概率在近似计算及经典数学分析中的应用

概率在近似计算及经典数学分析中的应用

口刘浏

（四川师范大学基础部四川・成都６１０（０）

摘要：概率论在数学的其他领域有着广泛的应用。在这里作者给出了几个例子说明如何用概率论证明近似计算和经典数学分析

．

关键词：概率近似计算教学分析中图分类号：Ｇ８０４

文献标识码：Ａ

文章编号：１００％３９７３Ｉ２００８）０２－０４３一ｌ

概率论是－１＂３应用性很强的学科，各个领域中的科技证不妨假定【ａ，ｂ】＝【ｏ，１１，否则可取

工作者都能从中得到启发，发现一些有用的模型。单纯地照ｇ（ｆ）：，（口＋ｐ一砂）’ｆ“ｏ’ｌ】．记＾，。１．ｓｕ叫ｐＩ／（ｘ）ｌ・则＾，必有限，令

搬模型比较容易，难的是在实际问题中简化条件提炼出恰当的随机模型，把具体问题和概率论的思想和方法巧妙地Ｑｏ）＝∑（：ｙ（卜ｘｒＶ：－。），ｎ２ｌ

结合起来，我们称之为概率思维。学习概率论的一个目的就显然㈣＝旭Ｑ国＝ｆＯ）・以下证明：对ｖ￡＞－０，存在整数Ｎ，ｎ＞Ｎ

是要锻炼概率思维。

时

在这篇文章中我们简单介绍一下概率论如何用于近似Ｓｕｐ

ｌ，（功一（乙（曲ｌ《ｅ

计算以及证明一些数学分析中的若干经典结果。备半“ｘ）对于闭区问连续必为一致连续，因而必存在

１近似计算中的应用

６＞Ｏ，使得对Ｖ．ｊ一，ｅ（ｏｊ）满足ｌｔ一＾Ｉ‘导，则必有

近年来由于电子计算机的发展，利用适当的概率模型

进行数值模拟已成为一种有效的计算方法——蒙特卡罗

ＩｆＯｑ）一／（屯）｜＜兰

（Ｍｏｎｔｅ．Ｃａｒｌｏ）方法。这种方法的基本思想是：为了计算某构造一个随机模型：在ｎ次独立重复试验中，每次试验些量，先构造适当的概率模型，使模型中的某些数字特征，成功的概率为ｘ，ｘ∈（ｏ，１）记ｌ：，为ｎ次试验中成功的次

恰好与所要计算的量相同或有某种关联，而这些数字特征数，则由切比雪夫不等式得

用概率统计的方法又易于求出。

Ｐａ‘ｚｎ－－Ｘ譬６）≥ｗ（ｒ．／＾０

例ｌ设ｆ（ｘ）为【如】的连续函数，用概率方法求定种分

，ｖ，－０一．ｎ

Ｉ

２—≯ｉ产５ｉ磊Ｆ

。ｔ’

