格纸中，以AB 为一边作△ABP ，使之与△ABC 全等，从P 1，P 2，P 3，P 4四个点中找出符合条件的点P ，则点P 有（ ）

A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 11．（2分）已知a=

，b=

，c=

，则下列大小关系正确的是（ ）

A ．a ＞b ＞c B ．c ＞b ＞a C ．b ＞a ＞c D ．a ＞c ＞b 12．（2分）如图，表示的点在数轴上表示时，所在哪两个字母之间（ ）

A ．C 与D B ．A 与B C ．A 与C D ．B 与C 13．（2分）某市为解决部分市民冬季集中取暖问题需铺设一条长3000米的管道，为尽量减少施工对交通造成的影响，实施施工时“…”，设实际每天铺设管道x 米，则可得方程条件应补为（ ）

A ．每天比原计划多铺设10米，结果延期15天才完成 B ．每天比原计划少铺设10米，结果延期15天才完成 C ．每天比原计划多铺设10米，结果提前15天才完成 D ．每天比原计划少铺设10米，结果提前15天才完成 14．（2分）若关于x 的分式方程

+

=2有增根，则m 的值是（ ）

，根据此情景，题中用“…”表示的缺失的

A ．m=﹣1 B ．m=0 C ．m=3 D ．m=0或m=3 15．（2分）已知△A 1B 1C 1，△A 2B 2C 2的周长相等，现有两个判断： ①若A 1B 1=A2B 2，A 1C 1=A2C 2，则△A 1B 1C 1≌△A 2B 2C 2； ②若∠A 1=∠A 2，∠B 1=∠B 2，则△A 1B 1C 1≌△A 2B 2C 2， 对于上述的两个判断，下列说法正确的是（ ）

A ．①正确，②错误 B ．①错误，②正确 C ．①，②都错误 D．①，②都正确 16．（2分）如图，设k=

（a ＞b ＞0），则有（ ）

A ．k ＞2 B．1＜k ＜2 C ．

D ．

二、填空题：（本大题共4个小题，每小题3分，共12分．把答案写在题中横线上） 17．（3分）已知命题：“等角的补角相等．”写出它的逆命题： 18．（3分）如图，AC 、BD 相交于点O ，∠A=∠D ，请补充一个条件，使△AOB ≌△DOC ，你补充的条件是出一个即可）．

19．（3分）已知a +3ab +b =0（a ≠0，b ≠0），则代数式+的值等于

20．（3分）甲计划用若干个工作日完成某项工作，从第三个工作日起，乙加入此项工作，且甲、乙两人工效相同，结果提前3天完成任务，则甲计划完成此项工作的天数是 ．

三、解答题：（本大题共6个小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 21．（8分）（1）解分式方程：

2

2

（2）先化简，再求值：÷（﹣），其中a=，b=．

22．（9分）已知A=是m +n +10的算术平方根，B=是4m +6n ﹣1的立方根，求A ﹣B

的平方根． 23．（9分）课本指出：公认的真命题称为基本事实，除了基本事实外，其他的真命题（如推论、定理等）的正确性都需要借助基本事实，通过推理的方法证实．例如：我们学过三角形全等的基本事实有三个，即：“SSS”、“SAS”、“ASA”，请你完成以下问题：

（1）叙述三角形全等的判定方法中的推论AAS ：如果两个三角形的 及其中一个 对应相等，那么这两个三角形全等．

（2）小红同学对这个推论的正确性进行了证明，她画出了△ABC 和△DEF ，并写出了如下不完整的已知和求证． （3）按小红的想法写出证明． 证明：

24．（9分）观察下列各式： 第一式：

；

第二式：第三式：

=﹣； =﹣；

…

（1）请你根据观察得到的规律写出这列式子的第n 式： ； （2）求和：

（3）已知a ﹣6a +9与|b ﹣1|互为相反数，求

2

；

的值．

25．（10分）学校计划选购甲、乙两种图书作为“校园读书节”的奖品．已知甲图书的单价是乙图书单价的1.5倍；用600元单独购买甲种图书比单独购买乙种图书要少10本． （1）甲、乙两种图书的单价分别为多少元？

（2）若学校计划购买这两种图书共40本，且投入的经费不超过1050元，要使购买的甲种图书数量不少于乙种图书的数量，则共有几种购买方案？ 26．（11分）如图1，已知：Rt △ABC 和Rt △DBE ，∠ABC=∠DBE=90°，AB=CB，DB=EB． （1）如图1，点D 在△ABC 外，点E 在AB 边上时，求证：AD=CE，AD ⊥CE ；

