微分中值定理的推广及简单应用
微分中值定理的推广及简单应用
冯文兵
数学与信息科学学院 数学与应用数学 07130036
【摘要】 微分中值定理的应用十分广泛,本文将较系统的对Roll中值定理、Lagrange中值定理以及Cauchy中值定理各自加以推广,并对“f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导”条件弱化为“x(a,b),f,(a,b)与f,(a,b)存在”的微分中值定理进行了简单的论证。最后从微分中值定理及其推广中总结出一些解题方法。
【关键词】 微分中值定理 Roll中值定理 Lagrange中值定理 Cauchy中值定理
1 引言
Roll定理、Lagrange中值定理和Cauchy中值定理统称为微分中值定理,它们是微分学中最基本、最重要的定理,是连接函数与其导数之间的桥梁,是应用导数的局部性研究函数整体性的重要数学工具。
Roll定理:如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,在区间端点处的函数值相等,即fafb,那么在(a,b)内至少有一点,fx0 Lagrange中值定理:如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,那么在(a,b)内至少有一点,使得f'(x)
f(b)f(a)
。
ba
Cauchy中值定理:如果函数f(x)及g(x)在闭区间[a,b]上都连续,在开区间(a,b)内都可
f'()f(b)f(a)
(a,b)导,f(x)与g(x)不同时为0,g(a)g(b)则存在,使得'。
g()g(b)g(a)
'
'
2 微分中值定理推广
为加深学生对微分中值定理的理解,更好地掌握微分中值定理的应用,下面归纳介绍了微分中值定理的几种推广形式。
2.1 Roll定理的推广1 设fx在a,b内可导,且limf(x)= limf(x)A,其中
xa
xb
(a,b)A为有限,或或,则至少存在一点,使得f'()=0。
证明:(1)设A为有限值时,对函数f(x)作连续延拓:
f(x)x(a,b)
F(x)= ,易知F(x)在[a,b]上满足罗尔定理条件,故在开区
Axa,b
间(a,b)内至少存在一点,使F'(x)=f'(x)=0。
(2)设A=,由于fx在(a,b)内连续,由极限的定义,对充分大的C>0,存在x0(a,b),使得fx0C,则直线y=C与y=fx至少有两个交点
M1x1,fx1与M2x2,fx2,即f(x1)=f(x2)=C。x1,x2(a,b),不妨设x1x2,易知f(x)在[x1,x2](a,b)上满足罗尔定理的条件,故存在(x1,x2)(a,b),使f'()0。
(3)对A=,类似可证。
2.2 Roll定理的推广2设fx在[a,)上连续,在(a,)内可导,且
x
limf(x)=f(a),则至少存在一点(a,),使f'()0。
证明:令t=
t0
11
,将x[a,)变换成t(0,1],记x=+a-1=(t),则有
xa1t
(1)=a,lim(t)。设ftgt,从而gt在0,1上可导,且
t0
limg(t)limf((t))limf(x)f(a)f((1))g(1)。
t0
x
定义g(t)在[0,1]上,其中g(0)=g(1),由罗尔定理,存在(0,1)使得g'()0。
’
)=-记(),则f'()'()0。又(
1
2
0,所以f'()0,(a,)。
2.3 Roll定理的推广3 设f(x),g(x),h(x)在[a,b]上连续,在[a,b]内可导,则
f(a)
g(a)
h(a)
至少存在一点(a,b),使f(b)g(b)h(b)0。
f'()g'()h'()
f(a)g(a)h(a)
证明: 作辅助函数F(x)=f(b)
f(x)g(b)h(b),则F(x)在[a,b]上连续,在g(x)h(x)
(a,b)可导,由行列式性质知F(a)=F(b)=0,由罗尔定理可知,(a,b),使得
f(a)
F'()0,即是f(b)
g(a)g(b)
h(a)h(b)0。
‘
f‘()g’()h()
2.4 Lagrange中值定理的推广 如果函数f(x)在有限区间(a,b)内可导,
fa0及fb0存在,那么在(a,b)内至少有一点,使得
f'
fb0fa0
ba
f(x),x(a,b)
证明:令F(x)= f(a0),xa,显然F(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区
f(b0),xb
问(a,b)内可导,由Lagrange中值定理,在(a,b)内至少有一点,使
