区间层次分析法的权重求解方法初探
2004年11月
第26卷 第11期
文章编号:10012506X(2004)1121597204
系统工程与电子技术
SystemsEngineeringandElectronics
Nov.2004Vol126 No111
区间层次分析法的权重求解方法初探
肖 峻,王成山,罗凤章
(天津大学电气与自动化工程学院,天津300072)
摘 要:为综合比较各种区间层次分析法的权重求解方法,通过对计算结果的定性分析和定量比较,对其中5
种方法的精度以及在综合评判决策中的适用性作出了评价,并指出其在实际中应用的原则。实际综合评判决策多为离线计算,对每个判断矩阵都可调用多种方法计算权重及其误差,针对以往文献中迭代算法的缺陷提出了改进方法;模型无解的原因并给出了相应的处理方法,并提出了LM关键词:区间层次分析法;权重;评价;迭代法中图分类号:C934 文献标识码:A
Explorationonintheinterval2basedAHP
Jun,WANGCheng2shan,LUOFeng2zhang
(ofElectricalEngineeringandAutomation,TianjinUniversity,Tianjin300072,China)
Abstract:Forcomparingtheaccuraciesofdifferentmethodsofweightcalculationininterval2basedanalytichier2archyprocess(IAHP),fivemethodsarestudied.Bycomparisonandanalysisoftheresults,accuracyofthesemethodsisevaluatedandtheprincipleofapplyingdifferentmethodstopracticalmulti2attributedecision2making(MADM)isconcluded.Incaseofoff2timeMADM,variousalgorithmscanbeinvokedandtheweightswiththeminimalerrorwillbethefinalresults.Inaddition,someimprovementsaremadetoincreasetheaccuraceyoftheiterationalgorithm.Astorandomsimulationmethod,therelationshipbetweenaccuracyandsamplecapacityandtherulesofprobabilitydistribu2tionarestudied.Inaddition,thereasonthatthelowermodel(LM)algorithmhasnosolutioninsomecasesisfound;andamethodtoavoidthissituationisalsoproposed.IthasbeenshownthatwhethertheLMhasasolutionisanewmethodtodeterminetheconsistenceofajudgmentmatrix.
Keywords:interval2basedAHP;weight;evaluation;iterationmethod
1 引 言
层次分析法(analytichierarchyprocess,AHP)是一种实用的多属性决策(MADM)方法[1]。该方法能定性与定量相结合处理各种决策因素,具有系统、灵活和简洁的优点,迅速地在社会、经济等领域中广泛应用。AHP的思想是首先通过建立清晰的层次结构(hierarchy)分解复杂问题,其次引入测度理论,通过两两比较,用相对标度将人的判断标量化,逐层建立判断矩阵,再求解矩阵权重,最后计算方案的综合权重并排序。
为解决主观判断和决策属性的不确定性,发展形成了区间层次分析法(interval2basedAHP,IAHP)[2,3]。IAHP的步骤与AHP类似,不同之处在于用区间数代替点值来构造判断矩阵,求解时则通过区间运算得到权重向量,原始数据和计算结果都用区间数形式表达,便于实现柔性决策。
收稿日期:2003-11-10;修回日期:2004-03-13。
