第八讲全等三角形的概念与性质
第八讲 全等三角形的概念和性质
第一部分 知识梳理
一 、 全等
1、全等形
能够重合的两个图形叫做全等形. 判断是否是全等图形,只需要注意图形的形状和大小,不用管图形的位置,只要把它们叠合在一起,看看是否重合即可.
2、全等三角形
(1)两个三角形是全等形,就说它们是全等三角形.
(2)两个全等三角形,经过运动后一定能够重合,相互重合的顶点叫做对应顶点;相互重合的边叫做对应边;相互重合的角叫做对应角
.
注:
(1)全等三角形并一定是两个图形之间的关系,还可能是多个图形之间的关系.
(
2)全等图形也可以看作是把图形翻折,旋转、平移等变换而得到的图形,与原图形相比,它们只是位置发生了变化,而形状、大小都没有变;反过来说,两个全等图形经过这样的变换一定能够重合.
二、全等三角形的性质
全等三角形的对应边相等,对应角相等.
三、确定三角形形状和大小的三个元素有四种情况
(1)两角及夹边(2)两边及其夹角(3)三边(4)两角及其中一角的对边
画三角形必须要有三个元素,其中必须要有一边;
也就是说:已知三边,两边一夹角,两角一夹边是可以画出一个确定的三角形的.
注:知道两边及其中一边的对角时,一般不能确定三角形的形状,大小. 可阅读课本P 116 117
第二部分 例题精讲
例 1请观察下图中的6组图案,其中是全等形的是__________.
出题意图:全等形概念的考查.
解析:(1)(5)是由其中一个图形旋转一定角度得到另一个图形的,(4)是将其中一个图形
翻折后得到另一个图形的,(6)是将其中一个图形旋转180°再平移得到的,(2)(3)
形状相同,但大小不等.
答案:(1)(4)(5)(6);
针对训练 1
全等三角形又叫做合同三角形,平面内的合同三角形分为真正合同三角形与镜面合同三角形,假设△ABC和△A1B 1C 1是全等(合同) 三角形,点A 与点A 1对应,点B 与点B 1对应,点C 与点C 1
对应,当沿周界
A→B→C→A,及A 1→B1→C1→A1环绕时,若运动方向相同,则称它们是真正合同三角形(如图
1) ,若运动方向相反,则称它们是镜面合同三角形(如图2) ,两个真正合同三角形都可以在平面内通过平移或旋转使它们重合,两个镜面合同三角形要重合,则必须将其中一个翻转180°,下列各组合同三角形中,是镜面合同三角形的是
( )
例 2 AC 与BD 交于点O ,且AB ∥CD ,AO=CO,OB=OD,AB=CD
(1)写出图中的全等三角形
(2)写出(1)中全等三角形的对应顶点,对应角和对应边.
D B
出题意图:全等三角形的概念和性质的考查.
解析:根据全等三角形的概念不难得到△AOB ≌△DOC ,再根据其性质便可写出相应结
论。
答案:(1)△AOB ≌△DOC
(2)点A 对应点C, 点B 对应点D ,点O 对应点O ;AB=DC,AO=OC,BO=DO;∠A 对应∠C ,∠B 对应∠D ,∠AOB 对应∠COD;
针对训练 2
如图,△ABD ≌△CDB ,若AB ∥CD ,则AB 的对应边是( )
A .DB B. BC C. CD D. AD
例 3如图,将长方形ABCD 沿AE 折叠,使D 点落在BC 边上的F 点处,如果∠BAF =60°,
那么∠DAE 等于( ).
A.60° B.45° C.30° D.15°
出题意图:全等三角形性质的考查
解析:因为△AFE 是由△ADE 折叠形成的,所以△AFE ≌△ADE ,所以∠
FAE
=∠
DAE ,又因为
∠BAF =60°,所以∠FAE =∠DAE =90︒-60︒=15°. 2
答案:D
针对训练 3如图,在长方形ABCD 中,将△BCD 沿其对角线BD 翻折得到△BED ,若∠1=35°,
则∠2=________.
例 4 画△ABC, 使BC=2cm,∠ABC=60°, ∠ACB=70°.
出题意图:通过ASA 画三角形.
解析: 先画线段BC ,再利用量角器分别作∠B=60°, ∠C=70°,交点为A.
答案:
A
60°
B C C 60°70°C
针对训练 4
画△ABC ,使AB=3cm,AC=2cm,∠A=60°.
例 5画△ABC ,使AB=3cm,BC=2
cm, ∠A=40°.
出题意图:有理数除法法则的考查
解析:第三个顶点会有两种情况,表明所画三角形的不确定,也为今后学习判定时为何没有“S.S.A ”打下基础.
答案:
针对训练 5
画△ABC ,使AB=4cm,BC=2cm,AC=3cm.
第三部分 优化作业
基础训练题(A )
1、下列每组中的两个图形,是全等图形的为( )
A. B.
C . D .
2、如图,在5个条形方格图中,图中由实线围成的图形与①全等的有_____________.
3. 如图,△ABC ≌△ECD ,AB 和EC 是对应边,C 和D 是对应顶点,则下列结论中错误的是( )
A. AB=CE B. ∠A =∠E C. AC=DE D. ∠B =∠D
4. 如图,△ABC ≌△BAD ,A 和B ,C 和D 分别是对应顶点,若AB =6cm ,AC =4cm ,BC =
5cm ,则
AD
的长为(
)
A. 4
cm
B. 5cm C. 6cm D. 以上都不对
5. 下列说法中正确的有( )
①形状相同的两个图形是全等图形 ②对应角相等的两个三角形是全等三角形 ③全等三
角形的面积相等 ④若△ABC ≌△DEF ,△DEF ≌△MNP ,△ABC ≌△MNP.
