空间几何体的表面积和体积

空间几何体的表面积和体积

【考纲说明】

了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）

【知识梳理】

1．多面体的面积和体积公式

表中S 表示面积，c ′、c 分别表示上、下底面周长，h 表斜高，h ′表示斜高，l 表示侧棱长。 2．旋转体的面积和体积公式

表中l 、h 分别表示母线、高，r 表示圆柱、圆锥与球冠的底半径，r 1、r 2分别表示圆台 上、下底面半径，R 表示半径

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【经典例题】

例1．一个长方体全面积是20cm 2，所有棱长的和是24cm ，求长方体的对角线长. 解：设长方体的长、宽、高、对角线长分别为xcm 、ycm 、zcm 、lcm

(1) ⎧2(xy +yz +zx ) =20

依题意得：⎨

(2) 4(x +y +z ) =24⎩

由（2）2得：x 2+y2+z2+2xy+2yz+2xz=36（3）

由（3）－（1）得x 2+y2+z2=16 即l 2=16

所以l =4(cm)。

点评：涉及棱柱面积问题的题目多以直棱柱为主，而直棱柱中又以正方体、长方体的表面积多被考察。我们平常的学习中要多建立一些重要的几何要素（对角线、内切）与面积、体积之间的关系。

例2．如图1所示，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，已知AB=5，AD=4，AA 1=3，AB ⊥AD ，∠A 1AB=∠A 1AD=（1）求证：顶点A 1在底面ABCD 上的射影O 在∠BAD 的平分线上； （2）求这个平行六面体的体积

π。 3

图1 图2 解析：（1）如图2，连结A 1O ，则A 1O ⊥底面ABCD 。作OM ⊥AB 交AB 于M ，作ON ⊥AD 交AD 于N ，连结A 1M ，A 1N 。由三垂线定得得A 1M ⊥AB ，A 1N ⊥AD 。∵∠A 1AM=∠A 1AN ，

∴Rt △A 1NA ≌Rt △A 1MA, ∴A 1M=A1N ， 从而OM=ON。

∴点O 在∠BAD 的平分线上。 （2）∵AM=AA1cos

π13=3×= 322AM 3∴AO==2。

2cos

4

又在Rt △AOA 1中，A 1O 2=AA12 – AO2=9－

99=， 22

∴A 1O=

3232

=302。 ，平行六面体的体积为V =5⨯4⨯

22

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例3．一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2, 3, 6，这个长方体对角线的长是（ ） A ．2

3

B ．3

2

C ．6 D ．

6

解析：设长方体共一顶点的三边长分别为a =1，b ＝

2，c ＝，则对角线l 的长为l =a 2+b 2+c 2=6；

答案D 。

点评：解题思路是将三个面的面积转化为解棱柱面积、体积的几何要素—棱长。

例4．如图，三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若E 、F 分别为AB 、AC 的中点，平面EB 1C 1将三棱柱分成体积为V 1、V 2的两部分，那么V 1∶V 2= ____ _。

解：设三棱柱的高为h ，上下底的面积为S ，体积为V ，则V=V1+V2＝Sh 。 ∵E 、F 分别为AB 、AC 的中点，

∴S △AEF =

1S, 4

V 1=

1117

h(S+S+S ⋅)=Sh

41234

V 2=Sh-V1=

5

Sh ， 12

∴V 1∶V 2=7∶5。

点评：解题的关键是棱柱、棱台间的转化关系，建立起求解体积的几何元素之间的对应关系。最后用统一的量建立比值得到结论即可

例5． 7. (2009山东卷理) 一空间几何体的三视图如图所示, 则该几何体的体积为( ).

