顾樾教授小时候及女儿小时候动脑筋VS扑克牌24点的故事

小时候的动脑筋题目

1.

几何三角共九角

三角三角

几何几何

2. 对联

上联： 孙行者

求下联

3. 女儿小学二年级扑克牌 24点比赛打败上海财大毕业的财务总监

题目  1 、3、9、10

财务总监看见  1 、3、9、10

说无解

小学二年级女儿说等一等，然后做出来了

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提高计算能力的好游戏——“24点”扑克牌游戏

有一种叫“24点”的游戏曾经风靡美国、日本等许多国家，深受青少年朋友的喜爱。这种游戏将两张王牌去掉，把A、J、Q、K分别看作1点，11点、12点、13点，或者将它们均看1点，其余牌面是几点，就是几点。

玩的规则不尽相同，其中有一种方法是：

（1）四个人每人抓到13张牌，每人每次从手中任意抽取一张牌。

（2）参加游戏者对这四张牌所代表的数值进行＋、－、×、÷、（）运算，使结果为24。

（3）谁先列出，谁就得1分，牌入底；若四人均无法列出，则无人得分，牌也入底。

（4）再次每人任意抽取一张牌，再次按（2）（3）规则进行。

（5）重复（2）、（3）、（4），直至每人手中13张牌全部用完为一局，得分多者为胜。

例如，抽出的四张牌为3、4、7、11，可以这样计算：

（7－4）×（11－3）＝3×8＝24，或（7＋11）÷3×4＝18÷3×4＝6×4＝24

这是一种非常有趣的游戏，下面我们一起来试一试：

例1  抽出下面四组牌：（A，J，Q，K分别为1点，11点，12点，13点）

（1）2，3，4，5        （2）3，4，5，10

（3）K，7，9，5        （4）J，6，Q，5

你能算出24点吗？

分别：要想比赛获胜，必须有一些技巧。那就是要非常清楚24可以由怎样的两个数求得，如2×12＝24，4×6＝24，3×8＝24，18＋6＝24，30－6＝24……这样就可以把问题转化成怎样使用4个数，凑出两个数的问题，其中有一点值得大家注意，就是四个数的顺序可以依据需要任意安排。

解：（1）依据2×12＝24，可得2×（3＋4＋5）＝24，

（2）依据3×8＝12，可得3×（10÷5×4）＝24，

（3）依据4×6＝24，可得（13－7）×（9－5）＝24，

（4）依据18＋6＝24，可得（11－5）＋（6＋12）＝24

说明：上面各题的解法并不一定是唯一的，如依据4×6＝24，也可得第（2）组为4×（10×3÷5）＝24，可是，就因为这样，才非常激烈、刺激。

例2  如果恰巧四个人抽出的扑克牌是“1～9”中的同一数字的牌，请你帮忙想一想哪种情况可以算出“24”？怎样算？

分析：四人抽出同一数字的牌有9种情况，4个1，4个3，4个4……4个8，4个9，现在的问题转化为如何使四个相同的数字（1~9中的一个）填加运算符号，得“24”的问题。由于4个数字相同，用乘法关系最后求得“24”就不太容易，应考虑＋、－关系，27－3＝24，25－1＝24，20＋4＝24，12＋12＝24……经过尝试，我们发现，4个1，4个2，由于数太小，无法算出“24”，而4个7，4个8，4个9由于太大，也无法算出。其余可以实现。

