常见数列性质及解题方法
一.常见数列及其性质:
1. 等差数列
(1)定义:
(2)等差中项及延伸:
(3)Sn 的两个公式:
(4)常用性质:
①若m+n=p+q,则a m+a n=a p+a q
②{kan +b}为等差数列(k,b 为实数)
③若三个数成等差数列,可设为 a-d,a,a+d ④若{an }{bn }为等差数列,S 2n-1,T 2n-1为所对应的前2n-1项和,则S 2n-1/an =T2n-1/bn =2n-1
⑤ S n =an2+bn 可根据二次函数图象求得a n 正负界 ⑥S n, S 2n -S n, S 3n -S 2n 为等差数列
2. 等比数列
(1)定义:p.s. :q ≠0,a n =a1q n-1
(2)Sn =? q=1,q≠1 |q|1函数性质
m+n=p+q,则a m a n =ap a q (3)若
(4)S n, S 2n -S n, S 3n -S 2n 为等比数列
二. 求通项
1、公式法
2、由S n 求a n ;(n =1时,a 1=S 1,n ≥2时,a n =S n -S n -1)
3、求差(商)法
如:{a n }满足111a 1+2a 2+……+n a n =2n +5222
4、叠乘法
例如:数列{a n }中,a 1=3,
5、等差型递推公式
由a n -a n -1=f (n ) ,a 1=a 0,求a n ,用迭加法 a n +1n =,求a n a n n +1
n ≥2时,a 2-a 1=f (2) ⎫⎪a 3-a 2=f (3) ⎪ ⎬两边相加,得: …………⎪
a n -a n -1=f (n ) ⎪⎭
a n -a 1=f (2) +f (3) +……+f (n )
∴a n =a 0+f (2) +f (3) +……+f (n )
6、待定系数法
a n =ca n -1+d c 、d 为常数,c ≠0,c ≠1,d ≠0
7、倒数法 ()
例如:a 1=1,a n +1=2a n ,求a n a n +2
三. 三. 求S n
1、公式法:等差、等比前n 项和公式
:把数列各项拆成两项或多项之和,使之出现成对互为相反数的项。 如:{a n }是公差为d 的等差数列,求1 ∑a a k =1k k +1n
若{a n }为等差数列,{b n }为等比数列,求数列{a n b n }(差比数列)前n 项 和,可由S n -qS n 求S n ,其中q 为{b n }的公比。
如:S n =1+2x +3x +4x +……+nx 23n -1
x ·S n =x +2x 2+3x 3+4x 4+……+(n -1)x n -1+nx n
-:(1-x )S n =1+x +x 2+……+x n -1-nx n
x ≠1时,S n 1-x )nx (=-n n
(1-x )21-x
x =1时,S n =1+2+3+……+n =n (n +1)
2
已知数列{an }满足a 1=a 2=1,an+2=2an+12/an,
求a n
(1)另b n =nan+2/an , Sn为b n 前n 项和,求S n
倒序相加法:把数列的各项顺序倒写,再与原来顺序的数列相加。 S n =a 1+a 2+……+a n -1+a n ⎫⎪⎬相加 S n =a n +a n -1+……+a 2+a 1⎪⎭
2S n =(a 1+a n )+(a 2+a n -1)+……+(a 1+a n )……
5. 无穷递缩等比数列求和公式
做一些不等式证明题时常需要将通项进行放缩,成为等比数列求和来证明
6n 1115≤1+++ +2
(注意格式)
已知各项均为正数的数列{an}满足a 0=1/2,an =an-1+(1/n2)*an-12其中n=1,2,3...
1 求a1 a2
2 求证 1/an-1-1/an
3 求证 (n+1)/(n+2)
已知a1=2,点(an,a n+1)在函数f(x)=x2+2x的图像上, 求证{lg(1+an)}成等比数列
设Tn=(1+a1)(1+a2)…(1+an),求Tn 及{an}的通项
bn=1/an +1/(an +2),求{bn }的前n 项和Sn(此问纯靠数学归纳法以及对Sn 的猜想)