名牌大学自主招生专题之平面区域问题
第一讲：平面区域问题
知识要点和处理问题方式方法小结：
解题反思总结：
典例精析：
⎧2x +y -12≤0⎪2的最大值和最小值。例1 若 x 、y 满足条件⎨3x -2y +10≥0，求z =x +y ⎪x -4y +10≤0⎩
⎧3x -y -6≤0, ⎪
变式1:（2009年山东高考题）设x 、y 满足条件⎨x -y +2≥0, 若目标函数
⎪x ≥0, y ≥0, ⎩
23+z =ax +by (a >0, b >0) 的最大值为12，则的最小值为
变式2（2006年复旦大学自主招生考试题）某厂拟用集装箱托运甲乙两种货物，
A. 58百元 B. 60百元 C. 62百元 D. 64百元
⎧1≤x +y ≤4,
变式3、设x 、y 满足条件⎨在点(x , y ) 所在的平面区域里，
⎩y +2≥2x -3,
求函数
f (x , y ) =y -ax 的最大值和最小值，其中a >-1.
例2 设A ={(x , y ) 0≤x ≤2,0≤y ≤2},B ={(x , y ) x ≤10, y ≥2, y ≤x -4},都是直角坐标平面XOY 上的点集，则点集C ={(
x 1+x 2y 1+y 2
, ) (x 1, y 1) ∈A ,(x 2, y 2) ∈B }, 所构成图形的面积是
变式1、（2007年江苏高考试题）在平面直角坐标系XOY 中，已知平面区域A ={(x , y ) x +y ≤1, x ≥0, y ≥0},则平面区域B ={(x +y , x -y ) (x , y ) ∈A },
的面积为
变式2（2009年全国高中联赛试题）在坐标平面上有两个区域M 和
⎧y ≥0⎪
N ，M 为⎨y ≤x ，N
⎪y ≤2-x ⎩
是随t 变化的区域，它由不等式t ≤x ≤t +1所确
定，则M 和N 的公共面积是函数f (t )，则f (t )t 的取值范围是0≤t ≤1，的最大值是 ．
变式3：在平面直角坐标系中，方程
x +y 2a
+x -y 2b
=1(a 、b 为相异正数）， 所
表示的曲线所围成的区域是 （ ） A 、三角形区域 B 、正方形区域 C 、非正方形的长方形区域 D 、非正方形的菱形区域
2
⎧y ≥x , ⎪
例3：若实数x 、y 满足条件⎨2，求函数x 、y 满足条件
2
⎪⎩2x +2xy +y ≤5,
w =2x +y 的最大值和最小值。
变式1：若实数x 、y 满足x 值与最小值。
变式2:（09年北大自招试题）已知对任意实数x ，有a cos x +b cos2x ≥-1，求a +b 的最大值。
2
+xy +y 2≤1，求函数s =x -y +2xy 的最大
例4 已知a , b 都是正数，∆ABC 在平面直角坐标系xOy 内，是以两点
A (a , 0) 和B (0,b ) 为顶点的正三角形，且它的第三个顶点C 在第一象限内。
（1）若∆ABC 在正方形区域D ={(x , y ) 0≤x ≤1, 0≤y ≤1}内，试求a , b
的约束条件，并在直角坐标系aOb 内画出这个约束条件表示的平面区域；
（2）当点(a , b ) 在第（1）小题所得的平面区域内移动，求∆ABC 面积
S 的最大值，并求此时的点(a , b ) 的坐标值。 例5
已知坐标平面内曲线C 的方程为x
2
cos 2θ+y 2sin 2θ=4。
2
（1）当θ在什么范围内时，曲线C 上的所有点都位于不等式x 的图形内（这里0≤θ（2）当表示。
+y 2≤16所表示
≤π），并求出此范围；
π
6
π
3
时，求满足曲线C 的方程的点(x , y ) 的取值范围，并用图形
例6(95年全国高中联赛试题) 直角坐标平面上，满足不等式组
1⎧y ≥x , ⎪3⎪
⎨y ≤3x , 的整点（即横、纵坐标都是整数的点）的个数是 ⎪x +y ≤100⎪⎩
⎧y x ⎨
变式1（07年清华自招试题）求不等式组⎪，的整数解个数。 2
⎪⎩x +y =60
变式2 试确定三边为整数且周长为1992的不全等的三角形个数。
课后习题
⎧x ≥0x +2y +3⎪p =1. 设 x 、y 满足约束条件⎨y ≥x ，则的取值范围是 ⎪4x +3y ≤12⎩
≤y 2. 已知0≤x ≤1, 0≤2y , +且3z ≥x 2+y . 求+z 函=数1
. F =2x +6y +的最大值与最小值4z
⎧2x -y +2≥0⎪
3.(07年安徽高考试题) 如果点P 在平面区域⎨2y -1≥x 内, 点Q 在
⎪x +y -2≤0⎩
曲线x 2+(y +2) 2=1上, 那么PQ 最小值为