1.2角的概念的推广

1.2角的概念的推广

一、教学目标：

（一）知识与技能：

（1）推广角的概念，理解并掌握正角、负角、零角的定义；

（2）理解象限角、坐标轴上的角的概念；

（3）理解任意角的概念，掌握所有与角终边相同的角（包括角）的表示方法；

（4）能表示特殊位置（或给定区域内）的角的集合；

（5）能进行简单的角的集合之间运算。

（二）过程与方法：

类比初中所学的角的概念，以前所学角的概念是从静止的观点阐述，现在是从运动的观

点阐述，进行角的概念推广，引入正角、负角和零角的概念；由于角本身是一个平面图形，

因此，在角的概念得到推广以后，将角放入平面直角坐标系，引出象限角、非象限角的概念，

以及象限角的判定方法；通过几个特殊的角，画出终边所在的位置，归纳总结出它们的关系，

探索具有相同终边的角的表示；讲解例题，总结方法，巩固练习。

（三）情感态度与价值观：

通过本节的学习，使同学们对角的概念有了一个新的认识；树立运动变化观点，学会运

用运动变化的观点认识事物；揭示知识背景，引发学生学习兴趣；创设问题情景，激发学生

分析、探求的学习态度；让学生感受图形的对称美、运动美，培养学生对美的追求。

二、教学重点：理解正角、负角和零角和象限角的定义，掌握终边相同角的表示法及判断。

三、教学难点：把终边相同的角用集合和符号语言正确地表示出来。

四、学情分析：

五、学法与教法：

在初中，我们知道最大的角是周角，最小的角是零角；通过回忆和类比初中所学角的

概念,把角的概念进行了推广；角是一个平面图形，把角放入平面直角坐标系中以后,了解象

限角的概念；通过角终边的旋转掌握终边相同角的表示方法；我们在学习这部分内容时,首

先要弄清楚角的表示符号,以及正负角的表示，另外还有相同终边角的集合的表示等。教法:

类比探究交流法。

六、教学过程：

（一）、创设情境，揭示课题

同学们，我们在拧螺丝时，按逆时针方向旋转会越拧越松，按顺时针方向旋转会越拧越

紧。但不知同学们有没有注意到，在这两个过程中，扳手分别所组成的两个角之间又有什么

关系呢？请几个同学畅谈一下，教师控制好时间，2-3分钟为宜。

这里面到底是怎么回事？这就是我们这节课所要学习的内容。

初中我们已给角下了定义，先请一个同学回忆一下当时是怎么定义的？

我们把“有公共端点的两条射线组成的图形叫做角”，这是从静止的观点阐述的。

（二）、探究新知

如果我们从运动的观点来看，角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另

一个位置所成的图形。(先后用教具圆规和多媒体给学生演示：逆时针转动形成角，顺时针

转动而成角，转几圈也形成角，为推广角的概念做好准备)

