基于灰色马尔柯夫模型的黄金价格预测

基于灰色马尔柯夫模型的黄金价格预测

秦笙，陈阳

（陕西师范大学国际商学院，西安 710062）

摘要：黄金价格变化受多种因素的影响，表现出既有宏观趋势的确定性又有微观波动的随机性，而准确预测黄金价格一直是金融机构的重要研究任务之一。因此，根据灰色预测模型和马尔柯夫链的基本原理，考虑各自的特点，构造出预测黄金价格的灰色马尔柯夫模型。两种方法可以优势互补，使得预测结果更加合理可靠。实例计算分析表明，灰色马尔柯夫模型可以有效预测具有某种变化趋势而随机波动较大的黄金价格。

关健词：灰色预测模型；马尔柯夫链；灰色马尔柯夫模型；黄金价格 中图分类号：F830.94 文献标识码：A

Based on Gray Markov models to predict the price of gold

QIN Sheng, CHEN Yang

(International Business School, Shaanxi Normal University, Xi’an 710062, China) Abstract: The price of gold is affected by many factors, it showed the certainty of macro and the random of micro, accurately forecast the price of gold has been one of the important research task in financial institutions. Therefore, according to the basic principles of Grey forecasting model and the Markov chain, considering their own characteristics, constructed Grey Markov model to predict the price of gold. Two methods can complement each other, making prediction is more reasonable and reliable. Calculation and analysis showed that the Grey Markov model can effectively predict the price of gold.

Keyword: Grey forecasting model; Markov chain; Grey Markov model; The price of gold

1 引言

全球性金融危机的爆发，使得各个国家的资本市场大幅下跌，证券和期货市场的风险骤然增加，与此同时，黄金的避险和保值功能吸引了大批投资者转战黄金市场，黄金价格一路飙升。然而，黄金市场也存在着风险，黄金价格也会随着一些影响因素的变化而波动，对其进行深入的研究有利于我们更好地把握其规律，提高黄金投资的收益率。

影响黄金价格的因素包括通货膨胀率、汇率、利率、股票价格指数等，黄金价格的形成是一个十分复杂的经济过程，是许多因素综合作用的结果。因此可以把黄金价格的形成过程看作是既含有已知信息，又含有未知信息的灰色动态系统，从黄金价格时间序列本身挖掘有用的信息，建立系统发展变化的GM(1，1)动态预测模型。鉴于黄金价格的时间数据序列常常呈现趋势性和较大的波动性,传统的GM(1，1)灰色预测模型对随机波动性较大的数据序列拟合效果较差，预测精度较低，而马尔柯夫链适合于随机波动性较大的预测问题，因此这两种方法的优点可以互补，前者用来揭示预测数据序列的发展变化总趋势，后者用来确定状态的转移规律，把两者有机结合起来，形成一个灰色马尔柯夫预测模型，可大大提高随机波动较大数据序列的预测精度。

2 灰色马尔柯夫模型的建立

2.1 灰色预测模型GM (1 ,1)

灰色系统理论认为，尽管由于各种因素对系统的影响，使表现系统的行为特征值的离散数据呈现出离乱，但系统总有整体功能，也就必然蕴含着某种内在规律。因此如何用科学的方法将原始数据加以整理而寻找其变化规律来认识系统的本来面目是值得研究的。灰色系统GM(1 ,1) 预测模型的基本思路是把一个随时间变化的数据序列通过累加,生成新的数据列,根据灰微分方程的白化微分方程的解,还原后即得灰色GM(1 ,1) 预测模型。设

X(0)=｛x(0)(1), x(0)(2),…,x(0)(n)｝ (1)

为从某系统采集的一组时间序列，这些数据可能是杂乱无章无规律的，但经过下边的累加生成后，弱化了数据的随机性和波动性，增加了信息的白化度而呈现出一定的规律。 (0)

将X作一次累加得到累加生成模块:

X(1)=｛x(1)(1), x(1)(2),…,x(1)(n)｝ (2)

其中

x(1)(k)=

(k=1,2,…,n) (3)

此生成序列X(1)就呈现出一定的规律性，其规律可通过求解一阶线性微分方程得到，即解

(4)

