特殊平行四边形:正方形

正方形

题型一：正方形与图形的变换。

1.如图，在RtOAB中，OAB90，OAAB6，将OAB绕点O沿逆时针方向旋转90得到OA1B1线段OA1的长是，AOB1的度数是

2.如图，将边长为8㎝的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在F处，折痕为MN，则线段CN的长是（ ） A．3cm B．4cm C．5

cm D．6cm

3．如图，已知正方形ABCD的边长为3，E为CD边上一点， DE1．以点A为中心，把△ADE顺时针旋转90，得△ABE，连接EE，则EE的长等于 ．

E

第（14）题

4．已知正方形ABCD中，点E在边DC上，DE = 2，EC = 1（如图4所示） 把线段AE绕点A旋转，使点E落在直线BC上的点F处，则F、C两点的距离为___________. A

D

F

B

F

EC

图4

题型二：正方形与面积问题。 （1）

1.“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形.如图，是一“赵爽弦图”飞镖板，其直角三角形的两条直角边的长分别是2和4.小明同学距飞镖板 一定距离向飞镖板投掷飞镖（假设投掷的飞镖均扎在飞镖板上）, 则投掷一次飞镖扎在中间小正方形区域（含边线）的概率是（ ） A.

1111

B. C. D. 24510

2．如图．边长为1的两个正方形互相重合，按住其中一个不动，将另一个绕顶点A顺时针旋转45°，则这两个正方形重叠部分的面积是 ．

3、大正方形网格是由25个边长为1的小正方形组成，把图中阴影部分剪下来，用剪下来的阴影部分拼成一个正方形，那么新正方形的边长是

4、已知正方形ABCD的边长为2，ΔBPC是等边三角形，则ΔCDP的面积是，ΔBDP的面积是

5、在正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，正方形的边长为2，折叠正方形纸片ABCD，使AD落在BD上，点A恰与BD上的点F重合，展开后，折痕DE分别交AB、AC于点E、G，连接GF。则ΔEFD的面积为 。

6、如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1，S2，则S1+S2的值为

7、现有若干张边长不相等但都大于4cm的正方形纸片，从中任选一张，如图从距离正方形

的四个顶点2cm处，沿45角画线，将正方形分成5部分，则中间阴影部分的面积为 。

8、若E,F,G,H分别为正方形ABCD的边上AB、BC、CD、DA上的点，AE=BF=CG=DH=AB/3，则图中阴影部分的面积和正方形ABCD的面积之比 。

9、如图,正方形ABCD的边长为2，将长为2的线段QR的两端放在正方形的相邻的两边上同时滑动．如果Q点从A点出发，沿图中所示方向按A→B→C→D→A滑动到A止，同时点R从B点出发，沿图中所示方向按B→C→D→A→B滑动到B止，在这个过程中，线段QR的中点M所经过的路线围成的图形的面积为

10、正方形ABCD、正方形BEFG和正方形RKPF的位置如图所示，点G在线段DK上，正方形BEFG的边长为4，则DEK的面积

=__________.

11、芜湖国际动漫节期间，小明进行了富有创意的形象设计。如图1，他在边长为1的正方形ABCD内作等边三角形BCE,并与正方形的对角线交于F、G点，制成如图2的图标。则图标中阴影图形AFEGD的面积=_____．

12、如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，O1、O2是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是 .

（2）

1、已知正方形ABCD的边长为4，MN//BC分别交AB、CD于点M、N，在MN上任意取两点P,Q，那么图中的阴影部分的面积是

。

2、.如图，正方形ABCD的边长为1cm，E、F分别是BC、CD的中点，连接BF、DE，则图中阴影部分的面积是 cm2．

3、正方形ABCD的面积为1，M为AB的中点，则图中阴影部分的面积为

。

4、已知线段AB的长为a，以AB为边在AB的下方作正方形ACDB.取AB边上一点E，以AE为边在AB的上方作正方形AENM.过E作EF⊥CD，垂足为F点.若正方形AENM

与四边形EFDB的面积相等，则AE的长为_________________.

