平面几何的定值与最值问题
第二十三讲 平面几何的定值与最值问题
【趣题引路】
传说从前有一个虔诚的信徒, 他是集市上的一个小贩.••每天他都要从家所在的点A 出发, 到集市点B, 但是, 到集市之前他必须先拐弯到圆形古堡朝拜阿波罗神像. 古堡是座圣城, 阿波罗像供奉在古堡的圆心点O,•而周围上的点都是供信徒朝拜的顶礼地点如图1.
这个信徒想, 我怎样选择朝拜点, 才能使从家到朝拜点,•然后再到集市的路程最短呢
?
(1) (2)
解析 在圆周上选一点P, 过P 作⊙O 的切线MN, 使得∠APK=∠BPK, 即α=β. 那么朝圣者沿A →P →B 的路线去走, 距离最短.
证明 如图2, 在圆周上除P 点外再任选一点P ′. 连结BP•′与切线MN•交于R,AR+BR>AP+BP. ∵RP ′+AP′>AR.
∴AP ′+BP′=AP′+RP′+RB>AR+BP>AP+BP.
不过, 用尺规作图法求点P 的位置至今没有解决.•“古堡朝圣问题”属于数学上“最短路线问题”, 解决它的方法是采用“等角原理”.
【知识延伸】
平面几何中的定值问题, 是指变动的图形中某些几何元素的几何量保持不变, 或几何元素间的某些几何性质或位置关系不变的一类问题.•所谓几何定值问题就是要求出这个定值.
在解决这类问题的过程中, 可以直接通过计算来求出定值; 也可以先考虑某一个特殊情形下的该相关值, 然后证明当相应几何元素变化时, 此值保持不变. 例1 如果△ABC 的外接圆半径R 一定, 求证:
abc
是定值.(S表示△ABC 的面积) S
1c
解析 由三角形面积S=absinC 和正弦定理=2R,
2sin C
∴c=2RsinC.
∴
abc 2c 4R sin C
===4R是定值. S sin C sin C
点评 通过正弦定理和三角形面积公式经过变形, 计算出结果是4R, 即为定值.
平面几何中不仅有等量关系, 还有不等关系, 例如在变动一些几何元素时,•某一相关的值保持不大于(或不小于) 某个定值, 如果这个定值在某个情形下可以取得,•这就是一个几何极值. 确定几何极值的问题称为几何极值问题, 解决这些问题总要证明相关的几何不等式, 并指明不等式成为等式的情形(或者至少证明不等式可以成为等式).
例2
如图, 已知⊙O 的半径为⊙O 上一点, 过A 作一半径为r=3的⊙O ′,
问OO ′何时最长? 最长值是多少?OO ′何时最短? 最短值是多少?
解析 当O ′落在OA 的连线段上(即⊙A 与线段OA 的交点B 时)OO ′最短, 且最短长度为当O ′落在OA 的延长线上(即⊙O 与OA 的延长线交点C 时)OO ′最长, 且最长的长度为点评
⊙O ′是一个动圆, 满足条件的⊙O ′有无数个, 但由
于⊙O ′过A 点, 所以⊙O ′的圆心O ′在以A 为圆心半径为3的⊙A 上.
【好题妙解】
佳题新题品味
例1 如图, 已知P 为定角O 的角平分线上的定点, 过O 、P•两点任作一圆与角的两边分别交于A 、B 两点.
求证:OA+OB是定值.
证明 连结AP 、BP, 由于它们为有相同圆周角的弦,AP=PB,不妨记为r.•另记x 1=OA,x2=OB.
对△POA 应用余弦定理,
得x 12+OP2-2OP ·cos ∠AOP ·x 1=r 2.
1
∠AOB ·x+(OP 2-r 2)=0的根, 同理x 2亦为其根. 2
1
因此x 1,x 2为此方程的两根, 由韦达定理, 得x 1+x2=2OP(∠AOB) 是定值.
2
故x 1为方程x 2-2OP ·cos
点评
当x 1=x2时,x 1+x2为此定值, 事实上此时OP 一定是直径.
例2 如图, 在矩形ABCD 中,AB=8,BC=9,⊙O 与外切, 且⊙O 与AB 、BC•相切. ⊙O ′与AD 、CD 相切, 设⊙O 的半径为x, ⊙O 与⊙O ′的面积的和为S, 求S•的最大值和最小值. 解析 设⊙O ′的半径为y, 过O 与O ′分别作CD 与BC
的垂线OH,O ′F,•垂足分别为H,F,OH 、O ′F 交于点E, 则有:O′E=8-(x+y),OE=9-(x+y) 由勾股定理可得:
(x+y)2=[8-(x+y)]2+[9-(x+y)]2. 整理, 得(x+y-29)(x+y-5)=0,
由题意知1≤x ≤4, ∴x+y=5,y=-x+5,∴S=πx+πy=π(2x-10x+25),
5225) +], 24525
故当x=时, S min =π; 当x=4时,S=17π.