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
6、如图,△ABD ≌△ACE ,AB =AC ,写出图中的对应边和对应角.
7. 如图,在△ABC 中,AC >BC >AB ,且△ABC ≌△DEF ,则在△DEF 中,______<______<
_______(填边).
A
E
C D F
8. 如图,△ABC ≌△AED ,AB =AE ,∠1=27°,则∠2=___________.
9. 已知△ABC ≌△
A ' B ' C ' ,若△ABC 的面积为10 cm
,则△A ' B ' C ' 的面积为________ cm ,
若△A ' B ' C ' 的周长为16cm ,则△ABC 的周长为________cm . 2
2
10. 如图,如果将△ABC 向右平移CF 的长度,则与△DEF 重合,那么图中相等的线段有
__________;若∠A =46°,则∠D =________.
提高训练题(B )
1、如图,在△ABC 中,∠A:∠ABC:∠BCA =3:5:10,又△MNC≌△ABC,则∠BCM:∠BCN等
于( )
A .1:2 B.1:3 C .2:3 D .1:4
2.
如图
,
△ABE≌△ACD, ∠B=50°, ∠AEC=120°, 则∠DAC的度数等于( )
A. 120° B.70° C.60° D.50°
3. 已知△ABC≌△DEF,BC =EF =6cm ,△ABC的面积为18平方厘米,则EF 边上的高是( )
A.6cm B.7cm C.8cm D.9cm
4. 将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠,BC 、BD 分别为折痕,则∠CBD的度数为( )
A .60° B.75° C .90° D .95°
5、如图,把△ABC 绕C 点顺时针旋转35°,得到△A 'B 'C ,A 'B '交AC 于点D ,则
∠AB 'D =
6. △ABC 中,∠A ∶∠C ∶∠B =4∶3∶2,且△ABC ≌△DEF ,则∠DEF =______ .
7. 已知△DEF ≌△ABC ,AB =AC ,且△ABC 的周长为23cm ,BC =4cm ,则△DEF 的边中必有
一条边等于______.
8. 如图,已知△ABC ≌△DEF ,∠A =30°,∠B =50°,BF =2,求∠DFE 的度数与EC 的长.
9. 已知:如图,△ABC ≌△DEF ,且B ,E ,C ,F 四点在一条直线上,∠A =85°, ∠B =60°,AB
=8,EH =2.
(1)求∠F 的度数与DH 的长;
(2)求证:AB ∥DE.
(1)解:∵∠A =85°,∠B =60°,
∴∠ACB =180°-∠______-∠______=______°.
∵△________≌△ABC ,
∴_______=AB ( )
∠________=∠ACB =_____°( )
∵AB =8,EH =2,
∴DH =DE -HE =______-HE =
_______.
(
2)证明:∵△________≌△_________,
∴∠______=∠______( )
∴_____∥_______( )
10. 如图,E 为线段BC 上一点,AB ⊥BC ,△ABE ≌△ECD. 判断AE 与DE 的关系,并证明你的结论.
综合迁移题(C )
1、如图,△ABE 和△ADC 是△ABC 分别沿着AB ,AC 翻折180°形成的,若∠1∶∠2∶∠3=
28∶5∶3,∠α的度数是_________.
2、已知:如图所示,Rt △EBC 中,∠EBC =90°,∠E =35°. 以B 为中心,将Rt △EBC 绕点
B 逆时针旋转90°得到△ABD ,求∠ADB 的度数.
解:∵
Rt
△EBC 中,∠EBC =90°,∠E =35°,
∴∠ECB =________°.
∵将Rt △EBC 绕点B 逆时针旋转90°得到△ABD ,
∴△________≌△_________.
∴∠ADB =∠________=________.
参考答案:
针对训练
1、答案:B 提示:抓住关键语句,两个镜面合同三角形要重合,则必须将其中一个翻转180°,B 答案中的两个三角形经过翻转180°就可以重合,故选B ;其它三个选项都需要通过平移或旋转使它们重合
2、答案:C
3、答案: 35°;提示:将△BCD 沿其对角线BD 翻折得到△BED ,所以∠2=∠CBD ,又因为 AD ∥BC ,所以∠1=∠CBD ,所以∠2=35°
4、答案:
5、答案:
基础训练题(A )
1、答案:A
2、答案: ②、④;
3、答案:D
4、答案:B
5、答案:C(③和④是正确的)
6. 答案:AB 和AC 是对应边,AD 和AE 、BD 和CE 是对应边,∠A 和∠A 是对应角,∠B 和∠C ,
∠ADB 和∠AEC 是对应角.
7. 答案:DE EF DF;
8. 答案:27°
9. 答案:10,16;
10. 答案:AB =DE 、AC =DF 、BC =EF 、BE
=CF , 46
°;
提高训练题(B )
1、答案:D
2、答案:B
3、答案:A
4、答案:C
5、答案:35°
6、答案:40° A B A B A B B 60°A B A 60°B
7、答案:4cm 或9.5cm ;
8、答案:∠DFE =100°;EC=2
9、答案:(1)A ,B ,35;DEF ;DE ,全等三角形对应边相等;F ,35,全等三角形的对应角相等;AB ,6 (2)ABC ,DEF ;B ,DEF ,全等三角形的对应角相等;AB ,DE ,同位角相等,两直线平行.
10、答案:AE =DE ,且AE ⊥DE
证明: ∵△ABE ≌△ECD ,
∴∠B =∠C ,∠A =∠DEC ,∠AEB =∠D ,AE =DE
又∵AB ⊥BC
∴∠A +∠AEB =90°,即∠DEC +∠AEB =90°
∴AE ⊥DE
∴AE 与DE 垂直且相等.
综合迁移题(C )
1、答案:∠α=80°
2、答案: 55;ABD ,EBC ;ECB ,55