解：依据27－3＝24 ，可得3×3×3－3＝24，

依据20＋4＝24 ，可得4×4＋4＋4＝24，

依据25－1＝24 ，可得5×5－5÷5＝24，

依据12＋12＝24 ，可得（6＋6）＋（6＋6）＝24，

练习题

1．在“24”点游戏中提出了下面几组牌，你能很快求出“24”吗？

（1）1，3，5，7      （2）2，5，7，9

（3）1，3，9，10    （4）10，4，10，4

（5）K，Q，J，J      （6）Q，10，Q，1

分析：（4）10×10＝100是4的25倍，100－4＝96，正好是4的24倍，所以可以这样做（10×10－4）÷4＝24

（5）K，Q，J，J即13，12，11，11，依据25－1＝24可得13＋12－11÷11＝24

（6）Q，10，Q，1即12，10，12，1，依据12×2＝24可得12×（12－10）×1＝24

解：

（1）（5＋7）×（3－1）＝24  （2）5×7－9－2＝24

（3）（1＋10）×3－9＝24    （4）（10×10－4）÷4＝24

（5）13＋12－11÷11＝24    （6）12×（12－10）×1＝24

2．在“24”点游戏中，抽出了下面两组牌，你能求出“24”吗？

（1）3，3，7，7  （2）1，5，5，5

分析：（1）用常用的方法无论怎么求都不能得出“24”，是否就没有办法了呢？当然不是，用乘法分配律的方法就可以求解

（3＋3÷7）×7

＝3×7＋3÷7×7

＝24

（2）用同样的方法求解

（5－1÷5）×5

＝5×5－1÷5×5

＝24

解：（1）（3＋3÷7）×7＝24

（2）（5－1÷5）×5＝24

说明：熟练地掌握运算定律可以把题目化难为易，这里安排这两个题是为了开阔同学们的眼界，拓宽同学们的思路。

3．抽的四张牌恰好是“1～9”中从大到小连续排列的四张，这样的牌能算出“24”吗？

分析：符合要求的组合有六组：即9，8，7，6；8，7，6，5；6，5，4；6，5，4，3；5，4，3，2；4，3，2，1不难发现它们均可求出24点。

解：

（1）依据4×6＝24得8÷（9－7）×6＝24

（2）依据2×12＝24得（7＋5）×（8－6）＝24

（3）依据2×12＝24得（5＋7）×（6－4）＝24

（4）依据4×6＝24得2×（3＋4＋5）＝24

（5）依据4×6＝24得1×2×3×4＝24

说明：这个例子告诉我们不论从大到小，还是从小到大，连续取“1~9”中任意四个数均可凑成“24”。

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巧算 24 點

關鍵詞：24 點  撲克  摘要：：：

將一副撲克牌中任意取出四張牌，以牌面數字為準，Ａ代表１、２代表２、3代表3．．．

Ｊ代表１１、Ｑ代表１２、Ｋ代表１３。以得到的四個數字任意排列作四則運算（加減乘除），

不限定運算符號之運用次數，但每個數字僅能使用一次，以此來求出２４。

以系統的方法嘗試找出２４點所有的組合，並尋求其規律，為我們的研究的主要目標。

壹、壹壹壹、  、、 研究動機   ：：：

我們班的數學老師平常即會拿一些網路上常見的轉寄信件，來引導我們思考其中的數學

原理，在這樣反覆訓練思考下，我們赫然發現很多乍看之下很神奇的信件內容，都蘊含著數

學的原理。而上學期，在仁林版數學第三冊中，”因式分解”佔其中很大的部分，在因式分解

的諸多方法中，以十字交乘法最受學生喜愛，而為了鍛鍊我們對數字的敏感度，老師更帶來

撲克牌，向大家展示了很多撲克魔術與遊戲，原來這些也都是有數學技巧隱藏其中。而在這