F'()
F(b)F(a)即f'()f(b0)f(a0)。
ba
ba
2.5 Cauchy中值定理的推广 如果函数,f(x)及g(x)在有限区间(a,b)内可导,
g’(x)在(a,b)内处处不为0,f(a+0),f(b-0),g(a+0)及g(b-0)都存在,那么在
f'()f(b0)f(a0)(a,b)内至少有一点,使'。
g()g(b0)g(a0)
证明:由拉格朗日中值定理的推广得,在(a,b)内至少有一点y,使
g(b-0)-g(a+0)= g’因为g’b-a≠0,所以g(b-0)-g(a+O)≠0。 (y) (b-a)。(y)≠0,
g(x)g(a0)f(b0)f(a0)令(x)f(x)f(a0),显然(x)在开区间
g(b0)g(a0)(a,b)内可导,(a0)= (b0)0,由定理4,在(a,b)内至少有一点
f'()f(b0)f(a0)
,使()0,即'。
g()g(b0)g(a0)
'
3 任意两个函数的微分中值定理推广
设f1(x),f2(x),.....,fn(x),若 (1)在闭区间[a,b]上连续, (2)在开区间(a,b)内可微, (3)fiafib,i1,2,,n,
fbfia
1fix0。 则(a,b),使得i
i,j1fjbfja
n
fi(b)fi(a)
1fj(x),在闭区间[a,b]证明:根据题设,函数H(x)=
f(b)f(a)i,j=1jj
n
上
n
连续,在开区间(a,b)
n
i
内可
i
微,
j
且
j
H(b)-H(a)=
fi(b)fi(a)
fj(b)fj(a)1=
i,j=1fj(b)fj(a)
i,j1
f(b)f(a)f(a)f(b)0,即
尔
中
值
定
理
知
:
H(b)=H(a),所
n
以由罗
fi(b)fi(a)(a,b),使得1fj(x)H()0。
f(b)f(a)i,j=1jj
注
2
fi(b)fi(a)
1fj(x)0式中的1: 当
i,j=1fj(b)fj(a)
n
n=2时,得
fi(bf2(b)f2(a)f1(b)f1(a))if(a)
1fjx()即f1()f2()0,
f(b)f(a)f(b)f(a)f(b)fa()i,j=11122jj
若f1(x)f2(x)0,则上式整理得,
f1()f2()
。
f1(b)f1(a)f2(b)f2(a
若fi(x)0(i1,2),上式可化为
f1()f1(b)f1(a)
,即为柯西中值定理,表明柯
f2()f2(b)f2(a
西中值定理是罗尔中值定理的推广形式。
fi(b)fi(a)
1fj(x)0式中的n=2且f(x)=x时可得拉格朗日注2:当
i,j=1fj(b)fj(a)
n
中值定理,这表明拉格朗日中值定理也是罗尔中值定理的推广。
4 条件弱化的中值定理推广
微分中值定理最基本的条件是函数f在区间a,b上连续,在(a,b)可导。若将函数
f
在开区间(a, b)可导的条件弱化为
x(a,b),f,(a,b)与f,(a,b)存在其结果如何? 下面用函数左导数、右导数存在
取代函数可导的条件下的微分中值定理:
定理1 如果(1)函数f在[a,b]上连续;(2)x(a,b),f,(a,b)与f,(a,b)存在
'(3)f(a)=f(b),那么,(a,b),p0,q0,p+q=1,使得pf-()qf'()0。
证明:因函数f(x)在区间[a,b]上连续,所以有最大值M和最小值m,现在分两种情况讨论:
(1)若M=m,则f(x)在区间[a,b]上必为常数,结论显然成立。
(2)若M>m,则由f(a)=f(b),使得最大值M和最小值m至少有一个在(a,b)内某点取得。不妨设f()=m。① 若f'()f'(),则由Fermat引理得,
'
f'()f'()f'()0,于是对于任意的p,q,都有pf-()qf'()0。
pf-'()qf'()0
② 若f()f(),则f()0,f()0,求方程组 , 可
pq1
'
'
'
'
f'()pf'()f'()''
p0,q0得,显然, 从而 pf()qf()0且p+q1。 '
f()q
f'()f'()
定理2 如果(1)函数f在[a,b]上连续,(2)x(a,b)f'(x)与f'(x)存在,那
(a,b),p0,q0,p+q=1,使得pf-'()qf'()么
f(b)f(a)
。
ba
证明:不妨设F(x)=f(x)-f(a)- 的所有条件,故由定理4。1可知:
f(b)f(a)
x-a),显然F(x)满足定理2.4ba
'
(a,b),p0,q0,p+q=1,使得pF-()qF'()0。由于
F'()f'()
f(b)f(a)f(b)f(a)
,F'()f'()。
baba