解不失一般性，可设ｈｂ】＝【０，ｌ】，ｆ（ｘ）∈【０，Ｉ】。构造一个几何概率模型：ｎ次独立重复度验，每次向平面区域【０，ｌ】×【０，ｌ】

任取Ⅳ＞吖嫡２￡），则当ｎ＞Ｎ时，对坛Ｅ（ｏ，１）有

上随机地掷点（一．巧），即＿．‘独立且服从【０，ｌ】区间上的

均匀分布。定义随机变量

即成立。

ｎ一，当巧ｇｆ（Ｘ／）；

例４用概率方法证明Ｓｔｉｆｌｉｎｇ公式：

。ｌ一℃当巧｝，（乃）＇

Ｊ＝ｌ，２，…，Ｉｌ，

一√加力玎”Ｐ一１

则ｎ，川：，…，ｔ１。独立同分布，且？ｅ苎－Ｄ。啷“‘一静一＊ｒ（ｎ＋１１

由强大数定理

叫¨‘Ｄ“

证设■，置，…咒独立且具有共同分布Ｅｘｐ（１），参数

ｌｔｍ一２ｌ

㈨ｌｔｍｌｉ窆Ｅ．ｎ。＝Ｉ＇。ｆｆｘ）ｄｚ（ａ．Ｊ）

为ｌ的指数分布。则肼，：ｌ，哳（ｘ，）：Ｉ。利用特征函数或拉普拉

即当。ｎ较大时，可用三争。作为所求定积分的近似值。斯变换易知ｔ嘻ｔ服从ｒ（％１）分布，其概率密度为

例２设／（＾，‘…‘）为‘，中有界闭域Ｄ上的连续函数，Ｉｆ（ｘ）一Ｑ－（砷ｌ

一

‘

爿窆（．ｙ（Ｉ．矿【Ｍ一，白Ｉ

Ａ２

ＪＤ

Ｊ－『【玉，毛，…¨旺％…嘶

＜ｇｌ／（ｘ）一，（Ｅ／ｎ）ｌ

解假设Ｄｃ【州对Ｖ（＾．毫…一）Ｅｈｂｌ’、Ｄ约定，（ｖ圹‘＿）２０，这

＝ｇ（Ｉ／（ｘ）－，（Ｅ／．）Ｉｇｌｓ－ｒ．／ｎｋ６｝）

＋ＥＯｆＣｚ）－／（ｒ．／．）ｌｌ｛ｌ】：－Ｙ．／ｎｋａ｝）

构造一列独立同分布的ｒ维随机向量Ｘｓ－（一，，如…以），ｊ２１‘三２＋２＾刎，一ｔ，Ｈ每６）

，且分量置，。扎…以也独立同分布于【ａ，ｂ】上的均匀分布。则；；＋２Ｍｘ寿“，

贴）：ｊ志巾。・触

磐吉善厂吼）２石虿Ｉ

ｘＩ－ｏＩ（ｘ：；…‘地，趣…血

因而当ｎ较大时，÷ｎ－∥喜—也，可作为定积分△的近似值。所以另一方面，利用中心极限定理得￡．五≯依布收敛于Ｎ，

例３（外尔斯特拉斯定理）设ｆ∞为闭区间ｈｂ】上

其吊。ｋ～Ｎ（ｏ，１），且研＝ＥＮ２；ｌ对ｖｏ＜ｒ（乏Ｊ＞ｏ，定义

函数，

由Ｈｅｌｌｅｙ定理得

曩协论丘・２００８年第２期（下）

万　

方数据试用概率方法求积分

样ｆ于【ａ，ｂ】上有定义。

，（五ｌ八五卜．，（以）独立同分布，且为界定的。由强大数定理

２经典数学分析中的应用

的任一连续函数，则必存在多项式序列｛幺ｏ））一至收敛于ｇｘ）。

低层大气急流的季节观测分析

口王泽军

（武汉大学电子信息学院通信工程系湖北・武汉４３００７０）

摘要：本论文分析了低层大气急流的季节变化。原始数据是美国的编号为０３９３７的站点２００２－２００４年的数据，笔者对数据中经向风和纬向风这两个参数进行处理。通过对其拟合处理，运用ＩＤＬ软件编程输出图形，发现低层大气急流的季节变化规律，即经向风的风速随着高度的变化幅度小，纬向风的风速随着高度的升高变化幅度比较大，春冬季急流最大，而夏季急流最小。

关键词：经向风纬向风风剪切拟合中图分类号：Ｇ８０４

文献标识码：Ａ

文章编号：１００％３９７３（２００８）０２－０４４－２

１引言・

针对美国落基山东侧的低空急流、索马里急流、东亚发生在梅雨锋前的低空急流三支急流国内外做了大量的研究工作。Ｍｅａｎｓ（１９５４），Ｂｌａｃｋａｄａｒ（１９５７），Ｉｚｕｍｉ＆Ｂａｒａｄ（１９６３）等人研究了低空急流的特征及与之联系的天气现象。２０世纪６０年代，国内开始研究东亚副高西北侧大尺度西南风低空急流。本文首先介绍了大气背景知识，然后阐述了数据处理中需要的方法，并对数据进行了拟合，以图形的形式输出，反映出低层大气急流的季节变化规律。２大气背景知识