些遊戲裡，就以“巧算２４點”最為有趣，變化性也最多，因而引起我們研究的興趣。

貳、貳貳貳、  、、 研究目的   ：：：

一、盡可能找出２４點所有的變化。

二、探討數字間的關係與規律性。

三、運用創意解決無解的組合。

四、變化遊戲方法

參、參參參、  、、 研究設備器材   ：：：  撲克牌、電腦、紙、筆、無限的耐心與熱情。

肆、肆肆肆、  、、 研究過程或方法   ：：：

一、流程圖

二、２４點遊戲的起源

關於 24 點遊戲的起源，眾說紛紜，但咸認應是由華人孫士傑先生所創。話說孫士傑先

生由上海移民至美國後，拿一副撲克牌讓鄰家孩子算 24 點，誰知這一玩，竟讓美國孩子著

了迷，這些孩子又把遊戲拿回家中和學校，人們發現遊戲對開發智力十分有益，後來就在

全美推廣開了。

孫士傑先生洋名為羅伯特．孫，宣稱自己在１９８８年發明了２４點遊戲，並且設立

名為“Suntex International.Inc.”的公司，註冊了“24”這個商標，搶注了“24game.com”這

個功能變數名稱，並且據此賺取著高額的利潤。

條列２４點所有的組合變化

推廣及應用

為無解的組合改變遊戲方法

撰寫研究結果與說明書

分析數字間的關係，探討規律性   如今這間公司已成為一個跨國公司，在全美、歐洲、甚至非洲都開設了辦事處，主辦

著全美算 24 點錦標賽，有索尼、麥當勞等大公司的贊助，有高級官員的捧場，一副算 24

的牌賣 20 美金……

那這個遊戲真的就是由孫士傑先生所發明的嗎？根據對岸錢江晚報的報導，他們並不

認為如此，因為算２４點遊戲早在１９５０年代就在大陸流傳開來，並且有許多專門研究

２４點的相關著作。並非是如孫士傑先生所稱是由他在１９８８年所發明，至多是由他帶

往美國發揚光大。

那２４點遊戲到底是由誰所創，至今已不可考，其玩法亦各有不同，但主要分為不算

撲克臉（Ｊ、Ｑ、Ｋ）與有算撲克臉兩種，在這裡我們針對第二種玩法來進行探討。

三、24 點遊戲之樂趣

24 點遊戲在台灣雖未相當風行，但在世界各地均有許多愛好者，甚至有很多 24 點的

大型比賽，而在對岸更是超”火”的一種遊戲，而其之所以風靡全球，當然有其魅力所在。

（一）簡單易學：僅運用簡單的加減乘除四則運算，不需要高深的數學技巧，人人皆能

輕鬆上手。

（二）變化多端：沒有公式可以套用，問題具有相當的開放性，解法常常不止一種，越多

人一起計算，越能激盪出更多不一樣的想法。

（三）攜帶方便：只要一副撲克牌就可以進行，撲克牌體積小，攜帶方便，走到哪便可玩

到哪。

（四）人數不限：一個人可以就可以玩，一副牌最多也可１３人一起玩，在多加幾副撲克

牌，要幾個人玩就能幾個人玩。

（五）玩法不拘：雖然大致的玩法相同，但可以比誰算的快，也可以比誰算的多，還可以

比誰的解法多元有創意，玩法可自由變換。    （六）難度不一：玩起來講究靈感，快者一眼即看出答案，慢者想個三天三夜依舊想不出

來。

四、２４點遊戲的所有組合變化

從一副撲克牌中任取四張牌，根據所得到的四個號碼進行四則運算，總共可以得到1820

種組合，其中有４５８種組合依照正常四則運算無法找到解答，我們先針對能求出解的組

合研究其有無規律性、關聯性，並嘗試尋找能更快速運算的訣竅。而那 458 種無解的組合，

則嘗試以跳脫常規的方式改變規則來尋求解答。

（一）１８２０種組合

１８２０是怎麼算出來的？其列式如下：

c

13

4

＋  c

13

3

× c

3

1

＋  c

13

2

×（c

2

1

＋c

1

1

）＋ c

13

1

× c

1

1

=715+286×3+78×3+13

=715+858＋234+13