其中a、u 为未知待估计参数，记估计量为

(5)

为解(1)，其拟合过程是将微分方程对离散时刻k = 1 , 2 , ……, n 差分化,得到近似线性方程组：

x(0)(k+1)+[x(1)(k)+ x(1)(k+1)]=u (k=1，2，……，n-1) (6)

在方程个数大于未知参数个数而无解情况下，则按最小二乘法求使

min

2=min(Y-Bb)’(Y-Bb)

的最小二乘解，得：

(7)

其中：

B= (8)

Y=(

于是得到方程（1）的解为：

) (9)

(10)

写成离散形式则为：

(k=0,1,…,n) (11)

由(2)、(3)看出，经过累加所得的生成系列X(1)呈现出指数函数的变化趋势，故可由这二式对X(1)预测模型作出预测。我们关注的原始数据序列X(0)的变化规律再由累减生成可得到，即有

(k=1,2,…，n) (12)

其中

(13)

记

(14)

2.2 马尔柯夫预测

为构造状态转移概率矩阵,首先作状态的划分，即将数据序列分成若干状态,记为氏过程

（状态转移时间为

）。这里

的划分按与非平稳马

为基准曲线，

的曲线而得到若干条形区域，每

曲线的变化趋势相一致的准则，即以

作若干条(由状态划分的数目可确定)平行于一条形区域代表一个状态, 即是由状态

经过k步转移到达状态

所属的一个状态区域，如图1所示。 的次数记为

，状态

出现的次数记为

，则由状态经k步转移到状态的转移概率为

(15)

由k步转移概率元素构成的矩阵称为k步状态转移概率矩阵

(16)

反映了系统各状态之间转移的规律，它是灰色马尔柯夫预测模型的基

，可以预测系统的未来变化趋势。实际应用

就行。设预测对象处于

状态，则考

础。通过考察状态转移概率矩阵

中，一般只需考察一步转移概率矩阵察矩阵

中第k行，若

状态。若

，则认为下一时刻系统最有可能由

中第k行出现两个以上概率相近或相同时，系统的

或多步

(k≥3)的转移概率

状态转向

未来状态转向难以确定，此时，需要考察二步矩阵。

根据具体情况, 将序列Y(t)划分成几个状态, 则任一状态元

、

可表示成

(灰数) 由灰

（，为适当常数，i=1,2,…，n）

系统各种状态转移的统计规律在状态转移概率矩阵P(k)中得到了反映。通过考察状态转移概率矩阵P(k)，可预测系统未来的发展变化。预测时需要先列出预测表，表的编制方法是:选取距离预测时刻最近的j个时刻，按照距离预测时刻由近到远的次序,转移步数分别定为1，2，…，j，在转移步数所对应的转移矩阵中，取起始状态对应的行向量，从而组成新的状态转移概率矩阵，对新的状态转移概率矩阵列向量求和，其和最大的列向量的状态即为系统预测时刻最有可能所处的状态。

则系统未来时刻最可能的预测值

可取为灰区间

的中点处,即

(17)

3 黄金价格的灰色马尔柯夫预测

3.1 GM(1,1)模型的建立

2002—2009年历年黄金半年期均价统计数据如下

表1 2002—2009历年黄金半年期均价

注：表中黄金价格为伦敦黄金市场下午收盘价格，计价单位为美元/盎司。记

2002年上半年为2002.1，下半年为2002.2

。 资料来源：http://www.kitco.com

以2002—2009年历年黄金半年期均价作为原始数据序列={301.59，318.47，

349.46，377.69，400.74，417.58，427.20，462.46，590.88，617.99，658.76，734.57，911.36，832.05，915.11}，则一次累加生成序列

={301.59，620.06，

969.52，1347.21，1747.95，2165.53，2592.73，3055.19，3646.07，4264.06，4922.82，5657.39，6568.75，7400.80，8315.91}，求得辨识参数为=-0.087250，=265.411909，进而得到灰色微分方程的离散解为：

