常微分方程讲义(7)
04-23
常微分方程讲义（七）
正交轨线族
例：求曲线Cx 2+y 2=1的正交规线族
例：求曲线y 2=4C (x +C ) 的正交规线族
常微分方程初等积分解法的应用
例：企业广告费用投入与纯利润曲线
广告费用投入的双重效应 ⎧dR =K 1a (M -K 2a ) 建模：⎪ ⎨da ⎪⎩R (0) =R 0
实证：秦池酒业
例：一价密封拍卖的解空间
; 讨价还价⎧一对一:强制一次成交⎪拍卖⎨一对多:英式拍卖=二价密封招标; 荷式拍卖=一价密封招标 ⎪多对多:同步竞价; 序贯竞价⎩
一对一：买衣服；
一对多：古董，郁金香，工程招标；
多对多：国债承销，股票买卖，电力市场，3G 牌照拍卖，媒体广告插播权的竞价分配等。
一价密封拍卖（First-price Sealed-bid Auction）的竞价规则：针对标的物，众多竞拍者写下各自的出价意愿，密封起来不让他人知道，交给拍卖师开启确认后，出价最高的竞拍者获得标的物，并支付其本人写下的价格。
第一种情况：假设市场中有两位竞标者公开竞买同一件物品，竞标者会以什么策略（出价）来竞价？
令b i ≥0是竞标者i 的出价，v i 为待拍卖的物品对竞标者i 的效用。v i 的具体数值只有i 知道，且服从于区间［0，1］上的均匀分布，v i ~U (0, 1) 。假设b i 是v i 的单调增函数。竞标者i 的收益如下：
⎧⎧v i -b i , ⎪b i >b j if ⎨u i =⎨0, ⎪⎩⎩b i
第二种情况：假设市场中有多位竞标者公开竞买同一件物品，竞标者会以什么策略（出价）来竞价？ 条件设定同上，则竞标成功者的出价b =n -1v n v 2