=1820

c

13

4 ：代表四張牌四個號碼都不同，是從 13 個號碼中去挑的。

c

13

3

× c

3

1 ：代表四張牌三個號碼不同，其中一個號碼重複，如 1233。

c

13

2

×（c

2

1

＋c

1

1

）：代表四張牌有兩種號碼，其中兩個號碼重複，如 2233。

c

13

1

× c

1

1：代表四張牌號碼都一樣，如 1111。

（二）這１８２０種牌組，在網路上可以找到很多小程式可以幫忙運算，但是數字還是

得用人工手動一個一個輸入計算。在經過小組員們不眠不休的努力輸入後，終於

完成一份兩千三百二十二頁的總表，詳見附件一。  伍、伍伍伍、研究結 、、 果果果

一、尋求有解牌組的共同點

從一副撲克牌中任取四張牌，根據所得到的四個號碼進行四則運算，總共可以得到１

８２０種組合，其中有４５８種組合依照正常四則運算無法找到解答，因此我們針對可以找

到解答的１３６２組牌組進行研究，嘗試尋找其規律，整理如下：

在有解的牌組中，用得最爲廣泛的是以下六種解法：（我們用a、b、c、d表示牌面上

的四個數）

（一） (a—b)×（c＋d）

如２、２、４、１０，以（10—4）×（2＋2）＝24等。

（二）（a＋b）÷c×d

如２、２、４、１０，以（10＋2）÷2×4＝24等。

（三）（a－b÷c）×d

如２、２、３、１２，以（3—2÷2）×12＝24等。

（四）（a＋b－c）×d

如２、２、５、９，以（9＋5—2）×2＝24等。

（五）a×b＋c—d

如１、３、１０、１１，以11×3＋1—10＝24等。

（六）（a－b）×c＋d       如１、４、６、６，以（4—1）×6＋6＝24等。

根據上面的牌組變化，我們歸納具有下面幾種特徵的牌組較為好算：

（一）、數字小的比較好算：

數字小的牌組動輒幾百種解法，而數字大的牌組，卻常常有無解的狀況。

（二）、數字中有２４的因數的比較好算：

２４的因數有１、２、３、４、６、１２、２４。除了１、１２、２４外，如

果牌組中有這些因數，會比較好算。

（三）、 有重複數字的不是很好算就是很難算：

四個數字中有重複數字的，不是很好算就是很難算。

（四）、有連續數字的不是很好算就是很難算：

四個數字若為連續數字，除了８、９、１０、１１這組無解外，其他均有解，

但若只有三個連續數字，則有可能無解。

（五）、 三張相同的牌加上Q：

任意三張數字一樣的牌加上Ｑ，一定能解。

（六）、 四張相同的牌：

四張３、四張４、四張５、四張６、四張１２，有解；其他無解。

二、快速看牌術：

根據上面的有解牌組共通點，我們歸納出幾個可以較快速尋求解答的原則：

（一）、全部加起來：       有時最簡單的方法，反而是最容易忽略的方法，在正式開始算之前，可以先將

四個數字全部加起來看看，有時答案出乎意料的簡單喔。而將四個數字加起來值小

於９者，無解的機會相當的高，值若太大者，無解的機會也很高。經由將四個數字

全部先加在一起，可先大略預估其是否有解。

（二）、湊２４的因數：

２４的因數有１、２、３、４、６、１２、２４。除了１跟２４外，只要四張

牌四個號碼中，出現這些因數，則我們可以嘗試使用倍數（乘法，如３×８、６×

４等）來解決，若四個號碼中無這些因數，亦可以藉由將數字加減來湊出因數。實

踐證明，這種方法是利用率最大、命中率最高的一種方法。

（三）、靈活運用相同數字：

在運算時，拿到有相同數字的，通常都不太好算，尤其是遇到撲克臉時（Ｊ、

Ｑ、Ｋ），此時可運用相同數字的特性求解，將兩數字相減為零，相除為１，便可

降低相同數字帶來的困擾。如3、4、4、8可組成3×8＋4—4＝24或者３×８×（４÷