A. 2π+

B. 4π+

C. 2π+

D. 4π+ 33

【解析】:该空间几何体为一圆柱和一四棱锥组成的, 圆柱的底面半径为1, 高为2, 体积为2π, 四棱锥的底面

1

边长为2，高为

，所以体积为⨯

3

所以该几何体的体积为2π+

=

2

. 3

正(主) 视图

侧(左) 视图

答案:C

【命题立意】:本题考查了立体几何中的空间想象能力,

由三视图能够想象得到空间的立体图, 并能准确地计算出. 几何体的体积

例6. （2009四川卷文）如图，已知六棱锥P -ABCDEF 的底面是正六边形，

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PA ⊥平面ABC , PA =2AB 则下列结论正确的是

A. PB ⊥AD B. 平面PAB ⊥平面PBC

C. 直线BC ∥平面PAE D. 直线PD 与平面ABC 所成的角为45° 【答案】D

【解析】∵AD 与PB 在平面的射影AB 不垂直，所以A 不成立，又，平面PAB ⊥平面PAE ，所以平面PAB ⊥平面PBC 也不成立；BC ∥AD ∥平面PAD, ∴直线BC ∥平面PAE 也不成立。在Rt ∆PAD 中，PA ＝AD ＝2AB ，∴∠PDA ＝45°. ∴D 正确

例7、（2009全国卷Ⅱ文）设OA 是球O 的半径，M 是OA 的中点，过M 且与OA 成45°角的平面截球O 的表面得到圆C 。若圆C 的面积等于 答案：8π

7π

，则球O 的表面积等于 × 4

7π

2解析：本题考查立体几何球面知识，注意结合平面几何知识进行运算，由S =4πR =4π(4) 2=8π.

14π

例8. (2009年广东卷文) （本小题满分13分）

某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图4所示, 墩的上半部分是正四棱锥P －EFGH, 下半部分是长方体ABCD －EFGH. 图5、图6分别是该标识墩的正(主) 视图和俯视图. （1）请画出该安全标识墩的侧(左) 视图; （2）求该安全标识墩的体积 （3）证明:直线BD ⊥平面

PEG

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【解析】(1)侧视图同正视图, 如下图所示.

（２）该安全标识墩的体积为：V =V P -EFGH =V ABCD -EFGH =

1

⨯402⨯60+402⨯20=32000+32000=64000(cm 2) 3

（３）如图, 连结EG,HF 及 BD ，EG 与HF 相交于O, 连结PO. 由正四棱锥的性质可知, PO ⊥平面EFGH , ∴PO ⊥HF

又EG ⊥HF ∴HF ⊥平面PEG 又BD P HF ∴BD ⊥平面PEG ；

例9．ABCD 是边长为4的正方形，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，GB 垂直于正方形ABCD 所在的平面，且GC ＝2，求点B 到平面EFC 的距离？

解：如图，取EF 的中点O ，连接GB 、GO 、CD 、FB 构造三棱锥B －EFG 。

设点B 到平面EFG 的距离为h ，BD ＝4，EF =2，CO ＝

2

2

22

3×2=2。 4

。 C O +) +82

而GC ⊥平面ABCD ，且GC ＝2。 由V ，得=V B -E F G G -E F B

11

EF ·GO ·h =S △E F B ·

36

点评：该问题主要的求解思路是将点面的距离问题转化为体积问题来求解。构造以点B 为顶点，△EFG 为底面

的三棱锥是解此题的关键，利用同一个三棱锥的体积的唯一性列方程是解这类题的方法，从而简化了运算。

R 3满足R 1+2R 2=3R 3，R 2，例10．2009年上海卷理）已知三个球的半径R 1，

则它们的表面积S 1，S 2，S 3，满足的等量关系是___________.=2

【解析】S 1=4πR 1S 1=2R 1，S 2=2R 2

C

S 3=2R 3，

即R 1＝

S 12，R 2＝

S 22，R 3＝

S 32，由R 1+

2R 2=3R 3=

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例11．（1）表面积为324π的球，其内接正四棱柱的高是14，求这个正四棱柱的表面积。

（2）正四面体ABCD 的棱长为a ，球O 是内切球，球O 1是与正四面体的三个面和球O 都相切的一个小球，求球O 1的体积。

解：（1）设球半径为R ，正四棱柱底面边长为a ，

则作轴截面如图，AA '=

14，AC =又∵4πR =324π，∴R =9，

∴AC =

2

，

=a =8，

∴S 表=64⨯2+32⨯14=（2）如图，设球O 半径为R ，球O 1的半径为r ，E 为CD 中点，球O 与平面ACD 、BCD 切于点F 、G ，球O 1与平面ACD 切于点