（2）若将（1）中的△DBE 绕点B 顺时针旋转，使点E 在△ABC 的内部，如图2，则（1）中的结论是否仍然成立？请证明；

（3）若将（1）中的△DBE 绕点B 顺时针旋转，使点E 在△ABC 的外部，如图3，请直接写出AD ，CE 的数量关系及位置关系．

八年级（上册）期中数学模拟试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：（本大题共16个小题，每小题2分，共32分. 在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请将它的代号填在题后的括号内. ） 1．（2分）（2014•咸宁）下列实数中，属于无理数的是（ ） A ．﹣3 B ．3.14 C ．

D ．

【考点】无理数． 【专题】常规题型．

【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项． 【解答】解：A 、﹣3是整数，是有理数，故A 选项错误； B 、3.14是小数，是有理数，故B 选项错误； C 、是有限小数，是有理数，故C 选项错误． D 、是无理数，故D 选项正确 故选：D ．

【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．

2．（2分）（2015•金华）要使分式

有意义，则x 的取值应满足（ ）

A ．x=﹣2 B ．x ≠2 C．x ＞﹣2 D ．x ≠﹣2 【考点】分式有意义的条件．

【分析】根据分式有意义的条件是分母不等于零，可得x +2≠0，据此求出x 的取值范围即可．

【解答】解：∵分式有意义，

∴x +2≠0， ∴x ≠﹣2，

即x 的取值应满足：x ≠﹣2． 故选：D ．

【点评】此题主要考查了分式有意义的条件，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）分式有意义的条件是分母不等于零．（2）分式无意义的条件是分母等于零．（3）分式的值为正数的条件是分子、分母同号．（4）分式的值为负数的条件是分子、分母异号． 3．（2分）（2015秋•唐山校级期中）下列说法正确的是（ ） A ．1的平方根是±1 B ．1的算术平方根是﹣1 C ．1的立方根是±1 D ．﹣1是无理数 【考点】实数．

【分析】根据平方根、算术平方根、立方根以及无理数的概念对各个选项进行判断即可． 【解答】解：1的平方根是±1，A 正确； 1的算术平方根是1，B 错误； 1的立方根是1，C 错误； ﹣1是有理数，D 错误； 故选：A ．

【点评】本题考查的是平方根、算术平方根、立方根以及无理数的概念，正确理解相关概念是解题的关键．

4．（2分）（2013春•潜江期中）如果把分式A ．扩大3倍 B．不变 C ．缩小为原来的倍

D ．缩小为原来的倍

中的x 和y 都扩大3倍，那么分式的值（ ）

【考点】分式的基本性质．

【分析】把分式中的分子，分母中的x ，y 都同时变成原来的3倍，就是用3x ，3y 分别代替式子中的x ，y ，看得到的式子与原式子的关系． 【解答】解：如果把分式

中的x 和y 都扩大3倍，则原式=

=3×

，

所以分式的值扩大3倍， 故选A ．

【点评】本题考查了分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变，解决这类题目的关键是正确的代入，并根据分式的性质进行分式的化简．

5．（2分）（2003•河北）化简

的结果是（ ）

A ． B．

C ． D ．

【考点】约分．

【分析】首先把分式分子分母因式分解，然后把相同的因子约掉． 【解答】解：

=

，

=﹣，

故选：B ．

【点评】解答本题主要把分式分子分母进行因式分解，然后进行约分．

6．（2分）（2015秋•唐山校级期中）分式方程

+

=

的根是（ ）

A ．x=1 B ．x=﹣1 C ．x=3 D ．x=﹣3 【考点】解分式方程．

【专题】计算题；分式方程及应用．

【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解． 【解答】解：去分母得：x +2x ﹣4=x+2， 移项合并得：2x=6， 解得：x=3，

经检验x=3是分式方程的解． 故选C

【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． 7．（2分）（2012•龙岩）下列命题中，为真命题的是（ ） A ．对顶角相等 B ．同位角相等