区间权重求解是IAHP方法的核心,目前有近10种方法,但在实际决策中采用何种方法较为适合,却很难决定。对不同方法的精度和适用性进行比较评价的研究并不多见。为此,本文对1-9标度互反性区间判断矩阵的多种权重求解方法进行了定性分析和定量比较,指出其在决策中的应用原则。
2 区间权重求解的基本概念
2.1 区间数
(1)定义
)为偏序集,对给定数对(x-,x+),若满足x-,设(S,≤
x+∈S,且x-≤x+,则可定义一个区间数X。
X=[x-,x+]={x∈S|x-≤x≤x+}
(1)
(2)四则运算
基金项目:科技部科技型中小企业技术创新基金资助课题(99C[1**********])作者简介:肖峻(1971-),男,讲师,博士,主要研究方向为城市电网规划决策。
・1598 ・
设两区间数X=[x-,x+],Y=[y-,y+],有
X+Y=[x+y,x+y]X-Y=[x-y,x-y]
-+
+
---+
+
系统工程与电子技术2004年
X3Y=[min(x-y-,x-y+,x+y-,x+y+),
max(x-y-,x-y+,x+y-,x+y+)]
3-+3+-X/Y=X(1/Y)=[x,x][1/y,1/y]
表3中矩阵元素均为区间数,对称元素的倒数关系采用
区间数的运算法则,例如a21为[6,9],a12则为[1/9,1/6]。
点值可看作区间数的退化形式。通过研究各种基于区间的算法在点值这种边界条件情况下的计算结果,有助于评价算法的精度,因此文中也将比较这种情况。算例的点值判断矩阵编号为B,见表4。
表4 点值判断矩阵B
[1.0000,1.0000][1.9583,1.9583][1.6786,1.6786]
[0.5106,0.5106][1.0000,1.0000][0.8571,0.8571]
[0.5957,0.5957][1.1667,1.1667][1.0000,1.0000]
2.2 权重与判断矩阵
权重是决策中的重要概念,是比较量间相互重要性关系
的定量反映。AHP在确定权重时采用两两比较的办法。若有n个比较量,则让每个量与其它量分别进行共n-1次两两比较,第i个量与第j个量的比较结果记为aij,再加上与自身的比较结果aii,可形成一个n×n的方阵,称为判断矩阵。该矩阵中蕴含了比较量间的权重关系,通过一定的方法可求出权重向量
[1]
3 ,首先建立校验求解结果精A,先采用某种算法求得权重向量Wc,再Wc中各元素两两比较形成矩阵Ac,最后比较Ac与原矩阵
A的差异程度,采用实矩阵空间Rn×n的‖・‖2范数来计算
。在两两比较中,范化数值的过程称为标量化,,的是表1所示的互反性1-9标度表[1]表1 -9等级
13579
同等稍微明显强烈极端
2,4,6,8表示上述相邻判断的中间值
两矩阵间的距离。
n
n
Dist(Ac,A)=‖Ac-A‖(2)=
i=1
∑∑(A
j=1
cij
-Aij)
2
2
(2)
假设有3个待选方案,以方案2与方案1的比较判断为例来说明标量化和形成判断矩阵的过程。若就某个决策属性,专家认为方案2相对方案1的优势程度为“强烈”。通过查阅表1,得到结果为7;而方案1对方案2的比较结果则是
7的倒数1/7,这种倒数关系即是标度的互反性。对3个方案
定义判断矩阵权重求解算法误差为e,并以误差e的大小作为衡量算法精度的评价标准。
(3)e=Dist(Ac,A)
4 定性分析
判断矩阵建立后应进行一致性校验,满足要求后再计算
权重。点值判断矩阵权重计算方法比较成熟,常用的方法主要包括特征向量法、几何平均法[1]等,其思路主要是求解最大特征根对应的特征向量作为权重。区间权重计算的研究是近十几年来才陆续开展的。文献[4]利用迭代计算特征向量的方法来求解权重。文献[5]根据区间数判断矩阵的性质,设计了区间数特征向量法(IEM)求解区间权重。文献[6]参考粗糙集理论的上逼近和下逼近概念提出了求解区间问题的通用模型UM/LM,并用于求解区间判断矩阵的权重。文献[7]将区间数看成是模糊数的截集,由0.1-0.9互补判断矩阵A构造模糊互补一致性矩阵A3的方法来计算权重。文献[7]采用了随机模拟法求解区间权重,权重区间的确定可采用模拟中的最大值和最小值,也可采用置信区间的方法[5]。文献[8]采用目标规划法求解权重向量。文献[9]提出归一化区间概率(NIP)的概念,并指出其在权重求解中的应用潜力。本文验证以下5种的方法:(1)M1:迭代法[4];(2)M2:随机模拟法[5,7];(3)M3:区间特征根法[5];(4)M4:LM/UM[6];(5)M5:构造互补矩阵法[7]。各方法依次编号为M1,
