除法中的巧算(含答案)

除法中的巧算

（一）学习方法指导

我们利用“商不变的性质”进行除法中的巧算，因为“商不变性质”，是被除数、除数同时乘以或同时除以一个数（零除外），它们的商不变。

一般有这样的公式：a ÷b =(a ⨯n )÷(b ⨯n )

或 =(a ÷n )÷(b ÷n )

如：12÷3=(12⨯2)÷(3⨯2)=24÷6=4

或 12÷6=(12÷2)÷(6÷2)=6÷3=2

例1. 用简便方法计算下列各题。

（1）825÷25

（1）825÷25 （2）47700÷900 分析：（1）（2）可以利用“商不变的性质”去计算。 (n ≠0)

=(825⨯4)÷(25⨯4)

=3300÷100

=33

想办法使其中一个数扩大、或缩小后成为整十、整百、整千，如25扩大4倍得100。

（2）47700÷900

=(47700÷100)÷(900÷100)

=477÷9

=53

看到被除数，与除数末尾都有00，这样让它们同时缩小100倍。

在除法运算中，还有两个数的和，（或差）除以一个数，可以用这个数分别去除这两个数（在都能整除的情况下），再求两个商的和或差。

一般公式：(a +b )÷c =a ÷c +b ÷c

(a -b )÷c =a ÷c -b ÷c

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如：(12+6)÷2=12÷2+6÷2=6+3=9

(12-6)÷2=12÷2-6÷2=6-3=3

这个性质可以推广到多个数的和除以一个数的情况。

例2. 用简便方法计算。

（1）(250+165)÷5

（2）(702-213-414)÷3

分析：这两题都可以运用以上性质去解答，就是“两个数的和（差）除以一个数”的除法运算性质。

（1）(250+165)÷5 （2）(702-213-414)÷3

=250÷5+165÷5

=50+33

=83 =702÷3-213÷3-414÷3=234-71-138 =25

除了以上性质外，使计算题简便，同时还有利用乘、除同级运算带着符号“搬家”的性质：

（1）两个数的商除以一个数，等于商中的被除数先除以这个数，再除以原来商中的除数。

一般有：a ÷b ÷c =a ÷c ÷b

如：12÷3÷2=12÷2÷3

（2）两个数的积除以一个数，等于用除数先去除积的任意一个因数，再与另一个因数相乘。

一般有：a ⨯b ÷c =a ÷c ⨯b

或=b ÷c ⨯a

如：12⨯6÷2=12÷2⨯6=36

或：12⨯6÷2=6÷2⨯12=36

例3. 计算下面各题。

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（1）525÷7÷5

（2）128⨯5÷8

分析：这两题可以运用乘除混合运算带着符号“搬家”的性质。

（1）525÷7÷5 （2）128⨯5÷8

=525÷5÷7

=105÷7

=15=128÷8⨯5 =16⨯5=80

在运算中经常出现乘除混合运算及括号等，怎么办，仍有一些性质：

1. 一个数除以两个数的积，等于这个数依次除以积的两个因数。

一般公式：a ÷(b ⨯c )=a ÷b ÷c

如：12÷(6⨯2)=12÷6÷2=1

例5. 简便计算下面各题。

（1）756÷(7⨯9)

（2）1260÷7÷9

分析：利用以上公式计算，发现（1）被除数÷两个数的积，可以用下面公式计算：

（1）756÷(7⨯9) （2）1260÷7÷9

=756÷7÷9

=108÷9 =1260÷(7⨯9)=1260÷63

=20 =12

2. 一个数乘以两个数的商，等于这个数乘以商中的被除数，再除以商中的除数。 一般的有：a ⨯(b ÷c )=a ⨯b ÷c

如：12⨯(6÷2)=12⨯6÷2

例6. 简便计算。

（1）720⨯12÷4

（2）125⨯(8÷2)

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分析：以上两题可以利用乘除混合运算“去括号”，或“添括号”的性质进行巧算。

（1）720⨯12÷4 （2）125⨯(8÷2)

=720⨯(12÷4)

=720⨯3

=2160

=125⨯8÷2=1000÷2 =500

3. 一个数除以两个数的商，等于这个数除以商中的被除数，再乘以商中的除数。 一般有：a ÷(b ÷c )=a ÷b ⨯c

如：12÷(6÷2)=12÷6⨯2=4

例7. 简便计算下面各题。

（1）216÷24⨯6

（2）875000÷(1000÷8)