题型三：正方形的其它计算

1．如图所示，正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点M、N分别为OB、OC的中

D 点，则cos∠OMN的值为( ) A．

1

2

B

．

2．如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到E，使AE=AC，则∠BCE的度数是

C

2D．1

3．如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF给出下列五个结论：①AP =EF；②AP⊥EF；③△APD一定是等腰三角形；④∠PFE=∠BAP；⑤PD= 2EC．其中正确结论的序号是．

4.如图，四边形ABCD，EFGH，NHMC都是正方形，边长分别为a，b，c；

A，B，N，E，F五点在同一直线上，则ca，b的代数式表示）．

a A

B

N

G b F

E

5.如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PDPE的和最小，则这个最小值为（ ） A

． B

． C．3 D

6.如图，正方形ABCD边长为1，动，沿正方形的边按逆时针方向运动，当它的运动路程为2009时，点P所在位置为______；当点P所在位置为D点时，点P的运动路程为______（用含自然数n的式子表示）．

7．若正方形ABCD的边长为4，E为BC边上一点，BE＝3，M为线段AE上一点，射线BM交正方形的一边于点F，且BF＝AE，则BM的长为．

E

C

EC

8．如图，已知正方形纸片ABCD的边长为8，⊙0的半径为2，圆心在正方形的中心上，将纸片按图示方式折叠，使EA7恰好与6)0相切于点A ′(△EFA′与⊙0除切点外无重叠部分)，延长FA′交CD边于点G，则A′G的长是

9.如图，正方形纸片ABCD的边长为1，M、N分别是AD、BC边上的点，将纸片的一角沿过点B的直线折叠，使A落在MN上，落点记为A′，折痕交AD于点E,若M、N分别是AD、BC边的中点，则A′N; 若M、N分别是AD、BC边的上距DC最近的n等分点（n2,且n为整数），则A′N= （用含有n的式子表示）

C

N

10．已知：如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE，BE，DE．过点A作AE的垂线交ED于点P．若AEAP1，

PB．下列结论： ①△APD≌△AEB；②点B到直线AE

； ③EB

ED；④SAPDSAPB1

S正方形ABCD4

AE

P

D

B

C

其中正确结论的序号是（ ）

A．①③④ B．①②⑤ C．③④⑤ D．①③⑤

11、如图，正方形ABCD中，AB＝6，点E在边CD上，且CD＝3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连结AG、CF．下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG＝GC；③AG∥CF；④S△FGC＝3．其中正确结论的是

12、如图（5），在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD的中点，AE交BF于点H，CG∥AE交BF于点G。下列结论：①tan∠HBE=cot∠HEB ② CGBFBCCF

BC2BG

③BH=FG ④.其中正确的序号是（ ） CF2GF

A．①②③ B．②③④ C． ①③④ D．①②④

13、如图5是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边（xy），下列四个说法：①xy49，②xy2，③2xy449，④xy9.其中说法正确的是（ ）

A．①② B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④

2

2

x

14、如图，将一张正方形纸片剪成四个小正方形，得到4个小正方形，称为第一次操作；然后，将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到7个小正方形，称为第二次操作；再将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到10个小正方形，称为第三次操作；...，根据以上操作，若要得到2011个小正方形，则需要操作的次数是( ) .

第7题图

A. 669 B. 670 C.671 D. 672

15、如图（1），已知小正方形ABCD的面积为1，把它的各边延长一倍得到新正方形

A1B1C1D1；把正方形A1B1C1D1边长按原法延长一倍得到正方形A2B2C2D2（如图（2））；

以此下去，则正方形AnBnCnDn的面积为．

16、如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OA1B1C的对角线 A1C和OB1交于点

M1；以M1A1为对角线作第二个正方形A2A1B2M1，对角线A1M1和A2B2交于点M2；以M2A1为对角线作第三个正方形A3A1B3M2，对角线A1M2和A3B3交于点M3；……依此类推，这样作的第n 个正方形对角线交点Mn的坐标为

.