M2,…,M5,以下先对其算法原理进行分析。4.1 迭代法(M1)
两两比较建立的判断矩阵如表2所示。
表2 点值判断矩阵
1.00007.00009.0000
0.14291.00002.0000
0.11110.50001.0000
表2中,对角线元素aii代表方案i与自身的比较,其结
果显然为“同等”,即aii=1;关于对角线对称元素互为倒数,即aji=1/aij。
2.3 区间权重
传统AHP中的判断矩阵采用点值表示,但由于信息的不完备和主观判断固有的含糊性,在实际中往往会出现不确定的判断。例如,专家在判断方案2相对方案1的优势程度时并不十分确定,而可能认为结果介于“明显”“、强烈”到“极端”之间的范围内。这时可用一个区间数[6,9]来代替点数据。按这种方法建立的区间数判断矩阵如表3所示,编号为A。
表3 区间数判断矩阵A
[1.0000,1.0000][6.0000,9.0000][6.0000,9.0000]
[0.1111,0.1667][1.0000,1.0000][1.0000,2.0000]
[0.1111,0.1667][0.5000,1.0000][1.0000,1.0000]
该方法的基本思路是建立迭代格式求解最大特征根对
应的特征向量,具体算法如下。
第26卷 第11期区间层次分析法的权重求解方法初探
・1599 ・
设λmax和W分别为区间1-9标度互反判断矩阵Anxn的最大特征根和对应的特征向量,有
AW=λmaxW 根据上式建立Guass2Sieder迭代格式
(k)()(k)
Wk+1=1/λmaxAW
(k)+(k)
λ|},i=1,…,nmax=max{|Wi
(4)(5)
式中:k———迭代次数,W(k+1)———第k+1次迭代的权重向量。 迭代终止条件 ‖W(k+1)-W(k)‖
以上所有运算都采用区间数的运算法则,ε为一个预先给定的迭代误差阈值,‖・‖表示区间数向量的最大值范数,其定义如下。
设有区间数向量X={xi},其中xi=[x-i,x+i],则
‖X‖=max{|x+i|},i=1,…,n
(6)
图1 随机模拟法中样本数量与计算误差的关系
算例计算还表明,,,,计算对数据分。
,但由于大多数应,因此该方法仍可广泛使用。该方法的优点是不但能求解权重区间,还能研究区间内数据的分布信息。4.3 区间特征根法(M3)
该方法的思路与迭代法基本相同,主要特点是从区间除法运算的客观属性出发,对判断矩阵的定义进行修改,只要求其具有互反性,将区间判断作整体看待,用特征根方法确定权重即可。具体的计算公式见文献[5]。4.4 LM/UM(M4)
该方法借用粗糙集理论的上逼近和下逼近概念,把区间判断矩阵的权重求解转换为线性规划问题。算例计算表明,一般情况下,LM和UM两个模型得到的都是近似结果,但当矩阵为二阶或者退化为点值且具有一致性时将会得到准确解。并且LM模型不总有可行解,是否存在可行解与判断矩阵一致性和矩阵元素的区间宽度有关,当判断矩阵的一致性太低或某些非对角线元素的区间宽度很小时(例如点值),LM模型将得不到可行解。因此本文认为LM模型是否存在可行解,可作为区间判断矩阵一致性校验的一种方法。当矩阵非对角线元素为点值时,若直接采用LM模型求解将得不到可行解,这时只需将判断矩阵中除对角线外其它元素的区间放大一个极小的量,使区间宽度大于零则可求出可行解。4.5 构造互补矩阵法(M5)
该方法主要用于验证不同标度之间相互转换后权重求解结果的差异。根据区间0.1-0.9标度模糊一致互补矩阵的权重解法不同又分为3种方法:①文献[10]中方法;②对原矩阵A随机模拟[7];③对一致矩阵A′随机模拟[7]。计算表明,方法②的结果与原1-9标度互反矩阵结果最为接近,因此在M5中采用该方法的计算结果。
计算表明,文献[4]中迭代算法存在较大误差,(k)
进行了改进。在改进算法中,λmax,作为区间数按下式计算
λmax(k)
n
(ki(ik)
(7)
为便于比较验证,4]中二阶矩阵b1c为例来计算权重,该矩阵如表5所示。
表5 文献[4]中二阶判断矩阵b1c
[1.0000,1.0000][0.3158,0.3529]