由题设

AG =

AE 2-GE 2=

a 3

∵ △AOF ∽△AEG ∴

6

a -R

R 6a =，得R =

123

a a 62

6

a -2R -r

r =，得r =a ∵ △AO 1H ∽△AOF ∴ 24R a -R 3

∴ V 球O

1

44⎛6⎫63

⎪==πr 3=π a a ⎪33⎝24⎭1728

3

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点评：正四面体的内切球与各面的切点是面的中心，球心到各面的距离相等

例12．（1）我国首都靠近北纬40纬线，求北纬40纬线的长度等于多少km ？（地球半径大约为6370km ） （2）在半径为13cm 的球面上有A , B , C 三点，AB =BC =AC =12cm ，求球心到经过这三点的截面的距离。 解：（1）如图，A 是北纬40上一点，AK 是它的半径， ∴OK ⊥AK ，

设C 是北纬40的纬线长， ∵∠AOB =∠OAK =40，

∴C =2π⋅AK =2π⋅OA ⋅cos ∠OAK =2π⋅OA ⋅cos 40

≈2⨯3.14⨯6370⨯0.7660≈3.066⨯104(km )

答：北纬40纬线长约等于3.066⨯10km ． （2）解：设经过A , B , C 三点的截面为⊙O '， 设球心为O ，连结OO '，则OO '⊥平面ABC ，

∵AO '=

4

2

12⨯=，

3

∴OO '==11， 所以，球心到截面距离为11cm ．

例13．在北纬45圈上有A , B 两点，设该纬度圈上A , B

两点的劣弧长为（R 为地球半径），求A , B 两点间的球面距离

R 4

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解：设北纬45圈的半径为r

，则r =

R ，设O '为北纬45 圈的圆心，∠AO ' B =α，

4

∴αr =

∴α=

R ，∴R α=R ， 424

，∴AB =

π

2

=R ，

∴∆ABC 中，∠AOB =

π

3

，

所以，A , B 两点的球面距离等于

π

R ． 3

点评：要求两点的球面距离，必须先求出两点的直线距离，再求出这两点的球心角，进而求出这两点的球面距离

思维总结

1．正四面体的性质 设正四面体的棱长为a ，则这个正四面体的 (1)全面积：S 全=a ；

2

(2)体积：V=

23

a ； 12

2

a ； 2

(3)对棱中点连线段的长：d=

(4)内切球半径：r=

6

a ； 12

6

a ； 4

(5)外接球半径 R=

(6)正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值(等于正四面体的高) 。

2．直角四面体的性质 有一个三面角的各个面角都是直角的四面体叫做直角四面体. 直角四面 体有下列性质： 如图，在直角四面体AOCB 中，∠AOB=∠BOC=∠COA=90°，OA=a,OB=b,OC=c。 则：①不含直角的底面ABC 是锐角三角形；

②直角顶点O 在底面上的射影H 是△ABC 的垂心； ③体积 V=④底面△ABC =

2

1

abc ； 6

a 2b 2+b 2c 2+c 2a 2；

12

⑤S △ABC =S△BHC ·S △ABC ；

2222

⑥S △BOC =S△AOB +S△AOC =S△ABC ⑦

1111

=+2+2; 22

OH a b c

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⑧外切球半径 R=

12

a 2+b 2+c 2；

⑨内切球半径 r=

S ∆AOB +S ∆BOC -S ∆ABC

a +b +c

3．圆锥轴截面两腰的夹角叫圆锥的顶角.

①如图，圆锥的顶角为β，母线与下底面所成角为α，母线为l ，高为h ，底面半径为r ，则

α=cosα+

βh

= ， 2l

β

=90°⇒2

βr = . 2l

α=sin

②圆台 如图，圆台母线与下底面所成角为α，母线为l ，高为h ，上、下底面半径分别为r ′、r ，则h=lsinα，r-r ′=lcosα。

③球的截面

用一个平面去截一个球，截面是圆面.

(1)过球心的截面截得的圆叫做球的大圆；不经过球心的截面截得的圆叫做球的小圆； (2)球心与截面圆圆心的连线垂直于截面；

(3)球心和截面距离d, 球半径R ，截面半径r 有关系：

r=R -d .