f(b)f(a)
因为p+q=1,所以有pf-'()qf'()。
ba
定理3 如果:(1)函数f(x)、g(x)在[a,b]上连续;
' (2)x(a,b),f'(x)、f'(x)、g(x)、g'+(x)存在;
(3) f(a) f(b);
'
(4) pf'(x)+qf'(x)与pg(x)+qg'+(x)不同时为0。
pf-'()qf'()f(b)f(a)
则。 (a,b),p0,q0,p+q=1,使得''
pg-()qg()g(b)g(a)证明:不妨设F(x)=f(x)-f(a)-
f(b)f(a)
g(x)-g(a)。易见函数F(x)
g(b)g(a)
满足定理4。1的所有条件,故由定理1可知,
'
(a,b),p0,q0,p+q=1,使得pF-()qF'()0。由于
F'()f'()
f(b)f(a)'
g(),
g(b)g(a)f(b)f(a)'
g(),
g(b)g(a)
F'()f'()
'
由条件(4)不妨设pg'()qg-()0,所以有
pf-'()qf'()f(b)f(a)
。 '
pg'()qg()g(b)g(a)-
5 微分中值定理应用归纳
5.1 讨论方程根的存在性问题
在我们要讨论的方程中,除了二次方程根的问题容易讨论之外,如果遇到复杂的方程。往往无从下手。对于存在性问题,我们一般通过分析题设条件,结合已学过的定理进行分析并解决。微分中值定理的条件很宽松,给一个定义在闭区间[a,b]上的函数,只需函数在这个区间连续,可导(并不要求区间端点可导),再加一个看似苛刻但实不苛刻的条件f(a)=f(b),用罗尔定理,就可以解决一些复杂的代数方程的判根问题,其步骤相当简单,一般是:命题条件一构造辅助函数F(x)一验证F(x)满足罗尔定理的条件一命题结论。
例1 设f(x)在[0,1]可导,且对于任何x∈(O,1),都有f’(x)≠1,且O
证:(存在性)令F(x)=f(x)-x,在[0,1]上利用零点定理易证。
(唯一性)反证法,假设有两个实根x1,x2,使得f(x1)=x1,f(x2)=x2,不妨x1
f'()
f(x2)f(x1)x2x1
1,(x1,x2)这与f'(x)≠1矛盾。故结论得证。
x2x1x2x1
5.2 证明不等式
不等式是数学中的重要内容,也是数学中的重要方法和工具。在微分学中,微分中值定理在证明不等式中起着很大的作用。我们可以根据不等式两边的代数式选取不同的F(x),应用微分中值定理得出一个等式后,对这个等式根据取值范围的不同进行讨论,得到不等式。
例2 证明不等式:
⑴ 当x0时,ln(1x)x; ⑵ 当x1且x0时,ln1(x)
x
ln1(x)x。 1x
x
,因此,当x0时,有1x
证: ⑴令f(x)x,g(x)ln(1x),则f(0)g(0)0,且
f(x)1g(x)
1
(x0),因此,有xln(1x)(x0)(见下图1)。 1xx
,g(x)ln(1x)。 在区间(1,0]上,f(0)g(0)0 且 ⑵ 令f(x)
1xx11
ln(1x)(1x0)(见下图2),因此,有。 g(x)2
1x1x(1x)
f(x)
其次,在区间[0,)上,f(0)g(0)0 且 f(x)因此,有
11
g(x),2
1x(1x)
x
ln(1x)(0x)(见图1)
1x
x
5.3 用来求极限
对于有些求极限的题,如果使用洛必达法则,则求导数的计算量很大。微
分中值定理为求这样一些较难的极限提供了一种简单而有效的方法。其方法是对极限题中的某些部分构造辅助函数,使用微分中值定理,然后求出极限。
aaaa
例3 计算极限limx. a
axxa
解 此题用洛必达法则等方法计算时,形式繁琐。可以考虑函数f(u)= au在区间[ax,xa]上,由拉格朗日中值定理,有
xa
aaaaf'()(axxa)alna(axxa)a
alnaalna。limlimlimlimxaxaxa
axaxaxxaxaxaa5.4 讨论级数的敛散性
泰勒公式事实上就是含有高阶导数的微分中值定理。它不仅在理论分析中具有很重要的作用,而且为我们提供了用多项式逼近函数的一种方法。在讨论级数的敛散性中有广泛的应用。
xa
例:设f(x)在x=0的某邻域内有二阶连续导数,且lim
n
1 证明级数f()绝对收敛
nn=1
证明:由lim
n
f(x)
0。x
f(x)
0且f(x)在x=0可导,f'(0)0,.x
1
故f(x)在x00处的一阶泰勒公式为f(x)=f(0)+f'(0)xf''()x2,
2
1''1M2
f()x2,0x。因为f''(x)M,故f''()x2x.222
11M1M11取x,有f()。.由于收敛,由比较法知(f())绝对收敛。 2