22

C ．若a =b，则a=b D ．若a ＞b ，则﹣2a ＞﹣2b 【考点】命题与定理．

【分析】分别判断四个选项的正确与否即可确定真命题． 【解答】解：A 、对顶角相等为真命题； B 、两直线平行，同位角相等，故为假命题；

22

C 、a =b，则a=±b ，故为假命题；

D 、若a ＞b ，则﹣2a ＜﹣2b ，故为假命题； 故选A ．

【点评】主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．

8．（2分）（2015秋•唐山校级期中）两个分式A=

，B=

+

，其中a ≠±1，则A 与B 的关系是（ ）

A ．相等 B．互为倒数 C．互为相反数 D ．A 大于B 【考点】分式的加减法． 【专题】计算题；分式．

【分析】分式B 通分并利用同分母分式的加法法则计算得到结果，即可做出判断．

【解答】解：两个分式A=，B=+==﹣，

则A 与B 的关系是互为相反数， 故选C

【点评】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 9．（2分）（2015秋•唐山校级期中）小明同学不小心把一块玻璃打碎，变成了如图所示的三块，现需要到玻璃店再配一块完全一样的玻璃，聪明的小明只带了图③去，就能做出一个和原来一样大小的玻璃．他这样做的依据是（ ）

A ．SSS B ．SAS C ．AAS D．ASA 【考点】全等三角形的应用．

【分析】此题根据全等三角形的判定方法ASA 进行分析即可得到答案．

【解答】解：第一块，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不符合任何判定方法； 第二块，仅保留了原三角形的一部分边，所以该块不行；

第三块，不但保留了原三角形的两个角还保留了其中一个边，所以符合ASA 判定，所以应该拿这块去． 故选D ．

【点评】此题主要考查学生对全等三角形的运用，要求对常用的几种方法熟练掌握．

10．（2分）（2015•宜昌）如图，在方格纸中，以AB 为一边作△ABP ，使之与△ABC 全等，从P 1，P 2，P 3，P 4四个点中找出符合条件的点P ，则点P 有（ ）

A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 【考点】全等三角形的判定．

【分析】根据全等三角形的判定得出点P 的位置即可．

【解答】解：要使△ABP 与△ABC 全等，点P 到AB 的距离应该等于点C 到AB 的距离，即3个单位长度，故点P 的

位置可以是P 1，P 3，P 4三个， 故选C

【点评】此题考查全等三角形的判定，关键是利用全等三角形的判定进行判定点P 的位置．

11．（2分）（2015•常州）已知a=

，b=

，c=

，则下列大小关系正确的是（ ）

A ．a ＞b ＞c B ．c ＞b ＞a C ．b ＞a ＞c D ．a ＞c ＞b 【考点】实数大小比较． 【专题】计算题．

【分析】将a ，b ，c 变形后，根据分母大的反而小比较大小即可．

【解答】解：∵a=∴

＞

＞

=，b==，c==，且＜＜，

，即a ＞b ＞c ，

故选A ．

【点评】此题考查了实数比较大小，将a ，b ，c 进行适当的变形是解本题的关键． 12．（2分）（2015•六盘水）如图，表示的点在数轴上表示时，所在哪两个字母之间（ ）

A ．C 与D B ．A 与B C ．A 与C D ．B 与C 【考点】估算无理数的大小；实数与数轴． 【专题】计算题．

【分析】确定出7的范围，利用算术平方根求出的范围，即可得到结果． 【解答】解：∵6.25＜7＜9， ∴2.5＜＜3，

则表示的点在数轴上表示时，所在C 和D 两个字母之间． 故选A

【点评】此题考查了估算无理数的大小，以及实数与数轴，解题关键是确定无理数的整数部分即可解决问题． 13．（2分）（2014•路北区一模）某市为解决部分市民冬季集中取暖问题需铺设一条长3000米的管道，为尽量减少施工

对交通造成的影响，实施施工时“…”，设实际每天铺设管道x 米，则可得方程，根据此情景，题

中用“…”表示的缺失的条件应补为（ ）

A ．每天比原计划多铺设10米，结果延期15天才完成 B ．每天比原计划少铺设10米，结果延期15天才完成 C ．每天比原计划多铺设10米，结果提前15天才完成 D ．每天比原计划少铺设10米，结果提前15天才完成 【考点】分式方程的应用．