题型四： (1)

1.已知：如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC和CD上，AE = AF． （1）求证：BE = DF；

（2）连接AC交EF于点O，延长OC至点M，使OM = OA，连接EM、FM．判断四边形AEMF是什么特殊四边形？并证明你的结论．

2．在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AC上一点，连接EB、ED． （1）求证：△BEC≌△DEC；

于F，当∠BED=120°时，求∠EFD的度数．

3.如图，l1、l2、l3、l4是同一平面内的四条平行直线，且每相邻的两条平行直线间的距离为h，正方形ABCD的四个顶点分别在这四条直线上，且正方形ABCD的面积是25。 （1）连结EF，证明△ABE、△FBE、△EDF、△CDF的面积相等。 （2）求h的值。

4．如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上移动，但A到EF的距离AH始

终保持与AB长相等，问在E、F移动过程中： （1）∠EAF的大小是否有变化？请说明理由． （2）△ECF的周长是否有变化？请说明理由

5、 已知正方形ABCD的边长为a，两条对角线AC、BD相交于点O，P是射线AB上任意

一点，过P点分别做直线AC、BD的垂线PE、PF，垂足为E、F. （1）如图1，当P点在线段AB上时，求PE+PF的值；

（2）如图2，当P点在线段AB的延长线上时，求PE－PF的值

.

6、如图，点E是正方形ABCD内一点，△CDE是等边三角形，连接EB、EA，延长BE交边AD于点F．

（1）求证：△ADE≌△BCE；（5分） （2）求∠AFB的度数．（5分）

7、如图，四边形ABCD是正方形，点E,K分别在BC,AB上，点G在BA的延长线上，且CE=BK=AG.

(1)求证：①DE=EG;

②DE⊥EG；

（2）尺规作图：以线段DE，DG为边作出正方形DEFG（要求：只保留作图痕迹，不写作法和证明）；

（3）连接（2）中的KF，猜想并写出四边形CEFK是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想； （4）当

SCE1

时，请直接写出正方形ABCD的值

. CBnS正方形DEFG

（2）

1. 如图，一个含45°的三角板HBE的两条直角边与正方形ABCD的两邻边重合，过E点作EF⊥AE交∠DCE的角平分线于F点，试探究线段AE与EF的数量关系，并说明理由。

2．如图，四边形ABCD是边长为a的正方形，点G，E分别是边AB，BC的中点，∠AEF=90o，且EF交正方形外角的平分线CF于点F． （1）证明：∠BAE=∠FEC； （2）证明：△AGE≌△ECF； （3）求△AEF的面积． 3．（1）如图1，在正方形ABCD中，M是BC边（不含端点B、C）上任意一点，P是BC延长线上一点，N是∠DCP的平分线上一点．若∠AMN=90°，求证：AM=MN．

下面给出一种证明的思路，你可以按这一思路证明，也可以选择另外的方法证明． 证明：在边AB上截取AE=MC，连ME．正方形ABCD中，∠B=∠BCD=90°，AB=BC． ∴∠NMC=180°—∠AMN—∠AMB=180°—∠B—∠AMB=∠MAB=∠MAE． （下面请你完成余下的证明过程）

AE

D

N

A

N

B

MC

P

B

M

C

P

（2）若将（1）中的“正方形ABCD”改为“正三角形ABC”（如图2），N是∠ACP的平分线上一点，则当∠AMN=60°时，结论AM=MN是否还成立？请说明理由． （3）若将（1）中的“正方形ABCD”改为“正n边形ABCD„„X”，请你作出猜想：当∠AMN= °时，结论AM=MN仍然成立．（直接写出答案，不需要证明）

图1 图2

4．在正方形ABCD中，E是BC边（不含端点B、C）的中点，P是BC延长线上一点，F是∠DG的平分线上一点．∠AEF=90°,经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证△AME≌△ECF，所以AEEF． 在此基础上，同学们作了进一步的研究：

（1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；

（2）小华提出：如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由． A

D

F

C G

图1

(3)

A

D

F C G

图2

A

D

C G

图3

1．如图 ，ABCD是正方形．G是 BC 上的一点，DE⊥AG于 E，BF⊥AG于 F． （1）求证：△ABF≌△DAE； （2）求证：DEEFFB．

D

G

C

2.如图6，在正方形ABCD中，G是BC上的任意一点，（G与B、C两点不重合），E、F是AG上的两点（E、F与A、G两点不重合），若AF=BF+EF，∠1=∠2，请判断线段DE与BF有怎样的位置关系，并证明你的结论.