４）等。

（四）、將數字個數減少

在剛開始玩這個遊戲時，老師是先拿三張牌讓我們湊24點，比起算四張牌簡單

許多，我們可以運用此特性，先將數字做加減，將比較討厭的數字(通常是奇數)去

除掉。這可與第二個方法湊因數一起運用，如遇四個數字為2、3、9、13，將數字

13減去9變成4，如此便變成2、3、4三個數字做湊24，相形之下簡單許多。

（五）、將數字值變小

與第四點有異曲同工之妙，我們去觀察可以算去解答的牌組後，發現牌面數字          如果比較小而且有解，通常能算出來的解可以有很多種變化。如果不同兩組牌，其

中一組的牌面數字較小，一組較大(撲克臉)，通常前面那組會比較好算，而且解法

較多種。這是因為數字小時，可以呈現的變化較多，以2而言，可以用2、4、6、8、

10、12……可能形成的數字較多，故解出24的可能性變大，而如13，一增加就馬上

跳到26、39……較不好運用。所以若遇到牌面數字較大者(撲克臉)，可以先考慮將

其相減，以將牌面數字變小。

三、實際應用：

上面的快速看牌術，算是正式算之前的心理建設，為大方向之理論，而在實際應用上

可掌握幾個訣竅以增加獲勝的機會：

（一）最後一個運算步驟是乘法：想辦法將四個數字湊成２４的兩個因數。

１. 固定單一個因數：

四個數字中有一個因數者，先將其固定，再將剩餘３個數字湊成２４的另一

個因數（將２４除以固定之因數，可得另一因數）。如數字２、５、７、８，裡面

有兩個２４的因數（２、８），若先固定２，則另三個數要想辦法湊成１２，但在

此失敗。改為固定８，則另三個數要湊成３，而２×５－７可得３，因此成功。

２.  組合兩個因數：

先取兩個數湊成一個２４的因數，再把剩下兩個數湊成２４的另一個因數（將

２４除以湊出的第一個因數，可得另一個因數），如１、２、４、５，能湊成因數

２的有４－２或４／２，但餘下１與５不能湊成１２，能湊成３的有１＋２、４

－１、５－２，但各自剩下的兩個數都不能湊成８，能湊成４的有５－１，餘下

２＋４能成為６，因此答案為：（５－１）×（４＋２）＝２４。

（二）最後一個運算步驟為加法：把四個數字湊成２４的兩個加數。       １. 統加法：把四個數全部加起來正好為２４。如１、２、１０、１１，四個數

字和正好為24。

２. 固定一個加數法，先固定一個加數，餘下的三個數湊成２４的另一個加數（以

２４減去一開始固定的加數）。如４、５、７、９，先固定９，再把４、５、

７湊成１５，即（７－４）×５＝１５，問題解決。

（三）最後一個運算步驟是減法：把四個數湊成一個被減數與一個減數，使其差為24。

1.固定一個減數法，當四個數的和大於２４時，這個數與２４之間有一差值，而

題目中正好有一個數是這個差值的一半，此時我們只要將其他三個數相加在減

去第四個數即可。如４、９、９、１０，數字和３２，與２４差８，一半為４，

其中政好有4這個數字，因此即可用此法，即９+９+１０-４=２４。

2.合成被減數、減數法。先選兩數相乘，使其大於２４，在努力湊後面兩個數字，

使整個式子的值等於２４，如２、５、６、８，先算５×６＝３０，比２４多６，

再把２與８湊成６，因此５×６－(８－２)=２４。

四、無解牌組：

無解的牌組總共有４５８組，詳見附件二。觀察無解的牌組後，我們歸納出具有下列特

徵的牌組，較易無解。

（一）數字和小於９：

四個數字和比９還要小的牌組，一定無解。

（二）數字和過大：

當四張牌中出現撲克臉（１０、Ｊ、Ｑ、Ｋ）時，容易出現無解。其中以出現Ｊ

跟Ｋ最容易無解。

（三）同樣的號碼：

四張牌中出現相同號碼越多，則越容易出現無解。

陸陸陸. . .