【分析】工作时间=工作总量÷工作效率．那么3000÷x 表示实际的工作时间，那么3000÷（x ﹣10）就表示原计划的工作时间，15就代表现在比原计划少的时间．

【解答】解：设实际每天铺设管道x 米，原计划每天铺设管道（x ﹣10）米，方程的时间﹣原计划用的时间=15天，

那么就说明实际每天比原计划多铺设10米，结果提前15天完成任务．

，则表示实际用

故选C ．

【点评】本题主要考查了根据方程来判断缺失的条件，要注意方程所表示的意思，结合题目给出的条件得出正确的判断．

14．（2分）（2015•营口）若关于x 的分式方程

+

=2有增根，则m 的值是（ ）

A ．m=﹣1 B ．m=0 C ．m=3 D ．m=0或m=3 【考点】分式方程的增根．

【分析】方程两边都乘以最简公分母（x ﹣3），把分式方程化为整式方程，再根据分式方程的增根就是使最简公分母等于0的未知数的值求出x 的值，然后代入进行计算即可求出m 的值． 【解答】解：方程两边都乘以（x ﹣3）得， 2﹣x ﹣m=2（x ﹣3）， ∵分式方程有增根， ∴x ﹣3=0， 解得x=3，

∴2﹣3﹣m=2（3﹣3）， 解得m=﹣1． 故选A ．

【点评】本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行： ①让最简公分母为0确定增根； ②化分式方程为整式方程；

③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．

15．（2分）（2013•台州）已知△A 1B 1C 1，△A 2B 2C 2的周长相等，现有两个判断： ①若A 1B 1=A2B 2，A 1C 1=A2C 2，则△A 1B 1C 1≌△A 2B 2C 2； ②若∠A 1=∠A 2，∠B 1=∠B 2，则△A 1B 1C 1≌△A 2B 2C 2， 对于上述的两个判断，下列说法正确的是（ ）

A ．①正确，②错误 B ．①错误，②正确 C ．①，②都错误 D．①，②都正确 【考点】全等三角形的判定． 【专题】压轴题．

【分析】根据SSS 即可推出△A 1B 1C 1≌△A 2B 2C 2，判断①正确；根据“两角法”推知两个三角形相似，然后结合两个三角形的周长相等推出两三角形全等，即可判断②．

【解答】解：∵△A 1B 1C 1，△A 2B 2C 2的周长相等，A 1B 1=A2B 2，A 1C 1=A2C 2， ∴B 1C 1=B2C 2，

∴△A 1B 1C 1≌△A 2B 2C 2（SSS ），∴①正确； ∵∠A 1=∠A 2，∠B 1=∠B 2， ∴△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2

∵△A 1B 1C 1，△A 2B 2C 2的周长相等， ∴△A 1B 1C 1≌△A 2B 2C 2 ∴②正确； 故选：D ．

【点评】本题考查了全等三角形的判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS ，ASA ，AAS ，SSS ，而AAA 和SSA 不能判断两三角形全等．

16．（2分）（2013•杭州）如图，设k=（a ＞b ＞0），则有（ ）

A ．k ＞2 B．1＜k ＜2 C ．

D ．

【考点】分式的乘除法． 【专题】计算题．

【分析】分别计算出甲图中阴影部分面积及乙图中阴影部分面积，然后计算比值即可．

22

【解答】解：甲图中阴影部分面积为a ﹣b ， 乙图中阴影部分面积为a （a ﹣b ）， 则k=

∵a ＞b ＞0， ∴0＜＜1， ∴1＜+1＜2，

∴1＜k ＜2 故选B ．

【点评】本题考查了分式的乘除法，会计算矩形的面积及熟悉分式的运算是解题的关键．

二、填空题：（本大题共4个小题，每小题3分，共12分．把答案写在题中横线上） 17．（3分）（2015秋•唐山校级期中）已知命题：“等角的补角相等．”写出它的逆命题： 如果两个角的补角相等，那么这两个角相等 ． 【考点】命题与定理．

【分析】交换命题的题设和结论即可写出该命题的逆命题．

【解答】解：等角的补角相等的逆命题为：如果两个角的补角相等，那么这两个角相等， 故答案为：如果两个角的补角相等，那么这两个角相等．

【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是能够了解如何写出一个命题的逆命题，难度不大． 18．（3分）（2014•绥化）如图，AC 、BD 相交于点O ，∠A=∠D ，请补充一个条件，使△AOB ≌△DOC ，你补充的条件是 AB=CD（答案不唯一） （填出一个即可）．

===1+，

【考点】全等三角形的判定． 【专题】开放型．

【分析】添加条件是AB=CD，根据AAS 推出两三角形全等即可． 【解答】解：AB=CD，

理由是：∵在△AOB 和△DOC 中

∴△AOB ≌△DOC （AAS ），

故答案为：AB=CD（答案不唯一）．

【点评】本题考查了全等三角形的判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS ，ASA ，AAS ，SSS ，题目是一道开放型的题目，答案不唯一．