3．如图,四边形ABCD是边长为2的正方形，点G是BC延长线上一点，连结AG，点E、F分别在AG上，连接BE、DF，∠1=∠2，∠3=∠4． （1）证明：△ABE≌△DAF； （2）若∠AGB=30°，求EF的长．

24题图

4．如图①，四边形ABCD是正方形, 点G是BC上任意一点，DE⊥AG于点E，BF⊥AG于点F.

(1) 求证：DE－BF = EF．

(2) 当点G为BC边中点时, 试探究线段EF与GF之间的数量关系， 并说明理由．

(3) 若点G为CB延长线上一点，其余条件不变．请你在图②中画出图形，写出此时DE、BF、EF之间的数量关系（不需要证明）．

(4)正方形与旋转变换

1.如图12，边长为1的正方形ABCD被两条与边平行的线段EF、GH分割为四个小矩形，EF与GH交于点P。

（1）若AG=AE，证明：AF=AH； （2）若∠FAH=45°，证明：AG+AE=FH；

2.如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE． ⑴求证：CE＝CF；

⑵在图1中，若G在AD上，且∠GCE＝45°，则GE＝BE＋GD成立吗？为什么？ ⑶运用⑴⑵解答中所积累的经验和知识，完成下题： 如图2，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B＝90°，AB＝BC＝12，E是AB上一点，且∠DCE＝45°，BE＝4，求DE的长． A

图1

B C

图

2

3、 如图9，点P是正方形ABCD边AB上一点（不与点A，B重合），连接PD并将线段PD绕点P顺时针方向旋转90°得到线段PE，PE交边BC于点F，连接BE，DF. （1）求证：∠ADP＝∠EPB； （2）求∠CBE的度数；

CD

AP

（3）当的值等于多少时，△PFD∽△BFP？并说明理由.

AB

A

P

B

E

4、已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG． （1）求证：EG=CG；

（2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45º，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． （3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）

D

D

D

第24题图①

第24题图②

第24题图③

5、已知：如图1，O为正方形ABCD的中心，分别延长OA到点F，OD到点E，使OF＝2OA，OE＝2OD，连结EF，将△FOE绕点O逆时针旋转α角得到△F'OE'（如图2）. （1） 探究AE′与BF'的数量关系，并给予证明； （2） 当α＝30°时，求证：△AOE′为直角三角形.

6、如图1，奖三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点E与正方形ABCD的顶点A重合，三角板的一边交CD于点F，另一边交CB的延长线于点G．

（1）求证：EF＝EG； （2）如图2，移动三角板，使顶点E始终在正方形ABCD的对角线AC上，其他条件不变．（1）中的结论是否仍然成立？若成立，情给予证明；若不成立，请说明理由； （3）如图3，将（2）中的“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，且使三角板的一边经过点B，其他条件不变，若AB＝a,BC＝b，求

EF

的值．

EG

7、正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，P为对角线AC上一动点，过点P作PF⊥DC于点F，如图1，当点P与点O重合时，显然有DF=CF。

（1）如图2，若点P在线段AO上（不与A、O重合0，PE⊥PB且PE交CD点E。 ①求证：DF=EF；

②写出线段PC、PA、CE之间的一个等量关系式，并证明你的结论；

（2）若点P在线段CA的延长线上，PE⊥PB且PE交直线CD于点E。请完成图3并判断（1）中的结论①、②是否成立？若不成立，写出相应的结论（所写结论均不必证明）

8、在正方形ABCD的边AB上任取一点E，作EF⊥AB交BD于点F，取FD的中点G，连结EG、CG，如图（1），易证 EG=CG且EG⊥CG. （1）将△BEF绕点B逆时针旋转90°，如图（2），则线段EG和CG有怎样的数量关系和

位置关系？请直接写出你的猜想. （2）将△BEF绕点B逆时针旋转180°，如图（3），则线段EG和CG又有怎样的数量关系

和位置关系？请写出你的猜想，并加以证明.

图（1） 图（2） 图（3）

(5)

1．如图，A、B、C三点在同一条直线上AB=2BC，分别以AB,BC为边做正方形ABEF和正方形BCMN连接FN,EC.