22
=2π[(x-点评 先由已知求出⊙O ′的半径也⊙O 的半径x 之间的关系, 然后再根据面积公式写出
S 与x 之间的关系, 这个关系就是一个函数关系, 再通过函数的性质得解.
中考真题欣赏
例 (南京市中考题) 如图, ⊙O 1与⊙O 2内切于点P, 切⊙O 2•的直径BE 于点C, 连结PC 并延长交⊙O 2于点⊙O 1, ⊙O 2的半径分别为r 、R, 且R ≥2r.•求证:PC·AC 解析 若放大⊙O 1, 使⊙O 1切⊙O 2的直径于点O 2(如图显然此时有PC ·AC=PO2·AO 2=2r·R(定值). 再证明如图的情况:连结C O 1,PO 2, • 则PO 2•必过点O 1, •且O 1C ⊥BE,
得CO 2, 从而.
所以PC ·AC=EC·BC=2Rr,故PC ·AC 是定值. 点评
解答几何定值问题时, 可先在符合题目条件的前提下用
运动的观点, 从特殊位置入手, 找出相应定值, 然后可借助特殊位置为桥梁, 完成一般情况的证明.
竞赛样题展示
例1 (第十五届江苏省初中数学竞赛题) 如图, 正方形ABCD 的边长为1,•点P 为边BC 上任意一点(可与点B 或点C 重合), 分别过点B 、C 、D 作射线AP 的垂线,•垂足分别为点B ′、C ′、D ′.
求BB ′+CC′+DD′的最大值和最小值.
解析 ∵S △DPC = S△APC =
1
AP ·CC ′, 2
得S 四边形BCDA = S△ABP + S△ADP + S△DPC
1
AP(BB′+DD′+CC′), 2
2
于是BB ′+CC′+DD′=.
AP
=
又1≤AP
BB ′+CC′+DD•′≤2,
∴BB ′+CC′+DD
最大值为2.
点评
本题涉及垂线可考虑用面积法来求. 例2 (2000年“新世纪杯”广西竞赛题) 已知△ABC 内接于⊙O,D 是BC•或其延长线上一点,AE 是△ABC 外接圆的一条弦, 若∠BAE=∠CAD.
求证:AD.AE为定值
.
证明 如图 (1),当点D 是BC 上任意一点且∠BAE=∠CAD 时, 连结BE, 则∠E=∠C, ∠BAE=∠CAD, ∴△ABE ∽△ADC. ∴
AB AE
=, 即AD ·AE=AB·AC 为定值. AD AC
AB AE
= AD AC
如图 (2),当点D 在BC 的延长线上时, ∠BAE=∠CAD. 此时, ∠ACD=∠AEB. ∴△AEB ∽△ACD, ∴
即AD ·AE=AB·AC 为定值.
综上所述, 当点D 在BC 边上或其延长线上时, 只要∠CAD=∠BAE, 总有AD ·AE 为定值. 点评
先探求定值, 当AD ⊥BC,AE 为圆的直径时, 满足∠BAE=∠CAD 这一条件,•不难发现△ACD ∽△AEB, 所以AD ·AE=AB·AC, 因为已知AB,AC 均为定值.•再就一般情况分点D•在BC 上, 点D 在BC 的延长线上两种情况分别证明.
全能训练
A 级
1. 已知MN 是⊙O 的切线,AB 是⊙O 的直径. 求证:点A 、B 与MN 的距离的和为定值.
2. 已知:⊙O 与⊙O 1外切于C,P 是⊙O 上任一点,PT 与⊙O 1相切于点T. 求证:PC:PT是定值.
3. ⊙O 1与⊙O 2相交于P 、Q 两点, 过P 作任一直线交⊙O 1于点E, 交⊙O 2于点F. 求证:∠EQF 为定值.
4. 以O 为圆心,1为半径的圆内有一定点A, 过A 引互相垂直的弦PQ,RS. 求PQ+RS的最大值和最小值.
5. 如图, 已知△ABC 的周长为2p, 在AB 、AC 上分别取点M 和N, 使MN•∥BC,•且MN 与△ABC 的内切圆相切. 求:MN的最值.