nn2n22nnn=1n=1
5.5 讨论函数的单调性,并利用函数的单调性求极值
利用拉格朗日中值定理能够很方便的判断出函数的单调性,其方法是:若函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,则有:如果在(a,b)内f'(x),则f(x)在[a,b]上单调增加;如果在(a,b)内f'(x)0,则,f(x)在[a,b]上单调减少。另外,f(x)在(a,b)内除有个别点外,仍有f'(x)0 (或f'(x)0),则f(x)在[a,b]上仍然是单调增加(或减少)的,即连续函数在个别点处无导数并不影响函数的单
调性。再利用函数的单调性及函数图像上峰值点与各值点的性质,便可以很方便地求出函数的极值。其方法为:确定函数的定义域,并求出f'(x),然后求出定义域内的所有驻点,并找出f(x)连续但f'(x)不存在的所有点,讨论所有驻点和不可导点左右两侧附近f(x)的符号变化情况,从而确定函数的极值点,并求出相应的极大值或极小值。
x2例:求证x>0时,ln(1+x)>x-2x2
证明:令f(x)ln(1x)(x-),
2
1x2
因为f(x)在[0,]上连续,在(0,+)内可导,且f(x)=1x.
1+x1x
'
x2
当x0时,f(x)0,所以当x0时,f(x)是单调增加的。
1x
2
x
故当当x0时,f(x)>f(0)=0,从而ln(1+x)>x-。
2
'
5.6 求近似值
微分中值定理为我们提供了一种计算近似值的方法,只要构造出一个适当的函数,应用微分中值定理就可以得出其近似值。
例:f(x)x0.97处的值。令x01,xx0x,即x=-0.03.5。 1(0.03)1(0.03)0.985x1
2
5.7 用来证明函数恒为常数
导数是研究函数性态的重要工具,但用导数研究函数性态的着眼点在局部范围。而在整体上或比较大的范围运用导数这一工具来研究函数性态,主要工具还是微分中值定理,它是应用导数研究整体性问题的重要工具。证明函数恒为常数这是函数的整体性质,在这个应用中微分中值定理很实用。
例:设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,而在开区间(a,b)内可微分且
f(a)0。若有正常数K,使
f(x)Kf(x)(axb)
证明:f(x)0(axb)
证 设x0(a,b],M0maxf(x)。 根据微分中值定理,
axx0
f(x)f(x)f(a)f(c)(xa)M0ma0x
KM0(x0a)(acxx0)
从而,
xfx(
x
)0KM(x此,a)当K(x因时,M00,即a)100
,
f(x)0a(
x0,x)其次,再把x0看作上面的a,当K(x1x0)1时,有
依次类推,经过有限步,就得到f(x)0(axb) f(x)0(x0xx1)(见下图);.....
【参考文献】
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[2]菲赫金哥尔茨.微积分教程(第一卷第一分册)[M]北京.人民教育出版
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[ ] x
Generalization and Applications of Mean Value Theorem of Differentials
Feng Wenbing
【Abstract】 In this paper, the generalization and applications of mean value theorems of differentials are introduced. And when the condition “f (x) is continuous in interval [a, b] and derivable in interval (a, b)” is replaced by “f'(a,b)andf'(a,b)exist for all x(a,b)”, the mean value theorems is proven. Finally, some methods of solving problems by mean value theorems and their generalization are given.
【Key words】Mean value theorems Roll’s mean value theorem Lagrange’s mean value
theorem Cauchy Mean Value theorem