(10)数列极限与数学归纳法
数列极限与数学归纳法
【知识梳理】
1、数列极限的定义
2、几个重要极限
3、极限问题的基本类型
4、极限的运算法则
5、无穷等比数列的各项和
6、数学归纳法的基本形式
7、数学归纳法的应用
【典型例题】
1、 求下列极限:
(1)
2、求下列极限:
(1)lim n →∞-1lim n →∞2n +13n 2+2n +1lim (2)lim ;(3). n →∞n 2+1n →∞n 2+1n 5n +2n (2)lim n +1. n ;n n →∞5-2)
3、lim
⎛246+2+2+n →∞n 2n n ⎝+2n ⎫ 2⎪n ⎭
a n -a -n
4、lim n (a >0) n →∞a +a -n
5、(1)将无限循环小数0.12化为分数; (2)求0.12,0.0012,0.000012……的各项和.
6、用数学归纳法证明:1+a +a +
7、数学归纳法证明:1+3+5+
222∙∙∙∙∙∙∙∙2+a n +11-a n +2=(n ∈N *,a ≠1). 1-a 12+(2n -1)=n (4n 2-1). 3
8、数学归纳法证明:
(1)34n +2+52n +1能被14整除;
+3n +2能被13整除. (2)4
2n +1
9、在数列{a n }中,已知a 1=2,且a n +1=
(1) 求a 2、a 3; 4a n -1 a n +2
(2) 猜想{a n }的通项公式,并用数学归纳法证明.
10、对正数a 以及任意正整数n
n 个a
11、等比数列{a n }的前n 项和为S n ,已知对任意的n ∈N *,点(n , S n )均在函数y =b x +r (b >0, b ≠1)的图像上
(1) 求r 的值;
(2) 当b =2时,记b n =2(log 2a n +1)(n ∈N *)
证明:对任意的n ∈
N *,不等式
b 1+1b 2+1b 3+1⋅⋅b 1b 2b 3⋅b n +1>. b n