2014年上海高考数学文科试卷详解版

2014年全国普通高等学校招生统一考试上海数学试卷（文史类）

试题分析

考生注意：

1.本试卷共4页，23道题，满分150分，考试时间120分钟.

2. 本考试分设试卷和答题纸，试卷包括试题与答题要求. 作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分.

3. 答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号，并将核对后的条形码贴在指定位置上，在答题纸反面清楚地填写姓名.

一、填空题（本大题共14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.

1. 函数y =1-2cos 2(2x ) 的最小正周期是__________. 【参考答案】

π

2

2ππ=. 42

【测量目标】考查二倍角公式，三角函数的周期

【试题分析】y =1-2cos 2(2x ) =-(2cos2(2x ) -1) =-cos 4x ，所以T =⎛1⎫_

2. 若复数z =1+2i ，其中i 是虚数单位，则 z +_⎪⋅z =__________.

⎪⎝z ⎭

【参考答案】6

【测量目标】考查复数代数形式的四则运算，共轭复数的概念 ⎛-1⎫_

z +_⎪⋅z =z ⋅z +1=(1+2i)(1-2i)+1=1-4i2+1=6.

【试题分析】 ⎪

⎝z ⎭

3. 设常数a ∈R ，函数f (x ) =|x -1|+|x 2-a |.若f (2)=1，则f (1)=__________. 【参考答案】3

【测量目标】考查函数求值，函数解析式

【试题分析】f (2)=1+|4-a |=1，所以a =4，所以f (x ) =|x -1|+|x 2-4|， 故f (1)=3.

x 2y 2

4. 若抛物线y =2px 的焦点与椭圆+=1的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为

95

__________.

2

【参考答案】x =-2

【测量目标】考查抛物线的准线方程，椭圆的焦点

p x 2y 2

（2,0）【试题分析】椭圆+=1的右焦点右焦点为，故=2，故该抛物线的准线方程为

295x =-

p

=-2. 2

5. 某校高一、高二、高三分别有学生1600名、1200名、800名. 为了解该校高中学生的牙齿健康状况，按各年级的学生数进行分层抽样. 若高三抽取20名学生，则高一、高二共需抽取的学生数为__________.

【参考答案】70

【测量目标】考查分层抽样

【试题分析】由分层抽样知高一、高二、高三抽取的学生数比为4:3:2，高三抽取的学生数为20，故高一、高二共需抽取的学生数为20÷

24+3

⨯=70.

4+3+24+3+2

6. 若实数x , y 满足xy =1，则x 2+2y 2的最小值为__________. 【参考答案

】

【测量目标】考查基本不等式

【试题分析

】由基本不等式可得x 2+2y 2…=故x 2+

2y 2的最小值为. 7. 若圆锥的侧面积是底面积的三倍，则其母线与轴所成的角大小为__________（结果用反三角函数值表示）. 1【参考答案】arcsin

3

【测量目标】考查圆锥的侧面积公式，线线角

r 1

【试题分析】由题意可得，πrl =3πr 2，解得l =3r ，记母线与轴所成的角为θ，则n s i θ==，

l 31

即θ=arcsin .

3

8. 在长方体中割去两个小长方体后的几何体的三视图如图，则切割掉的两个小长方体的体积之和等于__________

.

SHWK1

第8题图 【参考答案】24

【测量目标】考查由三视图求几何体的体积

【试题分析】由三视图可知，被割去的两个小长方体长为2，宽为3，高为2，故切割掉的两个小长方体的体积之和为2×3×2×2=24.

⎧-x +a , x „0, ⎪

9. 设f (x ) =⎨若f (0)是f (x ) 的最小值，则a 的取值范围为__________. 1

x +, x >0. ⎪x ⎩

【参考答案】(-∞,2]

【测量目标】考查函数的最值

【试题分析】f (0)=a ，当x >0时，f (x ) …2，因为f (0)是f (x ) 的最小值，故a „2. 10. 设无穷等比数列{a n }的公比为q ，若a 1=lim (a 3+a 4+

n →∞

+a n ), 则q =__________.