4．经度、纬度：

经线：球面上从北极到南极的半个大圆；

2

2

纬线：与赤道平面平行的平面截球面所得的小圆；

经度：某地的经度就是经过这点的经线与地轴确定的半平面与0经线及轴确定的半平面所成的二面角的度数

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纬度：某地的纬度就是指过这点的球半径与赤道平面所成角的度数。

5. 两点的球面距离：

球面上两点之间的最短距离，就是经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，我们把这个弧长叫做两点的【课堂练习】

1．（2009·海南宁夏卷·文9, 理8）如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱线长为1，线段B 1D 1上有两个动点E ，F ，且EF =

1

，则下列结论中错误的是 2

（A ）AC ⊥BE （B ）EF //平面ABCD （C ）三棱锥A -BEF 的体积为定值 （D ）∆AEF 的面积与∆BEF 的面积相等

2．（2009·辽宁卷·理11）正六棱锥P －ABCDEF 中，G 为PB 的中点，则三棱锥D －GAC 与三棱锥P －GAC 体积之比为( ) ．

（A ）1：1 (B) 1：2 (C) 2：1 (D) 3：2

3．（2009·上海卷·理）已知三个球的半径R 1，R 2，R 3满足R 1+2R 2=3R 3，则它们的表面积S 1，S 2，S 3，满足的等量关系是___________．

4．（2009·江苏卷·8）在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4．类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为 ． 5．（2008湖北，3）用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为（ ）

A ．

8π

3

B ．

82π

C ．82

3

D ．

32π

3

6．（2008重庆，9）如 图，体积为V 的大球内有4个小球，每个小球的球面过大球球心且与大球球面有且只有一个交点，4个小球的球心是以大球球心为中心的正方形的4个顶点。设V 1为小球相交部分（图中阴影部分）的体积，V 2为大球内、小球外的图中黑色部分的体积，则下列关系式中正确的是（ ）

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A ．V 1>

V 2

B ．V

2

V 2

C ．V 1>V2 D ．V 1

7．（2007陕西，6）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上, 其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上, 则该正三棱锥的体积是（ ）

A ．

3 4

B ．

C ．

3 4

D ．

3

12

8．（2007全国II ，15）一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm 的球面上。如果正四棱柱的底面边长为1cm ，

那么该棱柱的表面积为 cm 2.

9．（2008天津，12）一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该球的体积为43π，则该正方体的表面积

为 。

10．（2008福建，15）若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长为3，则其外接球的表面积是。

11．（2008上海春，8）已知一个凸多面体共有9个面，所有棱长均为1，其平面展开图如图所示， 则该凸多面体

的体积V= 。

12．（2009上海春，16）如图，在斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，∠A 2AC=∠ACB=

的角为

ππ

，∠AA 1C=，侧棱BB 1与底面所成26

π

，AA 1=43，BC=4。求斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1的体积V 。 3

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【课后作业】

一、选择题

4

1. 母线长为1的圆锥的侧面展开图的圆心角等于3，则该圆锥的体积为 ( ) 22

A. 81

845B. 81 C. 81π

10D. 81π

2．某几何体的三视图如图所示，则它的体积是 ( )

2π

A ．8－3 C ．8－2π

π

B ．8－3 2πD. 33．若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长都相等，其外接球的表面积是4π，则其侧棱长为 3A. 3

232B. 3 C. 3

2D. 34．将边长为a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使BD ＝a ，则三棱锥D －ABC 的体积为 a 3

A. 6

a 33

B. 12 C. 12a 3

2D. 123

5．如图，某几何体的正视图，侧视图和俯视图分别是等边三角形，等腰三角形和菱形，则该几何体体积为 ( )

A ．3 C ．23

6．在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝3，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B －AC －D ，则四面体ABCD 的外接球的体积为 ( )

125

A. 12

二、填空题

7．三棱锥P －ABC 中，P A ⊥底面ABC ，P A ＝3，底面ABC 是边长为2的正三角形，则三棱锥P －ABC 的体积等于________．

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B ．4 D ．2

125125

B. 96

125D. 3π

8．一个几何体的三视图如图所示(单位：m) ，则该几何体的体积为________m3

.