19．（3分）（2014•泰州）已知a +3ab +b =0（a ≠0，b ≠0），则代数式+的值等于． 【考点】分式的化简求值． 【专题】整体思想．

22

【分析】将a +3ab +b =0转化为a +b =﹣3ab ，原式化为【解答】解：∵a +3ab +b =0， 22

∴a +b =﹣3ab ， ∴原式=

=

=﹣3．

2

2

2222

=，约分即可．

故答案为：﹣3．

【点评】本题考查了分式的化简求值，通分后整体代入是解题的关键． 20．（3分）（2013秋•临淄区校级期末）甲计划用若干个工作日完成某项工作，从第三个工作日起，乙加入此项工作，且甲、乙两人工效相同，结果提前3天完成任务，则甲计划完成此项工作的天数是 8 ． 【考点】分式方程的应用．

【分析】根据题意可设甲乙完成此项工作的时间为x 天，根据从第三个工作日起，乙加入此项工作，结果提前3天完成任务，列方程求解．

【解答】解：设甲乙完成此项工作的时间为x 天，

由题意得，2×+=1，

解得：x=8，

经检验：x=8是原分式方程的解，且符合题意． 答：甲计划完成此项工作的天数为8天． 故答案为：8．

【点评】本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解，注意检验．

三、解答题：（本大题共6个小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 21．（8分）（2015秋•唐山校级期中）（1）解分式方程：

（2）先化简，再求值：÷（﹣），其中a=，b=．

【考点】分式的化简求值；解分式方程． 【专题】计算题；分式；分式方程及应用． 【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解； （2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a 与b 的值代入计算即可求出值． 【解答】解：（1）方程两边同时乘以（x ﹣3），得2﹣x=﹣1﹣2（x ﹣3）， 解得：x=3，

经检验：x=3是原分式方程的解；

（2）原式=÷=•=

当a==﹣3，b==4时，原式==8.4．

【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键

22．（9分）（2010秋•衡南县校级期末）已知A=

是m +n +10的算术平方根，B=

是4m +6n

﹣1的立方根，求A ﹣B 的平方根．

【考点】立方根；平方根；算术平方根． 【专题】常规题型．

【分析】根据立方根和平方根的定义，列出有关m 和n 的方程，继而求出A 和B ，得出A ﹣B 的平方根． 【解答】解：根据题意得：m ﹣n=2，m ﹣2n +3=3， 解得：m=4，n=2，

∴m +n +10=16，A=4；4m +6n ﹣1=27，B=3， ∴A ﹣B=1，

A ﹣B 的平方根为±1．

【点评】考查求一个数的立方根，平方根，算术平方根的知识，用到的知识点为：开方与乘方互为逆运算；一个正数的正的平方根叫做这个数的算术平方根． 23．（9分）（2015秋•唐山校级期中）课本指出：公认的真命题称为基本事实，除了基本事实外，其他的真命题（如推论、定理等）的正确性都需要借助基本事实，通过推理的方法证实．例如：我们学过三角形全等的基本事实有三个，即：“SSS”、“SAS”、“ASA”，请你完成以下问题：

（1）叙述三角形全等的判定方法中的推论AAS ：如果两个三角形的 两个角 及其中一个 角的对边 对应相等，那么这两个三角形全等．

（2）小红同学对这个推论的正确性进行了证明，她画出了△ABC 和△DEF ，并写出了如下不完整的已知和求证． （3）按小红的想法写出证明． 证明：

【考点】全等三角形的判定． 【分析】（1）根据全等三角形的判定定理即可得到结论； （2）根据题意即可得到结论；

（3）在△ABC 与△DEF 中，∠B=∠E ，∠A=∠D ，证得∠C=∠F ，根据全等三角形的判定定理即可得到结论． 【解答】解：（1）两个角；角的对边；

故答案为：两个角，角的对边；

（2）∠D ；BC ；

（3）在△ABC 与△DEF 中，∠B=∠E ，∠A=∠D ， ∴∠B +∠A=∠E +∠D ， 又∵∠A +∠B +∠C=180°，∠D +∠E +∠F=180°， ∴∠C=∠F ，

在△ABC 与△DEF 中，

，

∴△ABC ≌△DEF （ASA ）．

【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 24．（9分）（2015秋•唐山校级期中）观察下列各式： 第一式：第二式：第三式：…