【测量目标】考查数列极限

|1【试题分析】因为无穷等比数列{a n }的极限存在，所以|q

【参考答案

a 1=l

n →∞

(a +i m

3

2

3

a +4

1

2

a 1q 2(1-q n -2) +n a ) 即, a 1=lim ，解得q

1-

q n →∞

-

11. 若f (x ) =x -x ，则满足f (x )

【测量目标】考查幂函数的性质

【试题分析】函数f (x ) 的定义域为(0,+∞) ，f (x )

2

323

-12

23

12

，在同一坐标系中作出x 、x

-12

-

（x >0）的图象（如图），由图象可知，当x ∈(0,1)时，x

.

. 故满足f (x )

SHWK2

第11题图

12.

方程sin x x =1在区间[0,2π]上的所有解的和等于__________. 【参考答案】

7π

3

【测量目标】考查正弦型函数的性质、两角和的正弦公式

ππ1

【试题分析

】因为sin x x =1，所以2sin(x +) =1,sin(x +) =，因为x ∈[0,2π]，所

332ππ7ππ1π5ππ13ππ11π

以x +∈[, ]，所以由sin(x +) =可得x +=或x +=，解得x 1=, x 2=，

[1**********]π11π7π所以x 1+x 2=+=.

263

13. 为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选

择的3天恰好为连续3天的概率是__________（结果用最简分数表示）.

【参考答案】

1 15

【测量目标】考查运用组合数求古典概型

3

【试题分析】记“选择的3天恰好为连续3天”的概率为P ，从10天中选择3天共有C 10种

方法，从10天中选择连续的3天有8种选择方法，故P =

881

==. 3

12015C 10

14.

已知曲线C :x =l :x =6. 若对于点A (m ,0) ，存在C 上的点P 和l 上的点Q 使得AP +AQ =0，则m 的取值范围为__________. 【参考答案】[2,3]

【测量目标】考查向量的坐标运算，向量在平面几何中的应用 【试题分析

】由题意可设P (y p ), Q (6,y Q ) （-2剟y P

2），又因为AP +AQ =0，所

以点P 、A 、Q 在一条直线上，且A 点为线段PQ 的中点.

所以，2m =6，又

-2剟y P

2，所以m ∈[2,3].

二、填空题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸

的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.

15. 设a , b ∈R ，则“a +b >4”是“a >2且b >2”的 （ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件

C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件 【参考答案】B

【测量目标】考查充分、必要条件

, b =6满足a +b >4，【试题分析】由a +b >4不能推出a >2且b >2，如a =1但不能满足a >2且b >2；如果a >2且b >2，由不等式的性质可得a +b >4；故“a +b >4”是“a >2且b >2”

的必要非充分条件.

16. 已知互异的复数a , b 满足ab ≠0，集合{a , b }={a 2, b 2}，则a +b = （ ） A.2 B.1 C.0 D. -1 【参考答案】D

【测量目标】考查集合间的相等关系，集合的互异性 【试题分析】（1）当a =a 2, b =b 2时，a , b 可看作是x =x 2的根，此时ab =0与ab ≠0矛盾，故舍去；

（2）当a =b 2, b =a 2时，可得a +b =b 2+a 2，（*）因为a =b 2, 所以a 2=b 4，所以（*）即为 1

2

①当b =0时，a =0，ab =0与ab ≠0矛盾且不满足集合的互异性，故舍去； ②当b =1时，a =1, ab ≠0，但此时不能满足集合的互异性，故舍去；

b 2+b =b 2+b 4，即b (b 3-1) =0，所以b =0或

b 3=1，此时b =0, 或b =1, 或b =-； 11③当b =-

符合题意，此时a +b =-1；

时，a =-，ab ≠0且满足集合的互异性，

2211④当b =-

符合题意，此时a +b =-1； 时，a =-，ab ≠0且满足集合的互异性，

22

综上所述，a +b =-1.

