二元函数的可微性研究
二元函数的可微性研究
龙爱芳
（中南民旋大学数学与统计学学院．湖北武汉４３００７４）
摘要研究二元函数的可徼性，得到两个充分条件，它们与已有的判别二元函数可微性的充分条件相比更
为简单，因而使得应用更为简便．
关键词
二元函数；偏导数；可微性
中图分类号
０１７４
文献标识码
Ａ
数学分析教材［１—２］给出了二元函数可微的一
个充分条件．
定理１［卜２３
若二元函数石＝，（工，ｙ）的偏导数在（面，执）的某邻域内存在，且丘缸，ｙ），五＆，力在点（ｘｏ，执）连续，则函数厂（ｚ，ｙ）在（ｚｏ，ｙｏ）处可微．
以上的充分条件是否可以弱化呢？是否可以降低条件而又能保证ｚ＝ｆ（ｘ，ｙ）在（知，执）处可微呢？答案是肯定的．
定理２
若二元函数ｚ＝ｆ（ｘ，ｙ）在（ｚｏ，弘）处
的两个偏导数＾（ｚ，ｙ），兀（ｚ，ｙ）均存在，在知的某邻域内厶（ｚ，Ｙ。）存在且＾（ｚ，Ｙｏ）在Ｘｏ处连续，或者在Ｙｏ的某邻域内正（鳓，ｙ）存在且正（ｘｏ，ｙ）在汕处连续，则函数ｆ（ｘ，ｙ）在（岛，Ｙｏ）处可微．
证明
由于二元函数ｚ＝ｆ（ｘ，，）在（ｚｏ，Ｙ。）
处两个偏导数＾（ｚ，ｙ），六（ｚ，ｙ）均存在，不妨设在ｚ。的某邻域内厶（ｚ，ｙｏ）存在且厶（ｚ，Ｙｏ）在Ｘｏ处连续（在Ｙ。的某邻域内＾（Ｘｏ，ｙ）存在且正（Ｘｏ，ｙ）在执处连续的情形可作类似证明）．
先将ｆ（ｘｏ＋缸，蛳）在（ｘｏ．ｙｏ）处展开成带有
Ｐｅａｎｏ余项的Ｔａｙｌｏｒ公式
ｆ（ｘｏ＋缸，Ｙｏ）＝ｆＣｘｏ，Ｙｏ）＋＾（劫，ｙｏ）缸＋ｏ（ｚＸｚ），
（１）再将ｆ（ｘｏ＋缸，Ｙｏ＋Ａｙ）在（Ｘｏ＋缸，Ｙｏ）处展开成
带有Ｐｅａｎｏ余项的Ｔａｙｌｏｒ公式并应用（１）式得
ｆ（ｘｏ＋缸，Ｙｏ＋Ａｙ）＝ｆ（ｘｏ＋缸，Ｙｏ）＋
只（ｚｏ＋△ｚ，了ｏ）△》＋Ｄ（△秒）一
投稿日期：２０１０一０６—２５，修改日期：２０１１－－０２—０２．基金项目：中南民族大学教研项目（ＪＹＸＩ００３６）．
作者简介：龙爱芳（１９６９一）。广西荔浦人，硕士，剐教授，主要从事计
算数学方面的研究．Ｅｍａｇ：ｌｌｌｌａａａｌｆｆｆｌ＠ｔｏｍ．ｃｏｍ．
万方数据
文章编号
１００８—１３９９（２０１１）０２。０００６’０２
ｆＣｘｏ，Ｙｏ）＋厶（Ｘｏ，Ｙｏ）缸＋＾（ｘｏ＋缸，ｙｏ）却＋Ｄ（缸）＋ｏ（旬）．
（２）
由于＾（ｚ，Ｙｏ）在面处连续，则
ｌｉｒａ．ｆ，（函＋缸，ｙｏ）；厶（勐，ｙｏ），
也即
兀（Ｘｏ＋位，ｙｏ）＝厶（Ｘｏ，Ｙｏ）＋（Ｚｌ，
（３）
其中
ｌｉｍａｌ—０．
（４）
将（３Ｘ式代人（２）式得・
ｆ（ｘｏ＋缸，Ｙｏ＋匈）＝ｆ（ｘｏ，ｙｏ）＋
，ｚ（ｘｏ，Ｙｏ、）△ｚ＋ｆ，（ｘｏ，Ｙｏ）△，ｊ广
ｍ旬＋ｏ（Ａｚ）＋ｏ（旬），
即全增量△ｚ可以表示为
位＝ｆ（ｘｏ＋血，Ｙｏ＋旬）一ｆ（ｘｏ，ｙｏ）＝
，ｔ（ｘｏ，Ｙｏ、△王＋ｆ，（ｘｏ，Ｙｏ、＞△≯＋
口ｌ衄＋ｏ（厶ｚ）＋Ｄ（旬）．
因为
。＜揣＜１’㈣
ｏ＜瓦者装矛ｑ，
而且无穷小量乘有界量为无穷小量，所以，由（４）式和（５）式可得
（缸，４ｙ）＋（ｏ・ｏ’￣／（△ｚ）２＋（凸∥）２
ｌｉｍ＿＝兰兰ｂ＝０，（６）
又因为
加一ｏ
ｌｉｍ＿ｏ（ｚＸｚ）：０，ｌｉｍ丛兮垃：０，（７）
ＺＩｚ
旬一ｏ
Ａｙ
而且无穷小量乘有界量为无穷小量，所以，由（５）式和（７）式可得
第１４卷第２期
从而有
‘。船帆，警。而丽。幽恕。，。，掣Ｌｌｙ。而南吼…ｌｉｒａ…光耥２
。旬）一（ｏ．ｏ）△ｚ
．／ｆ＾ｚ、２—＿．ｆ＾，，、２
一０，
‘扛・衄）一（ｏ，ｏ）
龙爱芳：二元函数的可截性研兜
７
即＾（ｚ。，３’）在Ｙ—Ｙ。处连续．根据定理２可知函数ｆ（ｘ，３ｒ）在（ｚｏ，ｙｏ）处可微．
例１讨论函数‘
＾／（△ｚ）２＋（△ｖ）２
触动＝．｛
妣、『）；ｊ留ｗ烛南，“娉０＇
ｚ十ｙ
１０，Ｚ＋夕＝０
（缸・却）’（ｏ・∞￣／（△ｚ）２＋（△∥）ｏ
在煎０，ｏ）处的可微性．
解法１
因为
结合（６）式和（８）式，可得
恤・４，）＿．（ｏ・ｏ’
恤．恐。．。，号拦訾一ｏ，
√（△ｚ）２＋（△∥）２
恤．腮∽警。而知虬㈣
恤・旬）．（ｏ，∞ｚ耖
恤．撬，∞警。而舞丽＋
恤．却）一∞，∞盘
．／ｆ＾ｒ、２＋ｆ＾，、２
、．＾（ｏ＇ｏ）＝蝴丝等等业＝