1、正角、负角、零角的概念(可以用课件演示正角、负角、零角的形成过程)．

我们规定：(板书)按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，如图（见课件）。一条射线由

原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转到终止位置OB，就形成角.旋转开

始时的射线OA叫做角的始边，OB叫终边，射线的端点O叫做叫的顶点.按顺时针方向

旋转形成的角叫做负角；如果一条射线没有作任何旋转，我们认为这时它也形成了一个角，

并把这个角叫做零角，如果α是零角，那么α＝0°。钟表的时针和分针在旋转时所形成的

角总是负角．为了简便起见，在不引起混淆的前提下，“角α”或“∠α”可以记成“α”。

过去我们研究了0°～360°范围的角．如图（见课件）中的角α就是一个0°～360°

范围内的角(α＝30°)．如果我们将角α的终边OB继续按逆时针方向旋转一周、两周„„

而形成的角是多少度?是不是仍为30°的角?(用多媒体演示这一旋转过程，让学生思考；为

终边相同角概念做准备)．将终边OB旋转一周、两周„„，分别得到390°，750°„„的

角．如果将OB继续旋转下去，便可得到任意大小的正角。同样地，如果将OB按顺时针方向

旋转，也可得到任意大小的负角(通过课件，动态演示这一无限旋转过程)．这就是说，角度

并不局限于0°～360°的范围，它可以为任意大小的角(与数轴进行比较)．(打开课件第三

版)．如图(1)中的角为正角，它等于750°；(2)中，正角α＝210°，负角β＝—150°，

γ＝－660°．在生活中，我们也经常会遇到不在0°～360°范围的角，如在体操中，有“转

体720°”(即“转体2周”)，“转体1080°”(即“转体3周”)这样的动作名称；紧固螺

丝时，扳手旋转而形成的角．

角的概念经过这样的推广以后，就包括正角、负角和零角．

2．象限角、坐标轴上的角的概念．

由于角是一个平面图形，所以今后我们常在直角坐标系内讨论角，(板书)我们使角的顶

点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴(包括原点)重合，那么角的终边(除端点外)在第

几象限，我们就说这个角是第几象限角．(打开课件第四版)例如图(1)中的30°、390°、

－330°角都是第一象限角，图(2)中的300°、－60°角都是第四象限角；585°角是第三

象限角．

(板书)如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任一象限．

3．终边相同的表示方法．

（可用课件，或黑板画图）在图(1)1(2)中分别以O为原点，直线0A为x轴建立直角坐

标系，重新演示前面的旋转过程)在图(1)中，如果将终边OB按逆时针方向旋转一圈、两

圈„„，分别得到390°，750°„„的角，这些角的终边与30°角的终边相同，只是转过

的圈数不同，它们可以用30°角来表示，如390°＝30°十360°，750°＝30°十2×

360°，„„在图(2)中，如果将终边OB按顺时针方向旋转一圈、两圈„„分别得到－330°，

－690°„„的角，这些角的终边与30°角终边也相同，也只是转过的圈数不同，它们也都

可以用30°的角来表示，如－330°＝30°－360°，－690°＝30°—2×360°，„„

由此可以发现，上面旋转所得到的所有的角(记为β)，都可以表示成一个0°到360°

的角与k(k∈Z)个周角的和，即：β＝30°十k·360°(k∈Z)．如果我们把β的集合记为S，

那么S＝{β|β＝30°十k·360°， k∈Z}．容易看出：所有与30°角终边相同的角，连

同30°角(k＝0)在内，都是集合S的元素；反过来，集合S的任一元素显然与30°角终边

相同。

（三）、巩固深化，发展思维

1、例题讲评

例1.判断下列各角是第几象限角.

(1)—60°； (2)585°； (3)—950°12’．

解：(1)∵—60°角终边在第四象限，∴它是第四象限角；(2)∵585°＝360°十225°，∴

585°与225°终边相同，又∵225°终边在第三象限，∴585°是第三象限角；(3)∵ —950°

12’＝－230°12’—2×360°，又∵－230°12’终边在第二象限，∴—950°12’是第二

象限角.

例2．在直角坐标系中，写出终边在y轴上的角的集合（α用0°～360°的角表示）.

解：在0°～360°范围内，终边在y轴上的角有两个，即90°与270°角，因此，所有与

90°角终边相同的角构成集合S1＝{β|β＝90°＋k·360°，k∈Z}；所有与270°角终边

相同的角构成集合S2＝{β|β＝270°＋k·360°，k∈Z}；所以，终边在y轴上的角的集合

S＝S1∪S2＝{β|β＝90°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝270°＋k·360°，k∈Z}.

例3．写出与60°角终边相同的角的集合S，并把S中适合不等式－360°≤β＜270°的元

素β写出来.

解：S＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}，S中适合－360°≤β＜270°的元素是：

60°－1×360°＝－300°，60°＋0×360°＝60°，60°＋1×360°＝420°.

2．学生课堂练习：参考练习 (可以通过多媒体给题)。

(1) (口答)锐角是第几象限角?第一象限角一定是锐角吗?再分别就直角、钝角来回答这两个

问题.

(2)与—496°终边相同的角是 ，它是第 象限的角，它们中最小正角

是 ，最大负角是 。

(3)时针经过3小时20分，则时针转过的角度为 ，分针转过的角度为 。

(4)若α、β的终边关于x轴对称，则α与β的关系是 ；若α与β的终边关于y轴对

称，则α与β的关系是 ；若α、β的终边关于原点对称，则α与β的关系是 ；若

角α是第二象限角，则180°—α是第 象限角。

[答案](1)是，不一定.(2)—496°十k·360°(k∈Z)，三，240°，—136°.(3)—100°，

—1200°．(4)α十β＝k·360°(k∈Z)；α十β＝180°十k·360。(k∈Z)；α一β＝180°

十k·360°(k∈Z)；一.

（四）、归纳整理，整体认识

(1) 请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？你知道角是如何推广的吗?

(2) 象限角是如何定义的呢? 你熟练掌握具有相同终边角的表示了吗?

（3）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。

（4）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？

（五）、布置作业: 习题1—2第1、2、3、4题．

七、 板书设计：

八、 关键词：正角 负角 零角 象限角

九、教学反思：