9．四棱锥P －ABCD 的顶点P 在底面ABCD 中的投影恰好是A ，其三视图如图所示，则四棱锥P －ABCD 的表面积为________．

三、解答题

10．已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．

(1)求该几何体的体积V ； (2)求该几何体的侧面积S .

11. 如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱垂直于底面，其高为6 cm，底面三角形的边长分别为3 cm,4 cm,5 cm，以上、下底面的内切圆为底面，挖去一个圆柱，求剩余部分形成的几何体的体积．

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π

12．如图，在△ABC 中，∠B ＝2AB ＝BC ＝2，P 为AB 边上一动点，PD ∥BC 交AC 于点D ，现将△PDA 沿PD 翻折至△PDA ′，使平面PDA ′⊥平面PBCD .

(1)当棱锥A ′－PBCD 的体积最大时，求P A 的长； (2)若点P 为AB 的中点，E 为A ′C 的中点， 求证：A ′B ⊥DE .

【参考答案】

【课堂练习】 1．答案 D ；

【解析】易知AC ⊥面DBB 1D 1，而BE ⊂面DBB 1D 1，所以AC ⊥BE ，故A 正确；EF ∥面ABCD 是显然的，

故B 也正确；对C ，

当

EF =

时，易知

EF =

1

B 1D 12

，所以

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111111

V A -

BEF =S ∆BEF ⋅AC =⋅S 平行四边形DBB 1D 1⋅=为定值，故C 也正确，

3234212

从而用排除法可知D 是错误的．

【点评】本题主要考查的立体几何线线、线面位置关系，线线所成的角及空间图形的体积计算等知识，考查空间想象能力．

2．答案C ；

【解析】由于G 是PB 的中点, 故P －G AC 的体积等于B －GAC 的体积 在底面正六边形ABCDER 中 BH ＝ABtan30°

AB 而BD

AB 故DH ＝2BH 于是V D －GAC ＝2V B －GAC ＝2V P －GAC 3．【解析】

222

=【解析】依题意可知S 1=4πR 1, S 2=4πR 2, S 3=4πR 3，

从而有

R 1=

R 2=R 3=R 1+2R 2=3R 3，从而有

23

=

4．答案 1∶8；

【解析】由题意知，面积比是边长比的平方，由类比推理知：体积比是棱长比的立方． 【点评】本题考查立体几何、合情推理之类比推理． 5．答案B

【解析】截面圆的半径为1，又球心到截面距离等于1，所以球的半径R =故选B 。 6．答案D

【解析】设大球半径为2，则小球的半径为1， 则V 2=V -(4⨯π-V 1) = V 2>V1，故选D 。 7．答案C

【解析】过S 作SO ⊥面ABC 于O ，由已知O 为球心，连OB 、OC ，则O 为正△ABC 的中心，且OB=OS=1，易求底面边长为3,

4382π

2，故球的体积V =πR =，

33

4

316

π+V 1, 3

∴V S -ABC =

13⨯⨯() 2⨯1=, 故选C 。 344

8．答案：2+42

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【解析】设正四棱柱高为a ，由长方体与球的切接性质知4=1+1+a 2，则a =

2

2cm ，

∴正四棱柱的表面积为S=1×1×2+4×1×2=(2+42) cm , 故填2+42. 9．答案：24

【解析】令球半径为r , πr 3=4π， ∴r =

43

3. 正方体的体对角线为球的直径，令正方体边长为a ，a =2, ∴a =2,

2

∴S 表=6a =24. 10．答案：9π

【解析】可构造一个正方体，正方体与三棱锥同外接球，∴半径r = ∴S 球=4πrr =9π，故填9π

2

3, 2

11．答案：1+

2 6

【解析】该几何体形状如图所示：是一个正方体与正四棱锥的组合体，正方体的体积是1，正四棱锥的体积是

22

. ，故应填1+

66

12．【解析】在Rt ∆AA 1C 中, AC =AA 1⋅tan ∠AA 1C =4⨯

3

=4. 3

作B 1H ⊥平面A BC ，垂足为H ，则∠B 1BH = 在Rt ∆B 1BH 中, B 1H =BB 1⋅sin ∠B 1BH

π

3

，

=AA 1⋅s i =43⨯

π

3

3

=6. 2

V =S ∆ABC ⋅B 1H =

12

⨯4⨯4⨯6=48.