求证：FN=EC

2.如图12，B、C、E是同一直线上的三个点，四边形ABCD与四边形CEFG是都是正方形.连接BG、DE.

（1）观察猜想BG与DE之间的大小关系，并证明你的结论.

（2）在图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形？若存在，请指出，并说出旋转过程；若不存在，请说明理由

.

3.如图8-1，已知P为正方形ABCD的对角线AC上一点(不与A、C重合)，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F. (1) 求证：BP=DP；

(2) 如图8-2，若四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转，在旋转过程中是否总有BP=DP？若是，请给予证明；若不是，请用反例加以说明；

(3) 试选取正方形ABCD的两个顶点，分别与四边形PECF的两个顶点连结，使得到的两条线段在四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转的过程中长度始终相等，并证明你的结论 .

图

8-1

图8-2

4．如图1，已知正方形ABCD是边CD的正方形DEFG的边DE上，连接AE，GC。 （1）试猜想AE与GC有怎样的位置关系，并证明你的结论。

（2）将正方形DEFG绕点D按顺时针方向旋转，使点E落在BC边上，如图2，连接AE和GC，你认为（1）中的结论是否还成立？若成立，给出证明：若不成立，请说明理由。

5．如图10，若四边形ABCD、四边形GFED都是正方形，显然图中有AG=CE，AG⊥CE. （1）当正方形GFED绕D旋转到如图11的位置时，AG=CE是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.

（2）当正方形GFED绕D旋转到如图12的位置时，延长CE交AG于H，交AD于M. ① 求证：

；

②当AD=4，DGCH的长.

H

G A D D D A A

E

B C C C 图10 图11 图12

(6)

1．在△ABC中，∠BAC=45°，AD⊥BC于D，将△ABD沿AB所在的直线折叠，使点D落在点E处；将△ACD沿AC所在的直线折叠，使点D落在点F处，分别延长EB、FC使其交于点M．

(1)判断四边形AEMF的形状，并给予证明．

(2)若BD=1，CD=2，试求四边形AEMF的面积．

A

CBD2.问题探究

（1）请在图①的正方形ABCD内，画出使∠APB＝90°的一个点P，并说明理由． ．．（2）请在图②的正方形ABCD内（含边），画出使∠APB＝60°的所有的点P，并说明理由． ．．问题解决

如图③，现有一块矩形钢板ABCD，AB＝4，BC＝3，工人师傅想用它裁出两块全等的、面积最大的△APB和△CP’D钢板，且∠APB＝∠CP’D＝60°，请你在图③中画出符合要求的点P和P’，并求出△APB的面积（结果保留根号）．

3.如图1，在正方形ABCD中，E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA上的点，

交点为O． HAEBFCGD，连接EG，FH，

（1）如图2，连接EF，FG，GH，HE，试判断四边形EFGH的形状，并证明你的结论； （2）将正方形ABCD沿线段EG,HF剪开，再把得到的四个四边形按图3的方式拼接成一个四边形．若正方形ABCD的边长为3cm，HAEBFCGD1cm，则图3中阴影部分的面积为_________cm．

D A 1）

E

B

C F

A

C F B

）

2

4.如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM. ⑴ 求证：△AMB≌△ENB；

⑵ ①当M点在何处时，AM＋CM的值最小；

②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由； ⑶ 当AM＋BM＋CM的最小值为31时，求正方形的边长

A D

B C

5. 我们把对称中心重合，四边分别平行的两个正方形之间的部分叫“方形环”，易知方形环四周的宽度相等. ．．．．一条直线l与方形环的边线有四个交点M、M'、N'、N．小明在探究线段MM'与N'N 的数量关系时，从点M'、N'向对边作垂线段M'E、N'F，利用三角形全等、相似及锐角三角函数等相关知识解决了问题．请你参考小明的思路解答下列问题： ⑴当直线l

与方形环的对边相交时（如图81），直线l分别交AD、AD、BC、BC于M、M'、N'、N，小明发现MM'与N'N相等，请你帮他说明理由； ⑵当直线l与方形环的邻边相交时（如图82），l分别交AD、AD、D'C、DC于M、M'、N'、N，l与DC的夹角为，你认为MM'与N'N还相等吗？若 相等，说明理由；若不相等，求出