17. 如图，四个边长为1的小正方形排成一个大正方形，AB 是大正方形的一条边，

P i (i =1,2,3,

,7) 是小正方形的其余顶点，则AB ⋅AP ,2, i (i =1

,7) 的不同值的个数为（ ）

A.7 B.5 C.3

D.1

SHWK3

第17题图

【参考答案】C

【测量目标】考查向量的数量积

【试题分析】如图，以点A 为原点，建立坐标系，则

A (0,0),B (0,2),P 1(0,1),P 2(1,0),P 3(1,1),P 4(1,2),P 5(2,0),P 6(2,1),P 7(2,2)

故AB =(0,2),AP ,0), AP ,1), AP 4=(1,2), AP 1=(0,1),AP 2=(13=(15=(2,0),AP 6=(2,1),AP 7=(2,2)，通过计算可得AB ⋅AP ,2, ,7) 的值有0,2,4, 共3个.

i (i =1

SHWK6

第17题图 18. 已知P 1(a 1, b 1) 与P 2(a 2, b 2) 是直线y =kx +1（k 为常数）上两个不同的点，则关于x 和y 的方程组⎨

⎧a 1x +b 1y =1

的解的情况是 （ ）

⎩a 2x +b 2y =1

A. 无论k 、P 1、P 2如何，总是有解 B. 无论k 、P 1、P 2如何，总有唯一解 C. 存在k 、P 1、P 2，使之恰有两解 D. 存在k 、P 1、P 2，使之有无穷多解 解法一：

【参考答案】B

【测量目标】考查两条直线间的位置关系

⎧ka 1+1=b 1⎧a x +b 1y =1⎧a x +(ka 1+1) y =1⎧x =-k

，代入⎨1得⎨1解得⎨，

⎩y =1⎩ka 2+1=b 2⎩a 2x +b 2y =1⎩a 2x +(ka 2+1) y =1

即直线a 1x +b 1y =1与a 2x +b 2y =1恒交于点(-k ,1) （k 为常数）.

【试题分析】由已知得⎨

解法二：

【参考答案】B

【测量目标】考查利用行列式判断线性方程组的解的情况 【试题分析】由已知条件b 1=ka 1+1，b 2=ka 2+1，

D =

a 1b 1

a 2b 2

=a 1b 2-a 2b 1=a 1(ka 2+1) -a 2(ka 1+1) =a 1-a 2≠0，∴有唯一解，选B.

三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 19. （本题满分12分）

底面边长为2的正三棱锥P -ABC , 其表面展开图是三角形P 1P 2P 3，如图. 求△P 1P 2P 3的各边长及此三棱锥的体积V .

第19题图

SHWK4

【测量目标】考查棱锥的体积，由展开图还原实物图

【试题分析】在△P 1A =P 3A , P 2C =P 3C ，所以AC 是中位线， 1P 2P 3中，P 故PP 12=2AC =4.

同理，P 2P 3=4, P 3P 1=4. 所以△P 1P 2P 3是等边三角形，各边长均为4. 设Q 是△ABC 的中心，则PQ ⊥平面ABC ，

所以AQ PQ ==

1从而，V =S △ABC ⋅PQ =

320. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.

2x +a

设常数a …0，函数f (x ) =x

2-a

-1

（1）若a =4，求函数y =f (x ) 的反函数y =f (x ) ；

（2）根据a 的不同取值，讨论函数y =f (x ) 的奇偶性，并说明理由. 【测量目标】考查求反函数，判断函数的奇偶性

4(y +1) 2x +4

, 【试题分析】（1）因为y =x ，所以2x =

y -12-4

得y 1, 且x =log 2

4(y +1)

. y -1

因此，所求反函数为f -1(x ) =log 2

4(x +1)

, x 1. x -1

（2）当a =0时，f (x ) =1，定义域为R ，故函数y =f (x ) 是偶函数； 2x +1

当a =1时，f (x ) =x , 定义域为(-∞,0) (0,+∞),

2-1

2-x +12x +1

f (-x ) =-x =-x =-f (x ) ，故函数y =f (x ) 是奇函数；

2-12-1

（-∞，log 2a ) (log2a , +∞) 关于原点不对称，当a >0且a ≠1时，定义域故函数y =f (x ) 既不是奇

函数，也不是偶函数.

21. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.