（1）请你根据观察得到的规律写出这列式子的第n 式：

（2）求和：

（3）已知a ﹣6a +9与|b ﹣1|互为相反数，求

【考点】分式的化简求值． 【专题】规律型． 【分析】（1）直接根据给出的例子找出规律即可； （2）根据（1）中的规律直接计算即可；

（3）先根据相反数的定义求出a 、b 的值，代入代数式进行计算即可．

；

=﹣； =﹣；

=﹣；

；

2

的值．

【解答】解：（1）∵第一式∴第n 式故答案为：

（2）原式=﹣=

﹣=

﹣

+

﹣

+…+

=﹣=﹣

． ；

，第二式=﹣，第三式=﹣，

﹣

=

2

；

（3）∵a ﹣6a +9与|b ﹣1|互为相反数， 22

∴a ﹣6a +9+|b ﹣1|=0，即（a ﹣3）+|b ﹣1|=0， ∴a=3，b=1， ∴原式=

+

﹣

+…+

=

﹣+﹣+…+=

﹣=

．

【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键． 25．（10分）（2014•牡丹江）学校计划选购甲、乙两种图书作为“校园读书节”的奖品．已知甲图书的单价是乙图书单价的1.5倍；用600元单独购买甲种图书比单独购买乙种图书要少10本． （1）甲、乙两种图书的单价分别为多少元？

（2）若学校计划购买这两种图书共40本，且投入的经费不超过1050元，要使购买的甲种图书数量不少于乙种图书的数量，则共有几种购买方案？

【考点】分式方程的应用；一元一次不等式组的应用． 【专题】应用题． 【分析】（1）总费用除以单价即为数量，设乙种图书的单价为x 元，则甲种图书的单价为1.5x 元，根据两种图书数量之间的关系列方程；

（2）设购进甲种图书a 本，则购进乙种图书（40﹣a ）本，根据“投入的经费不超过1050元，甲种图书数量不少于乙种图书的数量”列出不等式组解决问题． 【解答】解：（1）设乙种图书的单价为x 元，则甲种图书的单价为1.5x 元，由题意得

﹣=10

解得：x=20 则1.5x=30，

经检验得出：x=20是原方程的根，

答：甲种图书的单价为30元，乙种图书的单价为20元；

（2）设购进甲种图书a 本，则购进乙种图书（40﹣a ）本，根据题意得

解得：20≤a ≤25，

所以a=20、21、22、23、24、25，则40﹣a=20、19、18、17、16、15 ∴共有6种方案．

【点评】此题考查分式方程的运用，一元一次不等式组的运用，理解题意，抓住题目蕴含的数量关系解决问题． 26．（11分）（2012•保定二模）如图1，已知：Rt △ABC 和Rt △DBE ，∠ABC=∠DBE=90°，AB=CB，DB=EB． （1）如图1，点D 在△ABC 外，点E 在AB 边上时，求证：AD=CE，AD ⊥CE ；

（2）若将（1）中的△DBE 绕点B 顺时针旋转，使点E 在△ABC 的内部，如图2，则（1）中的结论是否仍然成立？请证明；

（3）若将（1）中的△DBE 绕点B 顺时针旋转，使点E 在△ABC 的外部，如图3，请直接写出AD ，CE 的数量关系及位置关系．

【考点】全等三角形的判定与性质；旋转的性质． 【专题】几何综合题． 【分析】（1）由AB=CB，DB=EB，加上夹角为直角相等，利用SAS 可得出△ABD ≌△CBE ，利用全等三角形的对应边相等，对应角相等可得出AD=CE，∠BAD=∠BCE ，在直角三角形EBC 中，两锐角互余，再由对顶角相等，得到三角形AEF 中两个角互余，可得出CF 垂直于AD ，得证； （2）（1）中的结论AD=CE，AD ⊥CE 仍然成立，理由为：由一对直角相等，都减去∠ABE ，得到∠ABD=∠CBE ，再由AB=BC，DB=EB，利用SAS 得出△ABD ≌△CBE ，同（1）可得出AD=CE，AD ⊥CE ； （3）结论为：AD=CE，AD ⊥CE ，证明方法同上． 【解答】解：（1）证明：如图1所示， 在△ABD 和△CBE 中，