（k=0,1,2…n） 累计还原后得到原始数据的拟合值为

（k=0,1,2…n）

则预测曲线

（k=0,1,2…n）

3.2 状态的划分

根据黄金历年半年期均价，划分成如下四个状态： ::

:

:

式中

为k时刻GM(1,1)模型求得的黄金半年期均价预测值，为历年黄金半年

表2 2002—2009黄金半年期均价及GM(1,1)预测模型拟合结果

年份 2002.1 2002.2 2003.1 2003.2 2004.1 2004.2 2005.1 2005.2 2006.1 2006.2 2007.1 2007.2 2008.1 2008.2 2009.1

实际值 301.59 318.47 349.46 377.69 400.74 417.58 427.20 462.46 590.88 617.99 658.76 734.57 911.36 832.05 915.11

预测值 301.59 325.31 354.97 387.33 422.64 461.18 503.22 549.10 599.16 653.79 713.39 778.43 849.40 926.84 1011.34

状态 - 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 4 1 1

期均价的平均值。

3.3 构造状态转移矩阵

3.4 计算预测值

表3 状态预测计算表

2009.1 2008.2 2008.1 2007.2 合计

1 2 3 4 -

1 1 4 2 -

0.667 0 0 0.500 1.167

0.333 1 0 0.375 1.708

0 0 0 0.125 0.125

0 0 0 0 0

由表3可以看出最近的4个年份中，由各年份所处初始状态经过不同步数的状态转移后，在2009年下半年到达各个状态的累积状态转移概率分别为1.167，1.708，0.125和0，其中到达状态2的累积状态转移概率最大，因此2009年下半年黄金均价最有可能处于状态2（因此，最可能的预测值是

，

）。

4 结论

本研究用GM(1，1)模型预测曲线来反映系统宏观发展规律，获得黄金半年期均价发展的趋势和预测值，再利用随机过程理论的马尔柯夫链寻求系统的微观波动规律，对GM(1，1)的预测值进行修正，结果表明两种模型的结合可以充分利用历史数据给予的信息，对既具有趋势性又有一定波动性的黄金半年期均价进行模拟和预测。使用灰色马尔柯夫模型预测黄金价格计算简便，精度较高。

使用灰色马尔柯夫模型需要注意的是，该模型是建立在历史数据的基础之上，需要较多的反映历史信息的数据，历史数据愈多，其预测精度愈高。另外，预测精度还与模型状态的划分数目等因素有关。

参考文献：

[1] Graham Smith. The Price of Gold and Stock Price Indices for the United States[R].The World Gold Council, 2001

[2] Colin Lawrence. Why is Gold Different from other Assets? An Empirical Investigation [J/OL]. The World Gold Council, 2003

[3] Forrest Capie, Terence C Mills, and Geoffrey Wood. Gold as a hedge against the US dollar. The World Gold Council, 2004

[4] Gold Market Knowledge .World Gold Council, December 2007 [5] Gold Demand Trends .World Gold Council, August 2009

[6] Gold As A Tactical Inflation Hedge and Long-term Strategic Asset. World Gold Council, July 2009

[7] A Brief Introduction of London Bullion Market Association. 伦敦黄金市场网站(LBMA):http://www.lbma.org.uk

[8] 邓聚龙. 灰色决策与预测[M]. 武汉:华中理工大学出版社,1986 [9] 邓聚龙. 灰色系统理论教程[M]. 武汉:华中理工大学出版社,1990 [10] 蒋承仪. 灰色马尔科夫预测模型[M]. 重庆:重庆建筑大学学报,1996

[11] 何勇,鲍一丹. 灰色马尔柯夫预测模型及其应用[J]. 北京:系统工程理论与实践,1992 [12] 邓聚龙. 灰理论基础[M]. 武汉:华中科技大学出版社,2002

[13] 陈海明,段进东. 灰色-马尔柯夫模型在股票价格预测中的应用[J]. 山西:经济问题,2002

[14] 杨柳勇,史震涛. 黄金价格的长期决定因素分析[J]. 北京:统计研究,2004

[15] 王泽文,张文,邱淑. 灰色-马尔柯夫模型的改进及其参数计算方法[J]. 北京: 数学的实践与认识,2009