数学建模范例

A 题 奥运会临时超市网点设计

一．摘要：

本文中，对奥运会比赛主场馆周边地区的临时迷你超市网点进行设计与优化，这是本题的重要目的之一，因此应该将该问题归结为一个带有约束条件的优化问题。通过对access 中大量数据的分析，可以了解到观众在出行，用餐等方面存在着一些规律，与此同时，根据这些规律，能够应用概率分布法计算每个商区的人流量。

针对问题三，这个也是全题的核心所在，考虑到每个商区的人流量，以及相对应的消费人流量，为了使得商业上的赢利达到最大，可以采取运筹学中的线性规划的整数求解问题，由于计算量较大，lingo 再次成为了解决模型的关键，通过lingo 的大量运算，得出了每个商业区网点的设计方案。

关键字：线性规划 数据处理 概率分布 lingo

二．问题重述

2008年北京奥运会的建设工作已经进入全面设计和实施阶段。需要我们对比赛主场馆的周边区域（即图中所标示的A1-A10、B1-B6、C1-C4区域）设置临时商业网点，以满足各类人员在奥运会期间的购物需求（满足奥运会期间的购物需求、分布基本均衡和商业上赢利）。

因此我们的要求是：找出观众出行、用餐和购物的规律。根据每位观众平均出行两次，一次为进出场馆，一次为餐饮，并且出行均采取最短路径，测算出20个区域的人流量分布。给出20个商区内MS 网点的设计方案，来满足奥运会期间购物的需求。然后阐明自己的方法的科学性，并说明结果的实际性。

三．问题分析：

1. 找出观众出行、用餐和购物的规律。

2. 根据每位观众平均出行两次，一次为进出场馆，一次为餐饮，并且出行均采取最短路径，测算出20个区域的人流量分布。

3. 给出20个商区内MS 网点的设计方案，来满足奥运会期间购物的需求。 4. 然后阐明自己的方法的科学性，并说明结果的实际性。

四．基本假设：

①每个MS 销售的商品类别一样

②每人从出行开始到达自己目的地之间以最短路线计算

③每个看台能容纳观众数目为一万人，且满座率为100%；

五．符号规定：

①a i

表示第i 个商区，为方便将A1-A10、B1-B6、C1-C4个商区分别表示为

a 1 a 20

②R 表示总人流量 ③W i ④P i

第i 个交通工具停靠点人流量，i=1~6，分别表示公交（南北）、

公交（东

西）、出租、私车、 地铁（东）、地铁（西）

第i 个交通工具停靠点人流量与总人流量的比率，i=1~6，分别表示公交（南北）、

公交（东西）、出租、私车、 地铁（东）、地铁（西）

第i 个就餐地点人流量，i=1~3，分别表示中餐、西餐和商场（餐饮）

⑤M i ⑥S i

第i 个就餐地点人流量与总人流量的比率，i=1~3，分别表示中餐、西餐和商场

（餐饮）

⑦C i ⑧Q i ⑨A i

建一个MS 所需的成本，i=1~2，分别表示大型MS 和小型MS

一个MS 能容纳的最大人流量，i=1~2，分别表示大型MS 和小型MS 表示对应

a i

商区的看台的人流量，表示为

A 1——A 20

⑩X i

i=1~20，表示各商区的日消费额，X 1——X 20

⑾Y 表示所有商区一天的利润 ⑿ E 表示商区每人平均的日消费金额

六．模型建立：

1. 问题一模型：

根据问卷调查数据，找出观众在出行、用餐和购物等方面所反映的规律。

处理问卷数据如下表1、表2、表3： 问卷调查总人数为10600人。

表1 各站点人数统计

公交南北 公交东西 出租 私车 地铁东 地铁西

158 196 113 217 202 20以下 288

1055 908 1184 568 1215 1220 20-30

267 453 428 196 391 404 30-50

309 202 81 183 198 50以上 164

1828 2010 958 2006 2024 总人数 1774

占百分比 16.735849057 17.245283019

18.962269.03773518.924524151 8491 8302 表2 餐饮人数统计

19.094339623

20以下 20-30 30-50 50以上 总人数 占百分比 中餐 123 992 807 460 2382 22.471698113 西餐 552 3809 894 312 5567 52.518867925 商场 499 1349 438 365 2651 25.009433962