【课后作业】

一、选择题

444

1．解析：圆锥的侧面展开图扇形的弧长，即底面圆的周长为π·1＝π，设底面圆的半径为r ，则有2πr ＝π

，

333

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2

得r h ＝

3

答案：C

5451－(2＝，故圆锥的体积V ＝

3381

1

2．解析：圆锥的底面半径为1，高为2，该几何体体积为正方体体积减去圆锥体积，即V ＝23π×12×2

32＝8－π.

3

答案：A

3．解析：依题可以构造一个正方体，其体对角线就是外接球的直径．设侧棱长为a ，球半径为r . ∵r ＝1，∴3a ＝2r ＝2，

3∴a ＝.

3答案：B

4．解析：设正方形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点E ，沿AC 折起后依题意得，当BD ＝a 时，BE ⊥DE ，所以DE ⊥平面ABC ，于是三棱锥D －ABC 的高为DE 答案：D

5．解析：由题意知该几何体为如图所示的四棱锥，底面为菱形，且AC ＝3，BD ＝2，高OP ＝3，其体积V 11

＝×23×2) ×3＝3. 32

答案：C

6．解析：由题意知，球心到四个顶点的距离相等，所以球心在对角线AC 上，且其半径为AC 长度的一半，则45125πV 球＝×(3.

326

答案：C 二、填空题

117．解析：依题意有，三棱锥P －ABC 的体积V ＝S △ABC ·P A ＝×22×3＝3.

3343

8．解析：由三视图可知，此几何体的上面是正四棱柱，其长，宽，高分别是2,1,1，此几何体的下面是长方体，其长，宽，高分别是2,1,1，因此该几何体的体积V ＝2×1×1＋2×1×1＝4(m3) ．

答案：4

9．解析：依题意可知，在该四棱锥中，P A ⊥底面ABCD ，P A ＝a ，底面四边形ABCD 是边长为a 的正方形，因

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21122

a ，所以三棱锥D －ABC 的体积V 2a ＝3. 232212

11

此有PD ⊥CD ，PB ⊥BC ，PB ＝PD 2a ，所以该四棱锥的表面积等于a 2＋2a 2＋2×2a ×a ＝(2＋2) a 2.

22

答案：(22) a 2 三、解答题

10．解：由题设可知，几何体是一个高为4的四棱锥，其底面是长、形，正侧面及其相对侧面均为底边长为8，高为h 1的等腰三角形，左、右6、高为h 2的等腰三角形，如图所示．

11

(1)几何体的体积V S 矩形·h ＝×6×8×4＝64.

33(2)正侧面及相对侧面底边上的高h 1＝4＋3＝5， 左、右侧面的底边上的高h 24＋4＝2，

11

故几何体的侧面积S ＝2×(×8×5＋×6×42) ＝40＋2.

2211. 解：V 棱柱＝3×4÷2×6＝36(cm3) ． 设圆柱底面圆的半径为r ， (3－r ) ＋(4－r ) ＝5， r ＝1.

V 圆柱＝πr 2·h ＝6π(cm3) ．

V ＝V 棱柱－V 圆柱＝(36－6π)cm3.

12．解：(1)令P A ＝x (0

A ′P ⊥平面PBCD ，所以V A ′－PBCD ＝Sh (2－x )(2＋x ) x ＝x －x 3) ，

366

11

令f (x ) 4x －x 3) ，由f ′(x ) ＝－3x 2) ＝0，

662

得x ＝，

3

2

当x ∈(03) 时，f ′(x )>0，f (x ) 单调递增，

32

当x ∈(，2) 时，f ′(x )

32

所以，当x ＝3时，f (x ) 取得最大值，

323

即：当V A ′－PBCD 取得最大时，P A .

3

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宽分别为8、6的矩侧面均为底边长为

B 的中点，

12，PD 綊1

2BC ，

为平行四边形． P ＝PB ， DE ⊥A ′B . 环球雅思中国教育培训领军品牌

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(2)证明：设F 为A ′连接PF ，FE . 则有EF ∴EF 綊PD 四边形EFPD 所以DE ∥PF ，又A ′所以PF ⊥A ′B ，故