磐ｓｉｎ≯１＝ｏ，ｐＯ
ｊ●
√（△石）２＋（厶，）２
由对称性可知
Ｌ（ｏ，ｏ）＝０．
另外，根据导数的定义并应用洛必达法则，有
即当（缸，匆）辛（０，０）时，
Ｑ１衄＋ｏ（Ａｚ）＋Ｄ（Ａｏ，）＝ｏ（ＩＤ），
其中
』Ｄ＝以五ＦＦ蕊矿．
所以，全增量肚可以表示为
蚪锄南南ｏｏｓ南］一ｏ，
故＾（０，了）在Ｙ＝０处连续．根据定理２可知题设中所给函数ｆ（ｘ，ｙ）在（Ｏ，ｏ）处可微．
解法２
丘（ｏ，了）＝蜜也等吾业＝
△２＝ｆ（ｘｏ＋缸，Ｙｏ＋甜）一厂（知，ｙｏ）＝
彳；（ｘｏ，＇ｏ）△ｚ
ｊｒ，，（ｚｏ，’ｏ、）△≯＋ｏ（由，
由于
＾（Ｏ，Ｏ）一Ｏ，
故函数ｆ（ｘ，ｙ）在（动，Ｙｏ）处可微．
推论１
若二元函数ｚ—ｆ（ｘ，，）在（Ｚｏ，ｙｏ）处
丘（Ｏ，０）；０，
两个偏导数厶（ｘｏ，ｙｏ），兀（Ｘｏ，３０）均存在，且
厶（ｏ＇。）－ｌ广ｉｒａ。艘号暑唑＝ｏ，
即＾（０，ｏ），厂，（Ｏ，Ｏ）存在，且厶（Ｏ，Ｏ）存在．根据推
论１可知题设所给函数ｆ（ｘ，ｊ，）在（Ｏ，Ｏ）处可微．
参考文献
［１１华东师范大学敛学系．数学分析一下册ＥＭ］．３版．北京。
厶（ｚ。，了。）或者厶（ｚｏ，ｙｏ）存在，则函数ｙ（ｘ，，）在
（ｚｏ，孔）处可微．
证明
．
在的情形可作类似证明）．因为
厶（ｚｏ，Ｙｏ）＝磐丛号掣Ｙｏ
＇＿．孰
）’
不妨设厶（Ｘｏ，Ｙｏ）存在（厶（Ｘｏ，ｙｏ）存
．
，
高等教育出版社，２００１：１０７－１２４．
ｒｚＪ复旦大学数学系．数学分析。下册［Ｍ３．２版．北京：高等
所以
ｌｉｒａｌｔ（Ｘｏ，曲＝ｌｌ（Ｘｏ，ｙｏ）Ｉ
教育出版社。１９８３。１２０－１３５．
ＤｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｂｉｌｉｔｙｏｆＦｕｎｃｔｉｏｎｓｉｎＴｗｏＶａｒｉａｂｌｅｓ
ＬＯＮＧＡｉ—ｆａｎｇ
（ＳｃｈｏｏｌｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓａｎｄＳｔａｔｉｓｔｉｃｓ，Ｓｏｕｔｈ－ｃｅｎｔｒａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｆｏｒＮａｔｉｏｎａｌｉｔｉｅｓ。Ｗｕｈａｎ４３００７４，ＰＲＣ）Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｉｓ
ｐａｐｅｒ
ｅｓｔａｂｌｉｓｈｅｓｔＷＯ
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ｓｕｆｆｉｃｉｅｎｔｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓｆｏｒｔｈｅ
ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｂｉｌｉｔｙｏｆ
ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ．ｉｎｔｗｏｖａｒｉａｂｌｅｓ，ｗｈｉｃｈ
ｓｉｍｐｌｅｒｔｈａｎｏｔｈｅｒｅｘｉｓｔｉｎｇｃｏｎｃｌｕｓｉｏｎｓ．
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｆｕｎｃｔｉｏｎｏｆｔｗｏｖａｒｉａｂｌｅｓ，ｐａｒｔｉａｌｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ，ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｂｉｌｉｔｙ
万方数据
二元函数的可微性研究
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：
龙爱芳， LONG Ai-fang
中南民族大学数学与统计学学院,湖北,武汉,430074高等数学研究
STUDIES IN COLLEGE MATHEMATICS2011,14(2)
本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_gdsxyj201102003.aspx