如图，某公司要在A 、B 两地连线上的定点C 处建造广告牌CD ，其中D 为顶端，AC 长35米，CB 长80米，设A 、B 在同一水平面上，从A 和B 看D 的仰角分别为α和β.

（1）设计中CD 是铅垂方向，若要求α…2β，问CD 的长至多为多少（结果精确到0.01米）？

CD 与铅垂方向有偏差，（2）施工完成后，现在实测得α=38.12, β=18.45，求CD

的长（结果精确到0.01米）

.

第21题图

【测量目标】考查正弦定理、余弦定理的实际应用，解三角形 【试题分析】（1）记CD =h . 根据已知得tan α…tan 2β>0， h

h h h >0,

tan α=, tan β=，所以…

351-(h ) 23580

80

2⨯

解得h „28.28. 因此，CD 的长至多约为28.28米. （2）在△ABD 中，由已知，α+β=56.57, AB =115， 由正弦定理得

BD AB

=，解得BD ≈85.064. sin αsin(α+β)

在△BCD 中，由余弦定理得CD 2=BC 2+BD 2-2BC ⋅BD ⋅cos β, 解得CD ≈26.93. 所以，CD 的长约为26.93米.

22. （本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分7分.

在平面直角坐标系xOy 中，对于直线l ：ax +by +c =0和点P ，记1(x 1, y 1), P 2(x 2, y 2) 则称点P η=(ax 1+by 1+c )(ax 2+by 2+c ) 若η

⑵若直线y =kx 是曲线x 2-4y 2=1的分隔线，求实数k 的取值范围；

⑶动点M 到点Q (0,2) 的距离与到y 轴的距离之积为1，设点M 的轨迹为E ，求E 的方程，并证明y 轴为曲线E 的分隔线.

【测量目标】考查直线与曲线的位置关系

【试题分析】（1）证明：因为η=-4

y =kx

有解，22

x -4y =1⎩⎧

1122

即|k |

22122

当|k |时，对于直线y =kx ，曲线x -4y =1上的点(-1,0) 和(1,0)满足η=-k 2

2

(-1,0) 和(1,0)被y

=kx 分隔.

11

故实数k 的取值范围是(-∞, -][, +∞).

22

（3）证明：设M 的坐标为(x ,

y ) ，

则曲线E |x |=1, 即[x 2+(y -2) 2]⋅x 2=1. 对任意的y 0,(0,y 0) 不是上述方程的解，即y 轴与曲线E 没有公共点.

又曲线E 上的点(-1,2) 和(1,2)对于y 轴满足η

23. （本题满分18分）本题共3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分.

已知数列{a n }满足a n 剟a n +1

1

3

3a n , n ∈N *, a 1=1. .

（1）若a 2=2, a 3=x , a 4=9，求x 的取值范围； （2）若{a n }是等比数列，且a m =

1

，求正整数m 的最小值，以及m 取最小值时相应1000

{a n }的公比；

（3）若a 1, a 2, , a 100成等差数列，求数列a 1, a 2,

x 6且剟9

3

, a 100的公差的取值范围.

【测量目标】考查等差数列、等比数列的性质 2

【试题分析】（1）由条件得剟x

3

所以x 的取值范围是[3,6].

3x ，解得3剟x

6.

1

（2）设{a n }的公比为q . 由a n „3a n ，且a n =a 1q n -1≠0，得a n >0.

31

因为a n 剟a n +1

3

1

3a n ，所以剟q

3

3.

1000，解得m …8.

从而

11

=a 1q m -1=q m -1厖() m -1,3m -1

10003

m =

8时，q =

1

[,3]. 3

所以，m 的最小值为8，m =8时，{a

n }（3）设数列a 1, a 2, , a 100的公差为d .

12

则a n 剟a n +d 3a n , -a n 剟d 2a n , n =1,2, ,99. 33

①当d >0时，a 99>a 98>>a 2>a 1, 所以0

③当d -(1+98d ) 剟d 3

2

3

2a 99,

2(1+98d ) ，又d

2

„d

综上，a 1, a 2, , a 100的公差的取值范围为[-

2

,2]. 199