MM'

的值（用含的三角函数表示）. N'N

图81

6．如图，正方形ABCD的边长是2，M是AD的中点，点E从点A出发，沿AB运动到点B停止，连接EM并延长交射线CD于点F，过M作EF的垂线交射线BC于点G，连结EG、FG。

（1）设AE=x时，△EGF的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（2）P是MG的中点，请直接写出点P的运动路线的长。

7． 数学课上，李老师出示了这样一道题目：如图1，正方形ABCD的边长为12，P为边BC延长线上的一点，E为DP的中点，DP的垂直平分线交边DC于M，交边AB的延长线于N.当CP6时，EM与EN的比值是多少？

经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：过E作直线平

DFDE

行于BC交DC，AB分别于F，G，如图2，，FCEP

因为DEEP，所以DFFC.可求出EF和EG的值，进而可求得EM与EN的比值.

(1) 请按照小明的思路写出求解过程.

(2) 小东又对此题作了进一步探究，得出了DPMN的结论.你认为小东的这个结论正确吗？如果正确，请给予证明；如果不正确，请说明理由.

(第22题)

8．

(1)如图1,在正方形ABCD中,点E,F分别在边BC,CD上,AE,BF交于点O,∠AOF＝90°. 求证：BE＝CF.

(2) 如图2,在正方形ABCD中,点E,H,F,G分别在边AB,BC,CD,DA上,EF,GH交于点O,∠FOH＝90°, EF＝4.求GH的长.

(3) 已知点E,H,F,G分别在矩形ABCD的边AB,BC,CD,DA上，EF,GH交于点O,

∠FOH＝90°,EF＝4. 直接写出下列两题的答案：

① 如图3,矩形ABCD由2个全等的正方形组成,求GH的长；

②如图4,矩形ABCD由n个全等的正方形组成,求GH的长(用n的代数式表示).

9．正方形ABCD中，点O是对角线DB的中点，点P是DB所在直线上的一个动点，PE⊥BC于E，PF⊥DC于F.

(1)当点P与点O重合时(如图①)，猜测AP与EF的数量及位置关系，并证明你的结论； (2)当点P在线段DB上 (不与点D、O、B重合)时(如图②)，探究(1)中的结论是否成立？

若成立，写出证明过程；若不成立，请说明理由；

(3)当点P在DB的长延长线上时，请将图③补充完整，并判断(1)中的结论是否成立？若成立，直接写出结论；若不成立，请写出相应的结论

.

10．如图，将正方形沿图中虚线（其中x＜y）剪成①②③④四块图形，用这四块图形恰 ．能拼成一个矩形（非正方形）． ．．．．．

(1）画出拼成的矩形的简图； (2）求

x

的值．

y

11．三个牧童A、B、C在一块正方形的牧场上看守一群牛，为保证公平合理，他们商量将牧场划分为三块分别看守，划分的原则是：①每个人看守的牧场面积相等；②在每个区域内，各选定一个看守点，并保证在有情况时他们所需走的最大距离（看守点到本区域．．．．内最远处的距离）相等．按照这一原则，他们先设计了一种如图1的划分方案：把正方形牧场分成三块相等的矩形，大家分头守在这三个矩形的中心（对角线交点），看守自己的一块牧场．过了一段时间，牧童B和牧童C又分别提出了新的划分方案．牧童B的划分方案如图2：三块矩形的面积相等，牧童的位置在三个小矩形的中心．牧童C的划分方案如图3：把正方形的牧场分成三块矩形，牧童的位置在三个小矩形的中心，并保证在有情况时三个人所需走的最大距离相等．

