1.2.1逻辑联结词或且非

1.2．1逻辑联结词“非”、“且”和“或”

三维目标 知识与技能目标：

（１） 掌握逻辑联结词“或、且”的含义 （２） 正确应用逻辑联结词“或、且”解决问题 （３） 掌握真值表并会应用真值表解决问题 过程与方法目标：

在观察和思考中，在解题和证明题中，本节课要特别注重学生思维的严密性品质的培养．

情感态度价值观目标：

激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神．

教学重点与难点

重点：通过数学实例，了解逻辑联结词“或、且”的含义，使学生能正确地表述相关数学内容。

难点：

1、正确理解命题“P ∧q ”“P ∨q ”真假的规定和判定． 2、简洁、准确地表述命题“P ∧q ”“P ∨q ”. 教学过程：

（-）联结词“且”，“或” 1、引入

在当今社会中，人们从事任何工作、学习，都离不开逻辑．具有一定逻辑知识是构成一个公民的文化素质的重要方面．数学的特点是逻辑性强，特别是进入高中以后，所学的数学比初中更强调逻辑性．如果不学习一定的逻辑知识，将会在我们学习的过程中不知不觉地经常犯逻辑性的错误．其实，同学们在初中已经开始接触一些简易逻辑的知识．

在数学中，有时会使用一些联结词，如“且”“或”“非”。在生活用语中，我们也使用这些联结词，但表达的含义和用法与数学中的含义和用法不尽相同。

下面介绍数学中使用联结词“且”“或”“非”联结命题时的含义和用法。

为叙述简便，今后常用小写字母p ，q ，r ，s ，„表示命题。（注意与上节学习命题的条件p 与结论q 的区别）

2、思考、分析

问题1：下列各组命题中，三个命题间有什么关系？ （1）①12能被3整除； ②12能被4整除；

③12能被3整除且能被4整除。 （2）①27是7的倍数； ②27是9的倍数；

③27是7的倍数或是9的倍数。

学生很容易看到，在第（1）组命题中，命题③是由命题①②使用联结词“且”联结得到的新命题，在第（2）组命题中，命题③是由命题①②使用联结词“或”联结得到的新命题，。

问题2：以前我们有没有学习过象这样用联结词“且”或“或”联结的命题呢？你能否举一些例子？

例如：命题p ：菱形的对角线相等且菱形的对角线互相平分。

命题q ：三条边对应成比例的两个三角形相似或两个角相等的两个三角形相似。

3、归纳定义

一般地，用联结词“且”把命题p 和命题q 联结起来，就得到一个新命题，记作p ∧q 读作“p 且q ”。

一般地，用联结词“或”把命题p 和命题q 联结起来，就得到一个新命题，记作p ∨q, 读作“p 或q ”。

命题“p ∧q ”与命题“p ∨q ”即，命题“p 且q ”与命题“p 或q ”中的“且”字与“或” 字与下面两个命题中的“且” 字与“或” 字的含义相同吗？

（1）若 x∈A 且x ∈B ，则x ∈A ∩B 。 （2）若 x∈A 或x ∈B ，则x ∈A ∪B 。

定义中的“且”字与“或” 字与两个命题中的“且” 字与“或” 字的含

义是类似。但这里的逻辑联结词“且”与日常语言中的“和”，“并且”，“以及”，“既„又„”等相当，表明前后两者同时兼有，同时满足, 逻辑联结词“或”与生活中“或”的含义不同，例如“你去或我去”，理解上是排斥你我都去这种可能.

说明：符号“∧”与“∩”开口都是向下，符号“∨”与“∪”开口都是向上。

注意：“p 或q ”，“p 且q ”，命题中的“p ”、“q ”是两个命题，而原命题，逆命题，否命题，逆否命题中的“p ”, “q ”是一个命题的条件和结论两个部分.

4、命题“p ∧q ”与命题“p ∨q ”的真假的规定

你能确定命题“p ∧q ”与命题“p ∨q ”的真假吗？命题“p ∧q ”与命题“p ∨q ”的真假和命题p ，q 的真假之间有什么联系？

引导学生分析前面所举例子中命题p ，q 以及命题p ∧q 的真假性，概括出这三个命题的真假之间的关系的一般规律。

例如：在上面的例子中，第（1）组命题中，①②都是真命题，所以命题③是真命题。

第（2）组命题中，①是假命题，②是真命题，但命题③是真命题。

（即一假则假）

（即一真则真）

一般地，我们规定：

当p ，q 都是真命题时，p ∧q 是真命题；当p ，q 两个命题中有一个命题是假命题时，p ∧q 是假命题；当p ，q 两个命题中有一个是真命题时，p ∨q 是真

命题；当p ，q 两个命题都是假命题时，p ∨q 是假命题。

5、例题

例1：将下列命题分别用“且”与“或” 联结成新命题“p ∧q ” 与“p ∨q ”的形式，并判断它们的真假。

（1）p ：平行四边形的对角线互相平分，q ：平行四边形的对角线相等。 （2）p ：菱形的对角线互相垂直，q ：菱形的对角线互相平分； （3）p ：35是15的倍数，q ：35是7的倍数.

