拉格朗日插值法

5.2 拉格朗日（Lagrange ）插值

可对插值函数

选择多种不同的函数类型，由于代数多项式具有简单和一些良好的

特性，例如，多项式是无穷光滑的，容易计算它的导数和积分，故常选用代数多项式作为插值函数。

5.2.1 线性插值

问题5.1 给定两个插值点其中，怎样做通过这两点的一次插值

函数？

过两点作一条直线，这条直线就是通过这两点的一次多项式插值函数，简称线性插值。如图5.1所示。

图5.1 线性插值函数

在初等数学中，可用两点式、点斜式或截距式构造通过两点的一条直线。 下面先用待定系数法构造插值直线。 设直线方程为

，将

分别代入直线方程

得：

当时，因，所以方程组有解，而且解是唯一的。这也表明，平面上

两个点，有且仅有一条直线通过。用待定系数法构造插值多项式的方法简单直观，容易看到解的存在性和惟一性，但要解一个方程组才能得到插值函数的系数，因工作量较大和不便向高阶推广，故这种构造方法通常不宜采用。 当

时，若用两点式表示这条直线，则有：

（5.1）

这种形式称为拉格朗日插值多项式。

的值，易见

，，称为插值基函数，计算，

（5.2）

在拉格朗日插值多项式中可将看做两条直线，的叠加，并可

看到两个插值点的作用和地位都是平等的。

拉格朗日插值多项式型式免除了解方程组的计算，易于向高次插值多项式型式推广。 线性插值误差 定理5.1

记

这里给定的

为以

，设

，至少存在一点

为插值点的插值函数，一阶连续可导，

，使

在

。

上存在，则对任意

证明令

，因

：

。 ，这样

（5.3）

是

的根，所以可设

对任何一个固定的点，引进辅助函数

则 由定义可得别在和

和，即

至少有3个零点，不失一般性，假定，分

上应用洛尔定理，可知

和

，

，对

。

在每个区间至少存在一个零点，不妨记为在

上应用洛尔定理，得到

在

上至少有一个零点

现在对

求二次导数，其中

的线性函数) ，故有

代入，得

所以

即

5.2.2 二次插值

问题5.2 给定三个插值点

的二次的（抛物线）插值多项式？

，, 其中

互不相等，怎样构造函数

平面上的三个点能确定一条次曲线，如图5.2所示。

图5.2 三个插值点的二次插值

仿造线性插值的拉格朗日插值，即用插值基函数的方法构造插值多项式。设

每个基函数

是一个二次函数，对

来说，要求

同理

，

也相对应的形式，得

是它的零点，因此可设

将

代入

，得

同理将

代入

得到

和

的值，以及

和

的表达式。

也容易验证：

插值基函数仍然满足：

二次插值函数误差：

上式证明完全类似于线性插值误差的证明，故省略。 插值作为函数逼近方法，常用来作函数的近似计算。当计算点落在插值点区间之内时叫做内插，否则叫做外插。内插的效果一般优于外插。 例5.1 给定计算

和

。构造线性插值函数并用插值函数

解：构造线性插值函数：

分别将

代入上式，得 ，准确值，准确值

例5.2

给定值函数并计算 解：

。

。构造二次插

，准确值

值表，已知表值有四位小数，要求用线性插值引起

例5.3 要制做三角函数的函数

的截断误差不超过表值的舍入误差，试决定其最大允许步长。

解：设最大允许步长

5.2.3 次拉格朗日插值多项式

问题5.3 给定平面上两个互不相同的插值点

两点的直线；给定平面上三个互不相同的插值点这三个点的二次曲线；给定平面上

互不相同是指

个互不相同的插值点

，有且仅有一条通过这，有且仅有一条通过

，

互不相等，是否有且仅有一条不高于次的插值多项式曲线，如果曲线存

在，那么如何简单地作出这条次插值多项式曲线？ 分析：次多项式若曲线

应满足 将

依次代入

通过给定平面上

，它完全由

个互不相同的插值点

个系数

决定。

，则

，事实上一个插值点就是一个插值条件。

中得到线性方程组：

（5.4） 方程组的系数行列式是范德蒙（Vandermonde ）行列式：

当互异时，，所以方程组（5.4）的解存在且惟一。即问题5.3

的解存在而且惟一。

通过求解（5.4）得到插值多项式

，因其计算量太大而不可取，仿照线性以及二

次插值多项式的拉格朗日形式，我们可构造次拉格朗日插值多项式。 对于

个互不相同的插值节点

作出相应的次插值基函数

是

，的零点，因此可设

将

代入

，得到

，由次插值多项式的惟一性，可

。

对每个插值节点 要求

由

作其组合：

（5.5）

那么点

不高于

次且满足

（5.6）

，故

就是关于插值称为关于节

的插值多项式，这种插值形式称为拉格朗日插值多项式。

点的拉格朗日基函数。

（0.6）。

例5.4 给出下列插值节点数据，做三次拉格朗日插值多项式，并计算

-2.00 17.00

0.00 1.00

1.00

2.00

2.00 17.00

解：拉格朗日插值基函数为：

三次拉格朗日插值多项式：

n 次插值多项式的误差

定理5.2 设互不相等，当

是上过

时，则插值多项式的误差：

的

次插值多项式，

其中

证明：记是

下面的目标是算出

令 令至少有

，得，

由定义个零点，由于

至少有

，由洛尔定理，个零点。同理再对

的根，于是可设

，为此引入变量为的函数

*

(5.7)

，因而

。由于

： （5.8）

即

在

相邻的两个零点之

间至少有一个零点，即应用洛尔定理，即

至少有个零点，反复应用洛尔定理得到 另一方面，对

令

，有

求

阶导数，有

至少有一个零点。

得到

由于

的零点

与

的零点

（5.9） 有关，因而

为的函数。

若|可表示为

由（5.9）式可以看到，当

对于函数

是其本身，故拉格朗日基函数

（5.10） 是不高于次的多项式时，

，关于节点满足

，即

。

的拉格朗日插值多项式就

令，得到。

定理5.2给出了当被插函数充分光滑时的插值误差或称插值余项表达式，但是，在实际计算中，并不知道也难以得到界 给

出

的具体表示，难以得到

的形式或较精确的界限

，因此

。在实际计算中，可对误差运用下面的事后估计方法。 个插值节

点

，任选其中

的

。在

个插值节点，不妨

取个插值节点中另选

。由定理2可

，构造一个次插值多项式，记为

个插值点，不妨取得到

，构造一个次插值多项式，记为

（5.11）

设

在插值区间内连续而且变化不大，有

（5.12）

，则

从而可得到

（5.13）

（5.14） 拉格朗日插值多项式的算法

下面用伪码描述拉格朗日插值多项式的算法。

1：输入：插值节点控制数，插值点序列

及变量

。 ，要计算的函数点，

2：FOR i ：=0，1，…，n //i控制拉格朗日基函数序列 {tmp：=1；

2.1 FOR j：=0，1，…，i-1，i+1，…，n

{ //对于给定，计算拉格朗日基函数

；

} // tmp表示拉格朗日基函数

2.2

}

3：输出 的计算结果。