请回答：

(1）牧童B的划分方案中，牧童A、B或C）在有情况时所需走的最大距离较远；（3分）

(2）牧童C的划分方案是否符合他们商量的划分原则？为什么？（提示：在计算时可取正方形边长为2）（5分）

12.问题解决

如图（1），将正方形纸片ABCD折叠，使点B落在CD边上一点E（不与点C，D

CE1AM重合），压平后得到折痕MN．当的值． 时，求

CD2BN方法指导：

AM 为了求得的值，可先求BN、AM的长，不妨设：AB=2 BN

类比归纳 在图（1）中，若

F

D

E

B

N 图（1）

C

CE1CE1AMAM

则的值等于 ；若则的值等，，

CD3CD4BNBNCE1AM

（n为整数）于 ；若，则的值等于 ．（用含n的式子表示） CDnBN

联系拓广

如图（2），将矩形纸片ABCD折叠，使点B落在CD边上一点E（不与点C，D重合），压平后得到折痕MN，设含m，n的式子表示）

AB1CE1AM

则的值等于 ．（用m1，

BCmCDnBN

F

A

D E

B

N

图（2）

C

13．在平面直角坐标中，边长为2的正方形OABC的两顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上，点O在原点.现将正方形OABC绕O点顺时针旋转，当A点第一次落在直线

yx上时停止旋转，旋转过程中，AB边交直线yx于点M，BC边交x轴于点N

（如图）.

(1）求边OA在旋转过程中所扫过的面积；

(2）旋转过程中，当MN和AC平行时，求正方形 OABC旋转的度数；

（3）设MBN的周长为p，在旋转正方形OABC的过程中，p值是否有变化？请证明你的结论.

x

14．如图（十二），直线l的解析式为yx4，它与x轴、y轴分别相交于A、B两点．平行于直线l的直线m从原点O出发，沿x轴的正方形以每秒1个单位长度的速度运动，它与x轴、y轴分别相交于M、N两点，设运动时间为t秒（0t≤4）． (1）求A、B两点的坐标；

(2）用含t的代数式表示△MON的面积S1；

(3）以MN为对角线作矩形OMPN，记△MPN和△OAB重合部分的面积为S2， ①当2t≤4时，试探究S2与t

之间的函数关系式；

②在直线m的运动过程中，当t为何值时，S2为△OAB面积的

5？ 16

15、在平面直角坐标系xoy中，边长为a（a为大于0的常数）的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点P，顶点A在x轴正半轴上运动，顶点B在y轴正半轴上运动（x轴的正半轴、y轴的正半轴都不包含原点O），顶点C、D都在第一象限． （1）当∠BAO=45°时，求点P的坐标;

(2)求证：无论点A在x轴正半轴上、点B在y轴正半轴上怎样运动，点P都在∠AOB的平分线上；

（3）设点P到x轴的距离为h，试确定h的取值范围，并说明理由．

16、正方形ABCD在如图所示的平面直角坐标系中，A在x轴正半轴上，D在y轴的负半

2

轴上，AB交y轴正半轴于E，BC交x轴负半轴于F，OE1，抛物yaxbx4

过A、D、F三点． (1）求抛物线的解析式；（3分）

(2）Q是抛物线上D、F间的一点，过Q点作平行于x轴的直线交边AD于M，交BC所在直线于N，若S四边形AFQM

3

S△FQN，则判断四边形AFQM的形状；（3分） 2

(3）在射线

DB上是否存在动点P，在射线CB上是否存在动点H，使得AP⊥PH且

（4分） APPH，若存在，请给予严格证明，若不存在，请说明理由．

17、正方形ABCD边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直，

(1）证明：Rt△ABM∽Rt△MCN； (2）设BMx，梯形ABCN的面积为y，求y与x之间的函数关系式；当M点运动到什么位置时，四边形ABCN面积最大，并求出最大面积；

(3）当M点运动到什么位置时Rt△ABM∽Rt△AMN，求此时x的值． A D

N

M

C

18、以四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA为斜边分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为E、F、G、H，顺次连结这四个点，得四边形EFGH．

