光纤光学-第三章

第三章 阶跃折射率光纤

本章知识导图

§3-1 几何光学分析法

§3.1-1 阶跃折射率光纤中子午光线的传播

一、子午光线

在任何一根光纤中，通过光纤中心轴的任何平面都称为子午面，它有无穷多个；

位于子午面内的光线称为子午光线，它在光纤端面上的投影即为光纤端面上的直径或是一个点。

二、全反射条件

• 见图，n1, n2分别为纤芯和包层材料的折射率，n0为周围介质的折射率，在界面上，若满足n 1Sin ψ= n 2Sin

π

2

,

• （ 斯涅尔定律 ）

则ψ 就是全反射的临界角，记作ψc 。

三、数值孔径

四、子午光线的时延差 1、渡越时间

2、模间色散

3、传输带宽

4、传输容量限制

§3.1-2 斜光线的传播

1、 斜光线全反射条件

2、斜光线数值孔径

3、最大时延差

§3-2 波导场方程及导模场解

圆柱波导中场解的描述形式

标量模 矢量模

一、纵向分量的场解

纵向分量解的形式：

径向分量满足的方程：

⎧d 2F (r )1dF (r )⎛2l 2⎫2

++ k 1-β-2⎪F (r )=0⎪2

dr r dr r ⎭⎪⎝⎨2

2

⎪d F (r )+1dF (r )+⎛k 2-β2-l ⎫F r =0

() 22⎪⎪dr 2

r dr r ⎝⎭⎩

F (r )

⎡e z (r ) ⎤

⎢h (r ) ⎥⎣z ⎦

第一类贝塞尔函数J l (x)

可解得：

⎧⎡A ⎤Ur il φ

⎪⎢⎥J l () e (0≤r

a ⎡e z (r , φ) ⎤⎪⎣B ⎦

⎢h (r , φ) ⎥=⎨

Wr il φ⎣z ⎦⎪⎡C ⎤K () e (r >a ) l ⎥⎪⎢a ⎩⎣D ⎦

U 2=(k 02n 12-β2)a 2

2

W 2=(β2-k 02n 2)a 2

【例题1】光纤的纤芯折射率n1=1.5，包成的折射率n2=1.48，纤芯半径a =2μm ，入射光的波长628nm ，光纤内的纤壁入射角为φ=850。求此光纤的归一化频率，芯区的纵向传播常数和横向传播常数，芯区和包成的横向归一化传播常数。

二、模式场解

§3-3 本征值方程

【新课教学】 复习引入：

在芯包层边界（r=a) 连续条件：

一、阶跃光纤的本征值方程(色散方程）

令

例如，在弱导近似下(n1≈n2即k1≈

k2)

§3-4 阶跃光纤的模式分析

【教学过程】

一、阶跃光纤的四种基本模式

模式鉴别参数

根据q 的不同取值，可以将模式场分为两类：

1、横电模TE

定义l=0，且电场只有角向分量的模式，或由 e h r 、 h ϕ、z 三个电磁场分量组成的模式称为横电模。

J (U )K (W )

特征方程为：1+1=0

UJ U WK W 00

2、横磁模TM

定义l=0，且磁场只有角向分量的模式，或由 h ϕ 、e z 、 e r 三个电磁场分量组成的模式称

2

为横电模。 J 1(U )n 2K 1(W )

+=0

特征方程为：UJ U n 2WK W

3、混合模

定义l ≠0，且电磁场都是非零的模式为混合模。混合模又分两类，称q =1的模为EH 模，q = -1的模称为HE 模。

J l +1(U )K l +1(W )

+=0

EH 模的特征方程为： UJ l U WK l W

J (U )K l -1(W )

HE 模的特征方程为：

l -1-=0

UJ l U WK l W

010

二、矢量模的截止特性

1、TE 和TM 模式

2、 EH 模式

J l +1(U )K l +1(W )本征方程 +=0UJ (U ) WK (W ) l l

模式截止条件：W=0, U=Vc

K (W )截止时对应的特征方程的第二式： -l +1→∞WK l (W )

所以有： UJ l ( ) = 0 ， U =0 or J l (U ) =0U

由此得：

J l (U ) = 0

【例2】直径为8微米，芯区折射率为1.45，相对折射率差0.005，输入波长为1.55微米，那么能否传输EH 11阶模式？ 答：V=2.35

3、 HE 模式

在所有的导模中，只有HE11模式的截止频率为零，亦即截止波长为无穷

大。HE11模式是任何光纤中都能存在、永不截止的模式，称为基模或主模。

例3：试证明在弱导近似下，HE 21模的截止频率等于TE 01和TM 01模的截止频率。 解：对于HE 2m 模(l =2)，弱导近似下，在截止状态时特征方程为：

由贝塞尔函数的递推关系：

可以看出，HE 2m 模在截止状态下的特征方程与TE om 和TM om 模是相同的。J 0(u )=0的第一个根u 21=2.4048对应于HE 21模的截止频率，也是TE 01和TM 01模的截止频率。(弱导近似)

三、模式简并

若不同模式具有相同的模方程（特征方程），即具有相同的色散特性和截止频率，则这些模式称为是简并的。简并的模式有二类： 1、 TE0m,TM0m 模的简并

TE

TM

2、EH l -1，m 和HE l +1，m 模的简并

EH

HE

四、矢量模的远离截止状态

远离截止状态 W →∞, V →∞

1、TE 和TM 模式

K 1(W )J (U )