，

∴△ABD ≌△CBE （SAS ）， ∴AD=CE，∠BAD=∠BCE ， ∵∠BCE +∠BEC=90°，∠AEF=∠BEC ， ∴∠BAD +∠AEF=90°， ∴∠AFE=90°， ∴AD ⊥CE ； （2）（1）中的结论AD=CE，AD ⊥CE 仍然成立，理由为： 证明：如图2所示， ∵∠ABC=∠DBE=90°，

∴∠ABC ﹣∠ABE=∠DBE ﹣∠ABE ，即∠ABD=∠CBE ， 在△ABD 和△CBE 中，

∴△ABD ≌△CBE （SAS ）， ∴AD=CE，∠BAD=∠BCE ， ∵∠BCE +∠BOC=90°，∠AOF=∠BOC ， ∴∠BAD +∠AOF=90°， ∴∠AFE=90°， ∴AD ⊥CE ；

（3）AD=CE，AD ⊥CE ，理由为： 证明：如图3所示， ∵∠ABC=∠DBE=90°，

∴∠ABC ﹣∠DBC=∠DBE ﹣∠DBC ，即∠ABD=∠CBE ，

在△ABD 和△CBE 中，

∴△ABD ≌△CBE （SAS ）， ∴AD=CE，∠BAD=∠BCE ， ∵∠BAD +∠AMB=90°，∠AMB=∠CMF ， ∴∠BCE +∠CMF=90°， ∴∠AFC=90°， ∴AD ⊥CE ．

【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，以及旋转的性质，其中全等三角形的判定方法有：SSS ；SAS ；ASA ；AAS ，以及HL （直角三角形判定全等的方法）．

考点卡片

1．平方根

（1）定义：如果一个数的平方等于a ，这个数就叫做a 的平方根，也叫做a 的二次方根． 一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根． （2）求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方．

一个正数a 的正的平方根表示为“a”，负的平方根表示为“﹣a”．

正数a 的正的平方根，叫做a 的算术平方根，记作a ．零的算术平方根仍旧是零． 平方根和立方根的性质

1．平方根的性质：正数a 有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．

2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．

2．算术平方根

（1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即x =a，那么这个正数x 叫做a 的算术平方根．记为a ．

（2）非负数a 的算术平方根a 有双重非负性：①被开方数a 是非负数；②算术平方根a 本身是非负数．

（3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．

3．立方根

（1）定义：如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根或三次方根．这就是说，如果x =a，那么x 叫做a 的立方根．记作：a3．

（2）正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根． （3）求一个数a 的立方根的运算叫开立方，其中a 叫做被开方数．

注意：符号a3 中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个立方根． 【规律方法】平方根和立方根的性质

1．平方根的性质：正数a 有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．

2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．

4．无理数 （1）、定义：无限不循环小数叫做无理数．

说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数． 如圆周率、2的平方根等． （2）、无理数与有理数的区别：

①把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数， 比如4=4.0，13=0.33333…而无理数只能写成无限不循环小数，比如2=1.414213562． ②所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能．

（3）学习要求：会判断无理数，了解它的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，如分数π2是无理数，因为π是无理数． 无理数常见的三种类型 （1）开不尽的方根，如

等．

3

2

（2）特定结构的无限不循环小数，

如0.303 003 000 300 003…（两个3之间依次多一个0）． （3）含有π的绝大部分数，如2π．

注意：判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．如

5．实数

是有理数，而不是无理数．

（1）实数的定义：有理数和无理数统称实数． （2）实数的分类：

实数 {有理数{正有理数0负有理数无理数{正无理数负无理数 或 实数{正实数0负实数．

6．实数与数轴

（1）实数与数轴上的点是一一对应关系．

任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数．

（2）在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数a 的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离．

（3）利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．

7．实数大小比较 实数大小比较

（1）任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小．

（2）利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．

8．估算无理数的大小

估算无理数大小要用逼近法．

思维方法：用有理数逼近无理数，求无理数的近似值．

9．分式有意义的条件

（1）分式有意义的条件是分母不等于零． （2）分式无意义的条件是分母等于零．

（3）分式的值为正数的条件是分子、分母同号． （4）分式的值为负数的条件是分子、分母异号．

10．分式的基本性质 （1）分式的基本性质：

分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变． （2）分式中的符号法则：

分子、分母、分式本身同时改变两处的符号，分式的值不变． 【方法技巧】利用分式的基本性质可解决的问题

1．分式中的系数化整问题：当分子、分母的系数为分数或小数时，应用分数的性质将分式的分子、分母中的系数化为整数．

2．解决分式中的变号问题：分式的分子、分母及分式本身的三个符号，改变其中的任何两个，分式的值不变，注意分子、分母是多项式时，分子、分母应为一个整体，改变符号是指改变分子、分母中各项的符号． 3．处理分式中的恒等变形问题：分式的约分、通分都是利用分式的基本性质变形的．