表3 各消费档次人数统计

20以下 20-30 30-50 50以上 总人数 占百分比 0-100 408 690 367 595 2060 19.433962264 100-200 496 1061 603 469 2629 24.801886792 200-300 188 3435 999 46 4668 44.037735849

300-400 48 824 99 12 983 9.2735849057 400-500 22 80 46 9 157 1.4811320755 500以上 12 60 25 6 103 0.[1**********]

通过对收集的数据进行统计得出以下几点规律：年龄档为3和4的游客偏好中餐，而年龄档为2的旅客偏好西餐；年龄与出行关系不显著，因为选择使用何种交通工具主要取决于他们使用交通工具的方便程度；年龄对消费水平的影响比较明显，年龄档为2、3的游客中消费人数较多；男性倾向于乘坐公共交通工具，而女性则倾向于乘坐出租车、私家车；在高档消费游客中，女性明显多于男性。

图表如下

2. 问题二 人流量模型建立与求解：

对问题一中统计出来的数据进行加工、建模，以此来测算图2中a 1 a 20等20个商区的人流量分布（用百分比表示）。假定奥运会期间（指某一天）每位观众平均出行两次，一次为进出场馆，一次为餐饮，并且出行均采取最短路径。

为得到各个商圈的人流量分布数据，对所给数据进行初步分析，按照出行和餐饮将数据分成两部分，可得各自的百分比如下：

表1 各站点人数统计

公交南北 公交东西 出租 私车 地铁东 地铁西

20以下

20-30 30-50 50以上 总人数 占百分比 288 1055 267 164 1774 16.735849057 158 908 453 309 1828 17.245283019

196 113 1184 568 428 196 202 81 2010 958

18.962269.0377354151 8491

表2 餐饮人数统计

217 1215 391 183 2006 18.924528302 202 1220 404 198 2024 19.094339623

20以下 20-30 30-50 50以上 总人数 占百分比 中餐 123 992 807 460 2382 22.471698113 西餐 552 3809 894 312 5567 52.518867925 商场 499 1349 438 365 2651 25.009433962

问题假设：

假设(1)：在每个车站下车的人到达三个场馆的可能性是相等的，即可以认为每个车站去3

个场馆的人的概率相同。 假设（2）：各个车站去每个场馆的容量成正比，均为A:B:C=5:3:2。

假设（3）在每个场馆的观众在场馆中的座位安排是等可能性的，即认为无论从上下入口进出的每个观众在每个看台观看的可能性相同。

分别用A ，B ，C 指代鸟巢，国家体育馆和水立方，用 a1,a2分别指代A 的上下入口人流量；b1，b2指代B 的上下入口人流量；c1，c2指代C 的上下入口人流量，依据最短路径原则，由假设（1）、（2）图可得 对于出行方面考虑出入场时 a1’=10-5.4753=4.5247（万人）

a2’=10*(16.735%+18.924%+19.094%)=5.4753（万人）

对于餐饮方面考虑出入场时 a1’’=10*22.4717%=2.2471（万人）

a2’’=10-2.2471=7.7529（万人）

故上入口出入场总人流量 故下入口出入场总人流量

a1=a1’+a1’’=6.7718（万人） a2=a2’+a2’’=13.2282（万人）

出入场观众必然经过入口，故入口的人流量即场馆内的出入总人流量，根据上下入口的总人流量的分布，十个商圈间的地域关系以及假设(3),分别对A1~A10这十个商圈人流量进行细致分析

在运动场中，观众人流量由经商圈Ai 向与它对面的看台Ak/2+1流动，则 当i 小于k/2+1时，经A 向Ai+1流； 当i 大于k/2+1时，经Ak-1-i 向Ak-i 流