[2.8333,3.1667][1.0000,1.0000]
改进前后权重求解误差如表6所示。
表6 改进迭代算法求解结果与文献[4]比较方法权重1权重2e
本文[0.7417,0.7573][0.2478,0.2530]0文献[4][0.6683,0.8306][0.2401,0.2772]0.7204
由于二阶矩阵具有完全一致性,因此一个好的算法的计算误差应趋近于零。从表中可以看出,文献[4]中的迭代算法存在一定误差,而改进后的算法的计算误差为0。其它算例验证的结果均表明本文改进的迭代算法相对文献[4]中方法精确度明显提高。在以后的算法比较中M1指本文改进后的迭代算法。
4.2 随机模拟法(M2)
该方法的思路是从矩阵元素的区间内按给定的概率分布产生随机数,构成点值判断矩阵,再用传统AHP方法求得点值权重。采用大容量样本模拟不仅可求得权重的取值范围,还可绘制其概率分布图,得到各统计参数。权重区间的确定可采用样本中的最大值和最小值
[7],也可采用求置信区间的方法[5],本文中采用了最大最小值法。只要样本数量足够大,求得的权重区间将逼近精确值。仍以文献[4]中矩阵b1c为例来研究样本数量与求解精度的关系。取不同容量样本时区间权重向量及其误差如图1所示。
从图1看出,误差随样本容量增大呈几何级数下降,当样本数达到10000时,误差小于1E25。由于不追求速度,本文采用10000作为样本容量。
5 定量比较
采用以上几种方法求解算例判断矩阵的权重向量,然后采用文献[11]中的可能度法对区间权重向量排序,可能度排序值越大,对应方案的重要性越强。判断矩阵A和B的权重及排序分别如表7、表8所示。
・1600 ・
系统工程与电子技术
表7 判断矩阵A权重求解结果及其可能度排序值
2004年
方法
方案1
区间权重方案2
方案3
可能度排序值
方案1方案2方案3
表8 判断矩阵B权重求解结果及其可能度排序值
方法
方案1
区间权重方案2
方案3
可能度排序值
方案12方案3
表7、表8一致的。表8,相同,且趋近于点值,条件下计算结果的正确性。
为进一步综合比较各方法在各种不同情况下的精度,分别构造了判断矩阵元素为区间数或点值以及一致性分别为完全一致和弱一致性[12]不同组合情况下的算例,计算后的误差比较如表9所示。
表9 不同情况下的算法误差比较
方法
M1M2M3M4M5
实际应用原则;
(2)改进了迭代法,显著提高了计算精度;研究了随机模拟法中样本容量与求解精度的关系以及区间分布规律;研究了LM模型无解的原因及其处理方法,并提出LM模型是否存在可行解可作为区间判断矩阵一致性校验的一种方法。
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点值
一致
0.00000.00000.00000.00000.0744
区间数
弱一致
0.03470.03470.03470.03990.0795
一致
0.08710.05680.09880.09160.4307
弱一致
0.40270.37590.26980.24310.5113
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在表9中,M4采用LM和UM中误差较小的结果。可看出,
M1、M2、M3和M4的计算精度明显高于M5。这是由于M5主要用于验证不同标度间转换后权重求解的差异,计算表明转换后结果存在一定差异,但差异程度并不大。M1、M2、M3和M4的误差都较小且相差不大。实际综合评判决策多为离线计算,对计算速度没有太高的要求,因此对每个判断矩阵都可调用多种方法计算权重及其误差,取误差最小的权重作为结果。若对计算速度有较高要求,可根据判断矩阵元素取区间数或点值以及一致性情况,按表9选择除随机模拟法外的误差最小的方法。
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6 结 论
本文总结和比较了区间层次分析法的权重求解方法,主
要工作包括
(1)提出了衡量区间权重求解精度的误差计算公式;分别在判断矩阵为点值和区间数以及不同一致性情况下进行了定量误差分析,对各算法特点和精度进行了比较,指出了
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