11．约分

（1）约分的定义：约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分． （2）确定公因式要分为系数、字母、字母的指数来分别确定． ①分式约分的结果可能是最简分式，也可能是整式．

②当分子与分母含有负号时，一般把负号提到分式本身的前面．

③约分时，分子与分母都必须是乘积式，如果是多项式的，必须先分解因式．

（3）规律方法总结：有约分的概念可知，要首先将分子、分母转化为乘积的形式，再找出分子、分母的最大公因式并约去，注意不要忽视数字系数的约分．

12．分式的乘除法

（1）分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母． （2）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘． （3）分式的乘方法则：把分子、分母分别乘方．

（4）分式的乘、除、乘方混合运算．运算顺序应先把各个分式进行乘方运算，再进行分式的乘除运算，即“先乘方，再乘除”．

（5）规律方法总结：

①分式乘除法的运算，归根到底是乘法的运算，当分子和分母是多项式时，一般应先进行因式分解，再约分． ②整式和分式进行运算时，可以把整式看成分母为1的分式．

③做分式乘除混合运算时，要注意运算顺序，乘除法是同级运算，要严格按照由左到右的顺序进行运算，切不可打乱这个运算顺序．

13．分式的加减法

（1）同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．

（2）异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减．： 说明：

①分式的通分必须注意整个分子和整个分母，分母是多项式时，必须先分解因式，分子是多项式时，要把分母所乘的相同式子与这个多项式相乘，而不能只同其中某一项相乘．

②通分是和约分是相反的一种变换．约分是把分子和分母的所有公因式约去，将分式化为较简单的形式；通分是分别把每一个分式的分子分母同乘以相同的因式，使几个较简单的分式变成分母相同的较复杂的形式．约分是对一个分式而言的；通分则是对两个或两个以上的分式来说的．

14．分式的化简求值

先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．

在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．

【规律方法】分式化简求值时需注意的问题

1．化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式=…”．

2．代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0．

15．解分式方程

（1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．

（2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验： ①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解． ②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解． 所以解分式方程时，一定要检验．

16．分式方程的增根

（1）增根的定义：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根．

（2）增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取哪些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件．当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取

消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根．

（3）检验增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最简公分母，看最简公分母是否为0，如果为0，则是增根；如果不是0，则是原分式方程的根．

17．分式方程的应用

1、列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．

必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等． 2、要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度=路程时间；工作量问题：工作效率=工作量工作时间 等等．

列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力．

18．一元一次不等式组的应用

对具有多种不等关系的问题，考虑列一元一次不等式组，并求解．

一元一次不等式组的应用主要是列一元一次不等式组解应用题，其一般步骤： （1）分析题意，找出不等关系； （2）设未知数，列出不等式组； （3）解不等式组；

（4）从不等式组解集中找出符合题意的答案； （5）作答．

19．全等三角形的判定

（1）判定定理1：SSS ﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等．

（2）判定定理2：SAS ﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等． （3）判定定理3：ASA ﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．

（4）判定定理4：AAS ﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． （5）判定定理5：HL ﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．

方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．

20．全等三角形的判定与性质

（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．

（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．

21．全等三角形的应用

（1）全等三角形的性质与判定综合应用

用全等寻找下一个全等三角形的条件，全等的性质和判定往往是综合在一起应用的，这需要认真分析题目的已知和求证，分清问题中已知的线段和角与所证明的线段或角之间的联系． （2）作辅助线构造全等三角形

常见的辅助线做法：①把三角形一边的中线延长，把分散条件集中到同一个三角形中是解决中线问题的基本规律．②证明一条线段等于两条线段的和，可采用“截长法”或“补短法”，这些问题经常用到全等三角形来证明． （3）全等三角形在实际问题中的应用

一般方法是把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键．

22．命题与定理

www.jktwx.com 1、判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．

2、有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．

3、定理是真命题，但真命题不一定是定理．

4、命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．

5、命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．

23．旋转的性质

（1）旋转的性质：

①对应点到旋转中心的距离相等． ②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角． ③旋转前、后的图形全等． （2）旋转三要素：①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度． 注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样．

21