上下入口进入的人流进入10个看台的可能性是相等的，故可以以Mi （i=1，2，3，4）来表示入口进入总人流到各个看台的就座比率，由图可知Mi=0.1，0.15，0.25，0.35，0.45，1。 由以上分析加上图（1）的实际情况可计算A1~A10的人流量为：A1=a1+a2*0.1=8.0946（万人） A2=a1*0.45+a2*0.15=5.0315(万人) A3=a1*0.35+a2*0.25=5.6772（万人） A4=a1*0.25+a2*0.35=6.3228（万人） A5=a1*0.15+a2*0.45=6.9685（万人） A6=a1*0.1+a2=13.9054(万人)

A7=a1*0.15+a2*0.45=6.9685（万人） A8= a1*0.25+a2*0.35=6.3228（万人） A9= a1*0.35+a2*0.25=5.6772（万人） A10= a1*0.45+a2*0.15=5.0315(万人)

同理可计算得到B1~B4，C1~C4的人流量，列表如下

3. 问题三 MS 设计模型

用两种大小不同规模的MS 类型，给出图2中20个商区内MS 网点的设计方案（即每个商区内不同类型MS 的个数），以满足满足奥运会期间的购物需求、分布基本均衡和商业上赢利三个基本要求。基于以上要求，为设计出一个合理的MS 网点分布方案，选择消费人流量和商区日消费额这两个指标作为评判的依据，消费人流量模型上文已经建立，故下文先解决商区消费额模型，在最终建立MS 设计模型。

模型建立：

消费额模型：

各商区的日销售额的期望：

由此我们把每一消费档次的均值（期望）记作m i

，由表3知道各个消费档次的概率，将其记

作i （i=1,2,..6),则由期望的理论得每个商区的日销售额为

l

模型求解：

由表3我们可以算出E 的大小，消费档1（0-100）的期望为50，消费档2（100-200）的期望为150，消费档3（200-300）的期望为250，消费档4（300-400）的期望是350，消费档5（400-500）的期望是450，消费档6（500以上）的期望为500。 得：

E=50*19.43396%+150*24.80189%+250*44.03774%+350*9.27358%+450*1.48113%+500*0.971698%=200.9952700（元）

由问题二的模型我们可以知道各商圈人流量Ai 的数值，故，代入上式可解得，各商区的日消费额X 1——X 20，见下表7。

表7

对应商区的看台 a1 a2

对应商区的看台的人流量Ai 80946 50315

消费人流量Bi 13956.21

8675

日销售额

2805131.573 1743633.967

a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10

B1 B2 B3 B4 B5 B6 C1 C2 C3 C4

56772 63228 69685 139054 69685 63228 56772 9788.276 10901.38 12014.66 23974.83 12014.66 10901.38 9788.276

8675 7453.103

6340 9286.034

6340 7453.103 14851.9 5172.414 5321.207 5172.414 11920.17

1967397.15 2191125.678 2414888.86 4818826.944 2414888.86 2191125.678 1967397.15 1743633.967 1498038.54 1274310.012 1866449.008 1274310.012 1498038.54 2985160.957 1039630.707 1069537.417 1039630.707 2395898.273

假设对应

a 1 a 20个商区分别建设N 1——N 20个大型MS 超市和n 1——n 20个小型

MS 超市；

查找相关文献有：

大型MS 的成本为50000元（即C1=50000）， 小型MS 的成本为12500元（即C2=12500）， 大型MS 能容纳的最大人流量Q1=2000人， 小型MS 能容纳的最大人流量Q2=300人； 建立模型如下：

人流量关系及利润关系：

目标函数 Y=Xi-Ni*C1-ni*C2

约束条件 Ai ≤Ni*Q1+ni*Q2,

(i=1，2，3，……20)

由上述模型代入数据可知：

Y=

13956.21

≤N1*2000+n1*300,

2805131.573

-N1*50000-n1*12500 ·····（1）

8675

≤N2*2000+n2*300,

Y=

1743633.967

-N2*50000-n2*12500 ····*（2）

…… Y=

11920.17

≤N20*2000+n20*300,

2395898.273

-N20*50000-n20*12500 ····（20）

以方程（1）为例，用Lingo 编程语言可以得出：

model :

300*x1+2000*x2>=max =

80946

;

16269763.125

-50000*x1-12500*x2;

@gin(x1);@gin(x2); end

运行可得：

Global optimal solution found.