．大气层分为低层和高层，一般认为低层大气是从地球表面延伸到平流层顶高度约为５０千米，上面就是高层大气。还可以根据温度分布，分为对流层，对流层顶，平流层顶，中层，中层顶，热层和逃逸层。

关于低空急流，Ｂｏｎｎｅｒ定义的标准包括三点：一是高度，通常指最大风速出现在距地１．５ｋｍ之内的大风层；二是最大风速，最大风速层上的风速必须之１２ｍ／ｓ；三是

最大风速层上方的垂直切变要求，通常要求最大风速层上方风速随高度必须是减小的，最低要求是最大风速层与其上方出现的最小风速层之间要有６ｍ／Ｓ的风速差。中国低空急流的定义较宽，包括了对流层中高空大风层下伸后在对流层低层造成的风速增强情况。另外，引入风剪切的概念：两个高度之间的风速差与高度差的商的平方，即

‰

一‘弓｝＝焉，ｙ，它反映了某段高度上风速变化特

征。

３数据处理

在研究中，经常需要根据物理实验的观测数据，来寻求两个物理量之间近似的解析函数关系式或曲线方程。这就是数据拟合。对于具有确定关系的两个物理量，由于偶然误差的存在，会有观测数据反映出两者之间一定程度的不确定性。通过数据拟合，可以在一定精度上找出反映两者间客观函数关系的解析式。拟合和插值类似，但不同的足插值曲线通过所有数据点，而拟合曲线则不然。在数据处理过程中，采用拟合的方法得到：

ＩＥ｜瓦１７一巩以）Ｉ

‰Ⅲ哐（曲

Ｈ－－．＠００

ＩｉｍＥＩＴ，Ｉ＝ＥＩＮＩ

ｓ方¨工１２ｄＦＴ．（郴方

ｌｉｍＥｄＡ（瓦）＝ＥｄＡＩⅣＩ

其中矗（ｚ）为瓦的分布函数，所以当０斗佃时，￡Ｉ￡ｒ一致

＝ｌｘｌ－－击ｅ－：胆凼＝层

参考文献：

收敛于类似可证％（Ⅳ）对Ａ也一致收敛于％（‘）。因而根

据累极限交换定理由得

［１］Ｆｅｌｌｅｒ…Ｗ

ＡｎＩｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎｔｏ

Ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ

Ｔｈｅｏｒｙ

ａｎｄ｛ｓＡｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ，ＪｏｈｎＷｉｌｅｙ，ｌ９５７（中译本：第一

ｌｉｒａＥｆ吖＝ＩｉｍＩ｜ｉｍ％瓴）＊＊■∞月ｍ＝岫蛔％亿）

＾－’∞Ｈ・＋∞

分册．胡迪鹤．林向清译．刘文译．第二分册．概率论文及其应用【Ｍ］．科学出版社．１９７９）．

［２］

陈希孺．概率论与数理统计［Ｈ】．中国科学技术大学出版社．１９９２．

＝帅巩（Ｎ）＝ＥＩＮｌ７

特别当ｒｆｆｉｌ时，

［３］王梓坤．概率论基础及其应用［Ｈ］．科学出版社．１９７６．

［４］ｈｏｗ，Ｙ．Ｓ．ａｎｄＴｅｉｃｈｅｒ，Ｈ．，ＰｒｏｂａｂｉｌｉｔｙＴｈｅｏｒｙ，Ｓｐｒｉｇｅｒ－

Ｖｅｒｌａｇ，ＮｅｗＹｏｒＫ１９８８．

由①，◎得

■协论坛・２００８年第２期Ｉ下ｌ

万方数据　

概率在近似计算及经典数学分析中的应用

作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：被引用次数：

刘浏

四川师范大学基础部,四川·成都,6100168科协论坛（下半月）

SCIENCE & TECHNOLOGY ASSOCIATION FORUM2008，""(2)0次

参考文献(5条)

1. Feller,W An Introductlon to Probablltty Theory and is Appllcations 19572. 胡迪鹤. 林向清. 刘文 概率论文及其应用 19793. 陈希孺 概率论与数理统计 19924. 王梓坤 概率论基础及其应用 1976

5. how,Y.S . Teicher,H Probability Theorly 1988

相似文献(10条)