+1=0

WK 0(W ) UJ 0(U )

即 J 1(U )=0

J 1(U )

=0

UJ 0U

2、EH lm 模式

J l +1(U )=0J l -1(U )=0

3、HE lm 模式

五、色散曲线

光纤中的导波模的特性由特征参数U 、W 、β决定。U 、W 决定导波场的横向分布特点， β决定其纵向传播特性。如果给定归一化频率V ，则可由各模式的特征方程求得相应的U 或W ，然后求出纵向传播常数β。不同的V 值对应不同的β值，从而可以作出每一个模式的β-V 曲线。这样的曲线称为光纤的色散曲线。 色散曲线：以归一化传播常数（相位常数）为纵轴，以V 为横轴。

几个低阶模的色散曲线

六、单模条件

单模条件：V c ＝(2π/λ0) a (n 12－n 22)1/2

仅当λ>λc 或f

● 具有极小的色散和极低的损耗，一根光纤可传输数百兆甚至几千兆的宽带信息，无中继距离可达几十甚至数百公里。

● 基模的相位、偏振、振幅等参数对各种外界物理量（如磁场、电场、振动、应力、温度等）极为敏感，可制成灵敏度极高的各种光纤传感器。 ● 利用单模光纤的非线性效应可制成光纤激光器与光纤放大器，还可用于测量和信息处理等方面具有不可比拟的优越性。

例4：已知一阶跃折射率光纤，n 1＝1.5，Δ＝0.002，a =6 μm ，当光波长分别为①λ0=1.55 μm ；②λ0=1.30 μm ； ③λ0=0.85 μm 时，求光纤中传输哪些导模?

解： 2πa V ==n

λ0

● ● ● ● ●

V =

2πa

λ0

n ⇒V =

2πa

λ0

n （1）当λ0=1.55 μm 时，V ≈2.3

（2）当λ0=1.55 μm 时, V ≈2.8, ∵2.405

∴光纤中的导模有HE 11,TE 01,TM 01,HE 21,EH 11 ,HE31,HE 12模。

例5：利用单模条件估算光波系统中单模光纤的纤芯半径。其中，取λ＝1.2μm ，

-3

n 1=1.45, ∆=5×10 ．

解：

2V =k 0a (n 12-n 2) =

2π

λ

an ⇒a =

V λ

n 由阶跃折射率光纤的单模条件：V ＜ 2.405

a

2.405

⨯1.451.2μm

=3.2μm

【课堂小结】

补充作业：

§3-5弱导光纤与线偏振模

【教学过程】

◆ 光纤中纤芯和包成折射率差很小，光纤中光线几乎 与光纤轴平行，这种波非常接近于TEM 波。其电磁场 的轴向分量Ez 和Hz 与横向分量Et 和Ht 相比很小。 ◆ 一经激励起来偏振状态保持不变，称其为线性偏振模，简写为LP 模（Linear Polarized Mode）

⎛e x +e z 1⎫⎛e y +e z 2⎫⎛e ⎫

⎪⎪+b ⎪(x , y ) =a

h h h ⎝⎭⎝1⎭⎝2⎭

◆ 设横向场分为沿x 、y 轴偏振，则ex 、 ey 分别满足标量波动方程：

2222⎡⎣∇t +(k n -β) ⎤⎦e x =0

2222⎡⎣∇t +(k n -β) ⎤⎦e y =0

一、阶跃光纤中LP 模的场分布

思想：利用较为简单的场矢量的笛卡尔分量来解波动方程而不必采用柱坐标系求解，这样的近似求解得到的简化解是具有线偏振特征的导模。

e φ=-

e x sin φ+e y cos φ

考虑到解具有线偏振特性及光纤的圆柱对称性，因此需要 寻求的解是电场的x 或y 分量为零的解，也即是寻求x 偏 振模或y 偏振模传播。

取电场E 的y 方向偏振分量的解的形式为： e x =0

Ur il φi (ωt -βz ) ⎧

AJ () e e r ≤a ⎪⎪l a e y =⎨

⎪BK (Ur ) e il φe i (ωt -βz ) r >a

l

⎪a ⎩

二、阶跃光纤中LP 模的特征方程

或

J l +1(U ) K (W )

=W l +1

J l (U ) K l (W ) J (U ) K (W ) U l -1=-W l -1

J l (U ) K l (W ) U

可以证明上面两式是完全等价的。

三、阶跃光纤中LP 模的模式分析

四、LP 模的色散曲线

五、LP 模与精确矢量模之间的关系 LP lm 模是由HE l +1，m 模和EH l -1, m 模线性迭加而成，其中每个模包括两个正交的线偏振状态，所以LP l m 模是四重简并。但LP0m 模的情况比较特殊，因为l =0，EH l -1，m 模的角向阶数是-1，这是没有物理意义的。所以LP0m 模仅由HE 1m 模构成，是双重简并。

标量模与矢量模的比较

四、模容量

⎛V 2V ⎫V 2M =4 2-⎪≈π⎭2⎝π

例：对于典型的阶跃型光纤：NA ＝0.275，纤芯直径62.5μm ，求当工作在1300nm 窗口时，光纤中可容纳的模式数。

解答提示：带入公式计算即可。

五、导模纵向功率流

结论：低阶模能量集中在波导中心，而模式阶数越高横截面直径越大且能量分布越分散

【课堂小结】

1、LP 模的意义和适用条件

2、偏振模的本征值方程及其物理意义

3、偏振模的简并

4、偏振模的色散曲线