一、無解牌組之另類想法：

對於無解牌組我們嘗試跳脫常規，改變規則，以尋求解答，而可用的方法如下：

（一）、將數字重新組合：

如１、１、１、２，本為無解，將兩個１看成１１，即可算。（１１＋１）×２＝

２４。

（二）、將數字運算後再合併：

如１、１、１、３，先１＋１＝２，在將２與１看成２１，則２１＋３＝２４。

（三）、將數字視為次方數：

如１、１、１、５，１＋１＝２，而５的２次方為２５，則２５－１＝２４

（四）、將數字視為開根號：

如１、２、８、１２，１＋２＝３，而８開３次方為２，則１２×２＝２４。

（五）、將數字配合階乘：

如３、４、６、７，其中３！＝１×２×３＝６，則（７－３！）×４×６＝２４。

（六）、將數字變換成分數：

如１、３、４、６，將３與４看為３／４，則（１－３／４）÷６＝２４二、爲什麼是算24點?

為什麼是算２４點？為什麼不是算２３點、算２５點、算３６點。

根據維基百科，數字２４有下列的特性。

（一）、合數：其因數有：1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24。

（二）、第6個高合成數。

（三）、每個因子減一（包括本身，不包括1，2）得到的數都是質數，24

是具有這樣的性質的最大的數。

(四)、是4的階乘。

其實並不是一定非得要２４點才能算，理論上高興算幾點就能算幾點，但以算２４點變

化性最多。主要是根據上面特性的第一點跟第三點，在第一點中，２４的因數除了本身外，

其他均為撲克牌１３個號碼之ㄧ，能夠擁有最多的變化。以乘除法而言，２４可以是２×１２、

３×８、４×６三種組合，如果是算２３點，就少了乘除法的變換，如果是算２５點，也只有

５×５一種，算３６點，有３×１２、４×９、６×６，雖有三種，但６×６為同數字相乘，遇到

機會相形變小，因此以算２４點擁有最多變化性，且２４的每個因數減去１後得到的數都是

質數，大部分也均在撲克牌１３點數之中，也增加了加減法的變化，因此以算２４點最為有

趣。

柒、柒柒柒、結論 、、

２４點遊戲之迷人之處，在於其變化多端，就算你只是個初解基本四則運算之兒童，也

未必會輸給學富五車之老學究，就如同圍棋般講究天份悟性，在加上沒有可以一定套用之公

式，更增加了各種可能之變數，越是研究越是發覺其深澳。在台灣日前最流行的是數獨，算

２４點跟數獨一樣均不需要高深的數學基礎，而且均號稱可以增進智力。但數獨玩起來較為費時費力，且較難自創題目，要玩還得帶著報紙跟筆。相形之下，２４點就沒這些負擔了，

走到哪可以玩到哪，坐火車，等公車時可玩、下課十分鐘時可玩，甚至上廁所無聊時也可以

玩個幾把，真的是妙不可言，希望能在台灣多多推廣這個遊戲，讓更多同好激盪出更多有趣

的玩法。

捌、捌捌捌、參考資料及其它 、、

一、參考書籍：

１.林革、劉祥丰。趣談 24 點(一)。初中生數學學習初一版。2004(3)-35-36。

２.倪明。撲克”算 24 點”的技巧。華東師範大學出版社。1997-2-1。

二、參考網路：

１.錢江晚報網路版。2006 年 12 月 24 日。取自

http://qjwb.zjol.com.cn/html/2006-11/24/content_1285495.htm

２.維基百科。取自 http://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=24&variant=zh-tw 【評    語】 030404 巧算 24 點

1. 研究主題富趣味性。

2. 書面資料自「p.13 最末起至 p.24」與「p.1 至 p.13」完全重覆。

3. 口頭報告的部份宜加強組織性，方能更突顯研究的內涵。