1.学位论文 王晓贞 鞍点逼近方法及在CDO定价中的应用 2008

Daniels(1954)提出了一种非常有效的统计近似方法--鞍点逼近，来近似随机变量的均值，以及相互独立随机变量比率的密度．随后的几十年中，鞍点逼近方法得到了长足的发展．特别是Lugannani＆Rice(1980)提出了用鞍点逼近方法，近似计算样本均值的尾概率后，鞍点逼近方法被越来越多地引用到统计的计算问题中去，如假设检验p值的计算，M估计、L估计的计算等。

总体上说，鞍点逼近主要有两方面应用：其一，统计量的精确密度函数难以得出，或者形式过于复杂，这时候就可以用鞍点逼近得到近似密度，大量的实例表明鞍点逼近即使在小样本的场合下也近似的非常好；其二，如果只关心统计量的尾概率，比如求某些统计量的p值，那么就可以用鞍点逼近的Lugannani＆Rice(1980)，Wood，Booth＆Butler(1993)、Terrell(2003)等一系列方法来对尾概率做近似，效果都非常好。

　　鞍点逼近以其优良的精度，一直受到众多学者的青睐，Yang，Hurd＆Zhang(2006)将其运用到金融产品CDO(collateralized debt obligation)的定价中去。通过建立了一个标的资产损失的概率模型，在独立性的假设下，计算CDO的系列函数，即资产损失随机变量的1-CMF(1 order conditionalmoment function)，然后通过copula模蛩将独立性假设条件去掉，最后代入定价公式实现对CDO产品的定价。由于CDO结构的复杂性，只有在少数特殊情形下，才能够精确计算CDO的系列函数，而在大部分情形下很难得其精确值，因此需要进行近似计算。 通过模拟计算验证到，这种近似方法在某些情形下，得到的结果比Yang，Hurd&Zhang(2006)更精确。

2.期刊论文 彭求实. PENG Qiu-shi Stirling公式的改进及二项分布概率的近似计算 -哈尔滨商业大学学报（自然科学版）2006,22(4)

应用级数理论证明了一个关于阶乘的不等式,从而给出Stirling公式中参数的一个改进上界,并在此基础上,对一个有关产品检测的古典概率--二项分布的近似计算问题进行了讨论.

3.学位论文 王笑纷 结构体系失效概率近似计算的条件概率降维法 2004

该文主要介绍一种新的结构体系失效概率近似计算的方法——条件概率降维法.文章由四章组成.第一章介绍了结构体系可靠度分析的必要性和特点并回顾了现有常用的计算结构失效概率的方法.第二章简单论述单个失效模式在标准正态随机向量空间中的可靠指标求法以及两个失效模式之间相关系数的确定;第三章详细推导结构体系失效概率近似计算的条件概率降维法:首先将结构体系失效概率近似计算的问题转化为高维标准正态分布函数值计算的问题;然后通过将条件概率近似为某一正态分布,再利用迭代的思想将高维标准正态分布值转化为多个一维标准正态分布值的乘积,从而达到近似计算结构体系失效概率的目的.文章的第四章例举了条件概率降维法的两个工程应用算例:一个重力坝和一个框架结构的失效概率的计算.算例表明,条件概率降维法近似计算结构体系失效概率,精度较好而且计算简单,适合工程应用.

4.期刊论文 周德超. 张洪向. ZHOU De-chao. ZHANG Hong-xiang 射击效力近似计算中的等概率替代法初步研究 -火力与指挥控制2001,26(1)

提出了近似计算单发命中概率的等概率替代法的思路，并给出射弹散布误差均值为零情况下的正方形目标与圆形目标之间的等概率替代数学模型。

5.期刊论文 贺筱军. 李安平 一类装备战斗损伤概率的近似计算模型 -空军工程大学学报(自然科学版)2004,5(5)

根据装备战场损伤评估与修复理论研究的特点和要求,以预制破片式战斗部的反辐射导弹(ARM)为假想威胁,利用解析方法,建立了近似计算ARM攻击条件下的制导站部件损伤概率的计算模型.该模型计算结果与仿真结果相当吻合.

