讲平面立体的投影
第8讲 第三章 立体的投影及表面交线
3-1 平面立体的投影及其表面取点
教学目标：
1、掌握平面立体如棱柱棱锥的作图方法；
2、掌握平面立体表面求点的方法；
教学重点：引导学生在掌握投影原理的基础上来求立体及其表面的点
教学难点：利用辅助线求立体表面的点
教学手段：结合实例课堂讲解
教学用具：多媒体
教学过程：
由于平面立体的表面四有若干个多边形平面所围成，因此，绘制平面立体的投影可归结为求它的各表面的投影。平面立体各表面的交线称为棱线。平面立体的各表面是由棱线所围成，而每条棱线可由其两端点确定，因此，绘制平面立体的投影可归结为绘制各棱线及各顶点的投影。作图时，应判别其可见性，把可见棱线的投影画成粗实线，不可见棱线的投影画成虚线。
一、棱柱
（一） 棱柱的投影
图3-1所示为一正放（立体的表面、对称平面、回转轴线相对于投影面处于平行或垂直的位置）的正六棱柱直观图及投影图。正六棱柱由顶面、底面和六个侧棱面围成。顶面、底面分别由六条底棱线围成（正六边形）；每个侧棱面又由两条侧棱线和两条低棱线围成的（矩形）。
1. 投影分析
（1）正六棱柱的顶面、底面 均为水平面，其水平投影反映顶面、底面的真形，且互相重合；正面投影和侧面投影均积聚为平行于相应投影轴的直线。
（2）六个侧棱面 其前后两个棱面为正平面，其水平投影重合，且反映真形；水平投影和侧面投影都积聚成平行于相应轴的直线。其余四个侧棱面都为铅垂面，其水平投影分别积聚成倾斜直线；正面投影和侧面投影均为类似形（矩形），且两侧棱面投影对应重合。由于六个侧棱面的水平投影均有积聚性，故与顶面、底面边线（底棱线）的水平投影重合。
（3）棱线 顶、底面各有六条底棱线，其总前、后两条为侧垂线，四条为水平线；而六条侧棱线均为铅垂线。它们的三面投影，请读者自行分析。
2. 作图步骤
画正放棱柱（如正六棱柱）的投影图时，一般先画出对称中心线，对称线，再画出棱柱水平投影（如正六边形）；然后根据投影关系画出它的正面投影和侧面投影。应注意当棱线投影与对称重合（如图中棱线AAo 侧面投影a 〃a 〃o ）时应画成粗实线.
(二) 棱柱表面上取点
在平面立体表面上取点, 其原理和
方法与平面上取点相同, 由于正放棱柱
的各个表面都处于特殊位置, 因此, 在其
表面上取点均可利用平面投影积聚性作
图, 并表面可见性. 例如, 在增六棱柱表
面上有一点M, 已知其正面投影m 〃, 要
作出水平和侧面投影(图3-2). 由于点M
的正面投影是可见的, 所以点M 必定的
左前方的AaoBoB 上(参阅3-1a). 而该棱
面的铅垂面, 因此点M 的水平投影m 必在
该棱面有积聚性的水平投影aa%b b直线上, 再根据投影关系由m ’和(m)求出m ’. 由于棱面AAoBoB 处于左前方，侧面投影可见，所以其上的点M 的侧面投影也可见，它的水平投影（m ）不可见。又如，已知点N 的水平投影n ，求n ’和n 〃. 由于n 可见, 所以点N 必定在顶面上, 而顶面为水平面, 其正面投影和侧面投影都具有积聚性. 因此,(n’) 、（n 〃）也必分别在顶面的正面投影和侧面投影所积聚的直线上，均不可见。
二、棱锥
（一）棱锥的投影
图3-3所示为一正放的正三棱锥直观图及投影图。正三棱锥有地面和三个侧棱面围成。底面又由三条棱线围成（正三角形），三个侧棱面由三条侧棱线和三条底棱线围成（三个真形大小相等的等腰三角形）。
1. 投影分析
（1）正三棱锥底面△ABC 为水平面，其水平投影△a b c 反映真形，正面投影和侧面投影均积聚为平行于相应投影轴的直线a ′b ′c ′和a 〃（c 〃）b 〃。
（2）三个侧棱面中的左右两个侧棱面△SAB 和△SBC 为一般位置平面，其三面投影均不反映真形，且侧面投影重合。
（3）后侧棱面△SAC 为侧垂面（因含侧垂线AC ），其侧面投影积聚成斜向直线s 〃a 〃（c 〃）, 正面投影△s ′a ′c ′和水平投影△sac 均不反映真形，且正面投影△s ′a ′c ′与△s ′a ′b ′、△ s′b ′c ′重合。
（4）三个侧棱面△SAB 、△SBC 、△SCA 的水平投影△s a b、△s b c、△s c a与底面△ABC 的水平投影△a b c重合。
（5）底面的三条底棱线中有两条是水平线AB 和BC ，一条是侧垂线AC ；而三条侧冷县总，有两条是一般位置直线SA 和SC ，一条是侧平线SB ，它们的三面投影，请读者自行分析。
2. 作图步骤
画正放的正三棱锥的投影图是哦，一般可先画出底面的水平投影（正三角形）和底面的另两个投影（均积聚为直线）；再画出锥顶的三个投影；然后将锥顶和底面三个顶点的同面投影连接起来，即得正三棱锥的三面投影。也可先画出三棱锥
（底面和三个侧棱面）的一个
投影（如水平投影），再依照投影关系画出另两个投影。
（二） 棱锥表面上取点
在棱锥表面上取点，其原理和方法与在平面上取点相同，如果点在立体的特殊平面上，则可利用该平面投影有积聚性作图；如果点在立体的一般位置平面上，则可利用辅助线作图，并表明可见性。如图3-4所示，并参阅图3-3a ，
在正三棱锥表面上有一点E ，已知其正面投影
e ’, 要作出e 和e 〃。其作图原理与在平面上
取点时相同。由于e 可见，所以点E 在左棱面
△SAB （一般位置平面）上，欲求点E 的另两
个投影e 、e 〃，必须利用辅助线作图，具体
方法可有以下三种：
（1）过点E 和锥顶作辅助直线s I,其正
面投影s ′I ′必通过e ’; 求出辅助线sI 的水
平投影s I和侧面投影s 〃I 〃，则点E 水平
投影e 必在s I上，侧面投影也必在s 〃I 〃
上。
（2）也可过点E 作底棱AB 的平行线ⅡⅢ，则2’3’//a’b ’且通过e ’, 求出ⅡⅢ的水平投影(23//ab,必通过e) 和侧面投影(2〃3〃//a〃b 〃, 也必通过e 〃).
（3）也可过欲求点在该点所在的棱面上作任意直线. 先求出该辅助直线的投影, 再求出点的投影(为使图形清晰, 图中未示出).
由于侧棱面△SAB 处于左方, 侧面投影可见, 故其上的点E 的侧面投影e 〃水平投影e 也可见. 又如已知点F 的水平投影f, 求f ’和f 〃. 由于f 可见, 所以知点F 是在后棱面△SAC 上, 而不是在底面△ABC 上. 侧棱面△SAC 是侧垂面, 其侧面投影具有积聚性, 故f 〃可利用积聚性直接求出, 即(f〃) 必在s 〃a 〃(c〃) 直线是行, 再由f 和(f〃) 求处(f’). 由于侧棱面△SAC 处于后方, 正面投影不可见, 故其上的点F 的正投影(f〃) 不可见, 侧面投影(f〃) 也不可见.
作业：P37-P38