（1）如图1，当四边形ABCD为正方形时，我们发现四边形EFGH是正方形；如图2，

当四边形ABCD为矩形时，请判断：四边形EFGH的形状（不要求证明）； （2）如图3，当四边形ABCD为一般平行四边形时，设∠ADC=（0°＜＜90°），

① 试用含的代数式表示∠HAE； ② 求证：HE=HG；

③ 四边形EFGH是什么四边形？并说明理由．

E

B

F

（第23题图1）

GG

E

B

F

EB

F

（第23题图3）

（第23题图2）

19、如图，正方形ABCD的四个顶点分别在四条平行线l1、l2、l3、l4上，这四条直线中

相邻两条之间的距离依次为h1、h2、h3（h1＞0，h2＞0，h3＞0）． （1）求证：h1=h3；

lll

l

（2）设正方形ABCD的面积为S，求证：S=(h1h2)h1； （3）若l

2

2

3

h1h21，当h1变化时，说明正方形ABCD的面积S随h1的变化情况． 2

ll

l

20、 如图①，小慧同学吧一个正三角形纸片（即△OAB）放在直线l1上，OA边与直线l1重合，然后将三角形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋转120°，此时点O运动到了点O1处，点B运动到了点B1处；小慧又将三角形纸片AO1B1绕B1点按顺时针方向旋转120°，点A运动到了点A1处，点O1运动到了点O2处（即顶点O经过上述两次旋转到达O2处）.

小慧还发现：三角形纸片在上述两次旋转过程中，顶点O运动所形成的图形是两段圆弧，即弧OO1和弧O1O2，顶点O所经过的路程是这两段圆弧的长度之和，并且这两端圆弧与直线l1围成的图形面积等于扇形AOO1的面积、△AO1B1的面积和扇形B1O1O2的面积之和.

小慧进行类比研究：如图②，她把边长为1的正方形纸片OABC放在直线l2上，OA边与直线l2重合，然后将正方形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋转90°，此时点O运动到了点O1处（即点B处），点C运动到了点C1处，点B运动到了点B1处；小慧又将正方形纸片AO1C1B1绕B1点按顺时针方向旋转90°，„„，按上述方法经过若干次旋转后，她提出了如下问题：

问题①：若正方形纸片OABC按上述方法经过3次旋转，求顶点O经过的路程，并求顶点O在此运动过程中所形成的图形与直线l2围成图形的面积；若正方形OABC按上述方法经过5次旋转，求顶点O经过的路程；

问题②：正方形纸片OABC按上述方法经过多少次旋转，顶点O经过的路程是

41202

π？ 2

请你解答上述两个问题

.

21、 探究问题： ⑴方法感悟：

如图①，在正方形ABCD中，点E，F分别为DC，BC边上的点，且满足∠EAF=45°，连接EF，求证DE+BF=EF．

感悟解题方法，并完成下列填空： 将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，此时AB与AD重合，由旋转可得： AB=AD,BG=DE, ∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°, ∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°， 因此，点G，B，F在同一条直线上． ∵∠EAF=45° ∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°． ∵∠1=∠2， ∴∠1+∠3=45°． 即∠GAF=∠_________． 又AG=AE，AF=AF

∴△GAF≌_______．∴_________=EF，故DE+BF=EF．

A13

DE

G

BF

C

（第25题）

⑵方法迁移：

如图②，将RtABC沿斜边翻折得到△ADC，点E，F分别为DC，BC边上的点，且

1

∠EAF=∠DAB．试猜想DE，BF，EF之间有何数量关系，并证明你的猜想．

2

A

E

B

C

F

⑶问题拓展：

如图③，在四边形ABCD中，AB=AD，E，F分别为DC,BC上的点，满足EAF

1

DAB,2

②

试猜想当∠B与∠D满足什么关系时，可使得DE+BF=EF．请直接写出你的猜想（不必说明理由）．

A

DE

B

C

（第25题）

22、情境观察

将矩形ABCD纸片沿对角线AC剪开，得到△ABC和△A′C′D，如图1所示.将△A′C′D的顶点A′与点A重合，并绕点A按逆时针方向旋转，使点D、A(A′)、B在同一条直线上，如图2所示．

观察图2可知：与BC相等的线段是 ▲ ，∠CAC′= ▲ °．

C'

DCDC'CC

ABA'ABDA(A')B

图1 图2

问题探究

如图3，△ABC中，AG⊥BC于点G，以A为直角顶点，分别以AB、AC为直角边，向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q. 试探究EP与FQ之间的数量关系，并证明你的结论.

E

Q

PF

BG

图3 C

拓展延伸

如图4，△ABC中，AG⊥BC于点G，分别以AB、AC为一边向△ABC外作矩形ABME和矩形ACNF，射线GA交EF于点H. 若AB=k AE，AC=k AF，试探究HE与HF之间的数量关系，并说明理由.

E

A

M

N

BG

图4 HFC