A
M
N
B 级
1. 如图1, 已知正方形ABCD 的边长为3, 点E 在BC 上, 且BE=2,点P 在BD 上, 则PE+PC的最小值为( )
Q
D
A
P
(1) (2) (3)
2. 用四条线段a=14,b=13,c=9,d=7.作为四条边构成一个梯形,•则在所构成的梯形中, 中位线长的最大值是__________. 3. 如图2, ⊙O
、B 两点在⊙O 上, 切线AQ 和BQ 相交于Q,P 是AB•延长线上任一点,QS ⊥OP 于S, 则OP ·OS=_______.
4. 已知, 如图3, 线段AB 上有任一点M, 分别以AM,BM 为边长作正方形AMFE•、•MBCD.正方形AMFE 、MBCD 的外接圆⊙O 、⊙O ′交于M 、N 两点, 则直线MN 的情况是( •) A.定直线 B.经过定点 C.一定不过定点 D.以上都有可能
5. 如图, 已知⊙O 的半径为R, 以⊙O 上一点A 为圆心, 以r 为半径作⊙A,•又PQ 与⊙A 相切, 切点为D, 且交⊙O 于P 、Q. 求证:AP·AQ 为定值
.
B C
6. 如图, ⊙O 1与⊙O 2相交于A 、B 两点, 经过点B•的一直线和两圆分别相交于点C 和D, 设此两圆的半径为R 1,R 2. 求证:AC:AD=R1:R2.
A 级(答案) 1. 定长为圆的直径;
2. 利用特殊位置探求定值(当PC 构成直径时)
(R,r是两圆的半径). 3. 因∠E, ∠F 为定角(大小固定) 易得∠EQF 为定值.
4. 如图, 设OA=a(定值), 过O 作OB ⊥PQ,OC ⊥RS,B 、C 为垂足, 设OB=x,OC=y,0≤x ≤a,(0≤y ≤a), 且x 2+y2=a2.
所以
所以
∴(PQ+RS)2=4(2-a2+
而x 2y 2=x2(a2-x 2)=-(x2-
a 2a ) +. 24
24
a 2a 422
当x =时, (xy ) 最大值=.
24
2
此时
当x 2=0或x 2=a2时,(x 2y 2) 最小值=0, 此时(PQ+RS) 最小值=2(
). 5. 设BC=a,BC边上的高为h, 内切圆半径为r. ∵△AMN ∽△ABC,
MN h -2r 2r
=,MN=a(1-),• BC h h
由S △ABC =rp,∴r=
S ∆ABC ah
=, p 2p
2
a ⎤⎡a
+(1-) ⎢p a a a p ⎥p
∴MN=a(1-)=p·(1-) ≤p ⎢⎥=,
p p p 2⎢⎥4
⎢⎥⎣⎦
当且仅当
p p a a
=1-, 即a=时, 取等号, ∴MN 的最大值为.
24p p
B 级(答案)
1.B. ∵A 、C 关于BD 对称, 连结AE 交BD 于P, 此时PE+PC=AE最短
.
2.11.5 (1)当上底为7, 下底分别为14,13,9时, 中位线长分别为10.5,10,8; (2)当上底为9和13时, 均构不成梯形.
3. 连结OQ 交AB 于M, 则OQ ⊥AB. 连结OA, 则OA ⊥AQ. ∵∠QMP=∠QSP=90°,
∴S,P,•Q,M四点共圆, 故OS ·OP=OM·OQ. 又∵OM ·OQ=OA2=2,∴OS ·OP=2.
4.B. 由图可知直线MN 可看作⊙O 和⊙O ′的割线, 当M 在点A 时, 直线MN 变为⊙O•′的切线, 当M 在点B 时, 直线MN 变为⊙O 的切线.
这两种情况是以AB•为直角边的等腰直角三角形的两直角边所在的直线, 交点是第三个顶点M.M 是AB 的中点时,MN 是AB•的垂直平分线, 也过第三个顶点, 所以选B. 5. 如图, 作⊙O 的直径AB, 连结AD. ∵PQ 切⊙A 于D, ∴AD ⊥PQ, ∴AP ·AQ=AD·AB.•
而AD=r,AB=2R,∴AP ·AQ=2Rr为定值.
6. 作AN ⊥CD, 垂足为点N, 连结AB, 有AC.AB=AN.2R1,① AB·AD=AN·2R 2 .② ①÷②, 得
AC R 1
, ∴AC:AD=R1:R2.
AD R 2