6.学位论文 张英瑞 几类风险模型破产概率的近似计算 2006

破产概率的近似计算是精算学的一个经典问题.本文在几种不同的风险模型假设下，研究了保险公司的破产概率估计问题.具体内容如下：

首先，在索赔额服从指数分布的情形下，研究了原保险公司与再保险公司的破产概率的估计问题.在原保险公司与再保险公司的安全附加系数相等的情况下，推广了Lundberg-Cramer经典风险模型相关的结果，得到了原保险公司破产概率的精确表达式，并且证明了再保险公司的破产概率与免赔额上限无关.此外，还运用Monte-Carlo方法验证了所得的结果与理论值一致.

其次，建立了利息力随时间连续变化，索赔额分布服从Pareto分布，索赔次数为更新过程的风险模型.获得了该模型下保险公司的有限时间破产概率和终极破产概率的近似表达式.

第三，研究了具有多重超额损失再保险合同的破产概率问题.当索赔额服从指数分布时，得到了原保险公司以及第一层次和第二层次的再保险公司破产概率的精确表达式，并且还可以推广到更多层次的分保情形.证明了最后一个层次的再保险公司的破产概率与免赔额无关.运用Monte-Carlo方法实证了理论结果.

7.期刊论文 彭求实. PENG Qiu-shi 二维正态随机向量概率值的近似计算 -哈尔滨商业大学学报（自然科学版）2005,21(3)

为了计算二维正态分布随机向量的概率,在原点型区域上建立了圆形参照域,进而推导出二维标准和一般正态随机向量的概率近似值,以及它们的误差

估计.最后给出几个例子说明这种算法是可行的.

8.期刊论文 宁如云. 李德清 棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理应用中的一些问题 -科技信息2010,""(25)

通过具体例题,给出了在应用棣莫弗-拉普拉新中心极限定理进行近似概率计算时一些常见的解法,通过分析指出其中的合理解法和错误解法.

9.期刊论文 江彤. 金宗安. 谢东. JIANG Tong. JIN Zong-an. XIE Dong 概率数据库的聚集查询 -计算机工程2010,36(11)

在概率关系中,聚集查询的目标是每一个可能世界,而可能世界的数目随着概率关系元组数日的增长呈指数增长,当元组数目较多时,聚集查询在线性时间内无法计算.针对该问题,分别为每一个聚集函数定义3个聚集分量,通过对原概率关系进行编码,分别采用转换、存储过程和近似计算的方法,在线性时间内实现聚集查询,理论证明和实验结果表明该方法的正确性和有效性.

10.学位论文 王慧君 水下卡片间隙试验法测定炸药冲击波感度的实验研究和近似计算 2008

本文将炸药的水下爆炸能量测试方法与冲击波感度测试方法(小隔板法)相结合，研究并尝试了一种测试炸药冲击波感度的方法--水下卡片间隙试验法。

首先，通过在无卡片间隙条件下直接引爆梯恩梯、太安、黑索金、钝化黑索金、8701和膨化硝酸铵炸药等六种典型炸药，分别测定水下爆炸能量释放值，并将其作为主要判据来判断被测炸药试样是否在测试中发生爆轰。

然后，利用Bruceton升降法原理对上述六种炸药进行了水下冲击波感度的试验研究。以聚乙烯材质的卡片为隔板，通过测定在相同引发条件下炸药发生50％爆轰概率时的卡片间隙厚度值，得到了六种炸药的冲击波感度相对排序(由高到低)： 太安＞黑索金＞8701＞钝化黑索金＞梯恩梯＞膨化硝酸铵炸药。

通过将试验结果与文献值、传统隔板试验所得结果进行对比，说明该冲击波感度试验结果是可信的，该水下卡片间隙试验法在一定程度上代替传统隔板试验法是可行的。在此基础上，研究了装药密度对冲击波感度的影响，得出与用其他方法相同的结论，即在一定范围内，炸药装药密度越大，其冲击波感度越低。

最后，对冲击波在隔板介质中的衰减规律进行了分析。根据近似计算的基本假设，计算了符合本文试验条件的卡片间隙初始参量。通过参考相关文献中的冲击波临界压力实测值，对比分析了两种数学衰减模型的特点。

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下载时间：2010年12月25日