分析：这两题即根据小③性质去做，可“添括号”。

（1）216÷24⨯6 （2）875000÷(1000÷8)

=216÷(24÷6)

=216÷4

=54=875000÷1000⨯8=875⨯8 =7000

以上6题都是利用乘除混合运算去括号，或添括号的性质解决的。但要注意：我们在使用以上全部除法的运算性质时，必须具备的条件是商不能有余数。如果商有余数，在使用这些运算性质时，余数是会发生变化的。如：

324÷(9⨯7)

324÷(9⨯7) =324÷63

=5„„9=324÷9÷7 =36÷7

=5„„1

例8. 巧算下面各题。

（1）1326÷39 （3）248⨯68-17⨯248+248⨯48

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（2）520⨯125 （4）999⨯99⨯9

分析：以上4题，有些算式表面看起来不能进行简便运算时，可把已知数适当分解或转化，从而使计算简便。另外，在计算时无论题目是否要求简算，都应尽量地使用简便方法，有时可反复使用有关的定律和性质。

（1）1326÷39

=1326÷(13⨯3)

=1326÷13÷3

=102÷3

=34

这题我们将39分解为39=13⨯3，然后按性质去做。

（2）520⨯125

=520⨯(1000÷8)

=520⨯1000÷8

=520÷8⨯1000

=65⨯1000

=65000

此题将125转化为1000÷8=125

（3）248⨯68-17⨯248+248⨯48

=248⨯(68-17+48)

=248⨯99„„„„„„这一步将99转化为(100-1)

=248⨯(100-1)

=248⨯100-248

=24552

此题直接利用乘法分配律计算就可以。

（4）999⨯99⨯9

=(1000-1)⨯99⨯9

=(99000-99)⨯9„„„„„„再次转化为(10-1)

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=98901⨯(10-1)

=989010-98901

=890109

对接近100的两位数相乘的速算。

接近100的两位数，用被乘数减去，100减乘数的差，所得的结果作积的前两位；再用100减去被乘数的差与100减乘数的差相乘，所得的结果作积的后两位。或用乘数减去，100减被乘数的差，所得的结果作积的前两位，再用100减去被乘数的差与100减去乘数的差相乘，所得的结果作积的后两位。我们用这种方法计算。

例9. 计算：98⨯91

分析：因为100-98=2„„差对98而言

100-91=9„„差对91而言

所以98-9=89 或91-2=89

2⨯9=18 2⨯9=18

所以98⨯91=8918 98⨯91=8918

用这种方法，有两种特例需要注意：

特例1. 用100分别减去两个因数所得的差相乘之积不足10时，要在这个一位数前添0，否则积变成三位数就错了。

如：96⨯98速算为：

100-96=4„„差

100-98=2„„差

96-2=94 4⨯2=8

∴96⨯98=9408

（注意8前添0）

发现：差、差，用第一个因数－差，再用差×差，最后结果是第一个因数×差的结果做为前两位数，差×差的结果做为后两位数。如果结果为一位数，前面要添0。

特例2. 用100分别减去两个因数所得的差相乘之积大于10时，要将百位作为向前进位的数，否则积变成五位数就错了。

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如：93⨯84速算为：

100-93=7„„差 100-84=16„„差

93-16=77 16⨯7=112

∴93⨯84=7812（注意百位上的1要向前进位）

［答题时间：30分钟］

练习：

（1）97⨯96

（4）99⨯92 （2）95⨯93 （5）88⨯89 （3）98⨯97 （6）95⨯85

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【试题答案】

（1）97⨯96

100-97=3„„差 100-96=4„„差

97-4=93

3⨯4=12

∴97⨯96=9312

（2）95⨯93

100-95=5„„差 100-93=7„„差

95-7=88

5⨯7=35

∴95⨯93=8835

（3）98⨯97

100-98=2„„差 100-97=3„„差

98-3=95

2⨯3=6

∴98⨯97=9506

（4）99⨯92

100-99=1„„差 100-92=8„„差

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99-8=91

1⨯8=8

∴99⨯92=9108

（5）88⨯89

100-88=12„„差

100-89=11„„差

88-11=77

11⨯12=132

∴88⨯89=7832

（6）95⨯85

100-95=5„„差

100-85=15„„差

95-15=80

15⨯5=75

∴98⨯85=8075

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