Objective value: 2455132. Extended solver steps: 0 Total solver iterations: 0

Variable Value Reduced Cost X1 7.000000 50000.00 X2 0.000000 12500.00

Row Slack or Surplus Dual Price 1 43.79000 0.000000 2 2455132. 1.000000

故，N1=7，n1=0 对所有数据进行处理得：

编号 1 x i 1 7

2 4 3 7

3 5 0 5

4 6 0 6

5 6 1 7

6 7 8 9 12 6 6 5 0

1 0 0

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 4 4 3 5 3 4 7 3 3 3 6 3 7

0 4

2 5

0 5

2 5

0 4

3

0 3

0 3

0 6

x i 2

总数 7 12 7 6 5 10 3

七．模型评价、运用及检验：

（1）对模型中θ1和θ2的取值的合理性讨论

对于给定了大小商场的成本，来考虑商场的容量使商场所获得的利润最大是我们在设计商场必须考虑的一个问题。对于问题三中我们假定了λ1=50000，λ2=12500。

为了考察θ1和θ2的合理取值，我们对θ1和θ2进行了多次的调整，通进比较得出θ1和θ2的最佳组合值下面就列举优化过程中其它几组数据为例：

表一：θ1=2000，θ2=300；

编号 1 x i 1 7

2 4 3 7

3 5 0 5

4 6 0 6

5 6 1 7

6 7 8 9 12 6 6 5 0

1 0 0

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 4 4 3 5 3 4 7 3 3 3 6 3 7

0 4

2 5

0 5

2 5

0 4

3

0 3

0 3

0 6

x i 2

总数 7 12 7 6 5 10 3

表二：θ1=1900 θ2=400；

编号 1 x i 1 7

2 4 3 7

3 5 1 6

4 6 0 6

5 6 2 8

6 7 12 6 3

2

8 6 0 6

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 5 4 4 3 5 4 4 8 3 3 3 6 1 3 6 7

0 4

2 5

0 5

0 4

0 4

0 8

0 3

0 3

0 3

2 8

x i 2 2

总数 9

15 8

表三：θ1=2000 θ2=400；

编号 1 x i 1 7

2 4 2 6

3 5 0 5

4 5 3 8

5 6 1 7

6 0

7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 6 5 5 4 4 3 5 3 3 7 3 3 3 6

0 4

1 4

0 5

1 4

4 7

3

0 3

0 3

0 6

x i 2

0 12 1 3 0 2 12 7 8 5 6

总数 7 10 3

我们分别对上面两个表求标准差（标准差可以衡量出数字的集中程度，标准差越小，说明集中度越高） 得：D1= 9.82598，D2= 12.1552458，D3=10.2956301，可以看出后面两种组合显然没有原方案中的组合好，D2、D3都大于D1，这相当于平均每一个商区的超市总量的误差比原方案的误差要大。按此原则我们最终选择了原方案。所以我们的先择是合理的。

（2） 模型的优点：

1、实用性高，计算量相对较小

2、通过对商区人流量和商区消费人流量的分别考虑，简化了计算过程， 并且更加贴近生活。

3、所有的计算过程都是以数据作为支撑的，因此模型相对准确

（3） 模型的缺点：

1、消费期望的求算过程中，各个消费档次人群的消费均值取为消费区间的均值，这一点有待商榷，且最后一个消费区间的人群消费均值直接取为500，因此消费期望值带有估计色彩。

2、运用最短路径原则分配人流量时，由于地图中未给出路程数据，故计算是带有个人经验成分，主观判断路径长短，可能存在稍许误差。

八．结语

奥运会MS 网点设计这个模型应用性是非常广泛的，利用这个模型可以推广到建立超市的卫星商城的分布模型，以及一个区域饭店的分布问题，这些在现实生活中都有很大的应用性，针对于这些问题，我们都可以采用以上建立的模型进行改正，以便给我们的生活带来更大的经济效益。

九．参考文献

【1】MS 网点的合理布局 作者：张仁丽，李捷飞，邱霆

【2】北京奥运会临时超市网点设计 作者：胡银玉，莫启会，唐珂