解：（1）p ∧q ：平行四边形的对角线互相平分且平行四边形的对角线相等. 也可简写成平行四边形的对角线互相平分且相等.

p ∨q : 平行四边形的对角线互相平分或平行四边形的对角线相等. 也可简写成

平行四边形的对角线互相平分或相等.

由于p 是真命题, 且q 也是真命题, 所以p ∧q 是真命题, p∨q 也是真命题． （2）p ∧q ：菱形的对角线互相垂直且菱形的对角线互相平分. 也可简写成 菱形的对角线互相垂直且平分.

p ∨q : 菱形的对角线互相垂直或菱形的对角线互相平分. 也可简写成 菱形的对角线互相垂直或平分.

由于p 是真命题, 且q 也是真命题, 所以p ∧q 是真命题, p∨q 也是真命题． （3）p ∧q ：35是15的倍数且35是7的倍数. 也可简写成 35是15的倍数且是7的倍数.

p ∨q : 35是15的倍数或35是7的倍数. 也可简写成 35是15的倍数或是7的倍数.

由于p 是假命题, q是真命题, 所以p ∧q 是假命题, p∨q 是真命题． 说明，在用＂且＂或＂或＂联结新命题时，如果简写，应注意保持命题的意思不变．

例2：选择适当的逻辑联结词“且”或“或”改写下列命题，并判断它们的真假。

（1）1既是奇数，又是素数； （2）2是素数且3是素数；

（3）2≤2． 解略．

例3、判断下列命题的真假； （1）6是自然数且是偶数

（2） 是A 的子集且是A 的真子集；

（3）集合A 是A ∩B 的子集或是A ∪B 的子集；

（4）周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角形全等． 解略．

(二) 联结词“非” 1、思考、分析

问题1：下列各组命题中的两个命题间有什么关系？

（1） ①35能被5整除； ②35不能被5整除； （2） ①方程x 2+x+1=0有实数根。 ②方程x 2+x+1=0无实数根。 学生很容易看到，在每组命题中，命题②是命题①的否定。 2、归纳定义

一般地，对一个命题p 全盘否定，就得到一个新命题，记作￢p 读作“非p ”或“p 的否定”。

3、命题“￢p ”与命题p 的真假间的关系 命题“￢p ”与命题p 的真假之间有什么联系？

引导学生分析前面所举例子中命题p 与命题￢p 的真假性，概括出这两个命题的真假之间的关系的一般规律。

例如：在上面的例子中，第（1）组命题中，命题①是真命题，而命题②是假命题。

第（2）组命题中，命题①是假命题，而命题②是真命题。

由此可以看出，既然命题￢P 是命题P 的否定，那么￢P 与P 不能同时为真命题，也不能同时为假命题，也就是说，

若p 是真命题，则￢p 必是假命题；若p 是假命题，则￢p 必是真命题；

4、命题的否定与否命题的区别

让学生思考：命题的否定与原命题的否命题有什么区别？

命题的否定是否定命题的结论，而命题的否命题是对原命题的条件和结论同时进行否定，因此在解题时应分请命题的条件和结论。

例：如果命题p:5是15的约数，那么 命题￢p ：5不是15的约数；

p 的否命题：若一个数不是5，则这个数不是15的约数。

显然，命题p 为真命题，而命题p 的否定￢p 与否命题均为假命题。 5. 例题分析

例4 写出下表中各给定语的否定语。

分析：“等于”的否定语是“不等于”； “大于”的否定语是“小于或者等于”； “是”的否定语是“不是”； “都是”的否定语是“不都是”；

“至多有一个”的否定语是“至少有两个”； “至少有一个”的否定语是“一个都没有”； 例5：写出下列命题的否定，判断下列命题的真假

（1）p ：y ＝ sinx 是周期函数； （2）p ：3＜2；

（3）p ：空集是集合A 的子集。 解略.

6. 练习巩固：P16 练习第1,2题 7．小结

（１）正确理解命题 “￢P ”真假的规定和判定． （２）简洁、准确地表述命题 “￢P ”. ８．作业

P17：学而时习之3,4