平面向量解答题精选
平面向量解答题精选
1. 设x , y ∈R,i、j为直角坐标系内x、y轴正方向上的单位向量,若a=xi+(y+2)j,
b=xi+(y-2) j且a2+b2=16.
(1)求点M(x, y )的轨迹C 的方程;
(2)过定点(0,3)作直线l与曲线C交于A、B两点,设=+,是否存
在直线l使四边形OAPB为正方形?若存在,求出l的方程,若不存在说明理由. 解:(1)由a2+b2=16得x2+y2=4…………………………4分 (2)假设直线l存在,显然l的斜率存在 设A(x1,y1) B(x2, y2) 由⎨
⎧y=kx+3
-6k1+k2
22
得(1+k)x+6kx+5=0………………6分 22
⎩x+y=4
x1+x2=x1x2=
5
|OA|=|OB| 2
1+k
∴若OAPB为正方形 只有OA⊥OB|即x1x2+y1y2=0 y1y2=(kx1+3)(kx2+3)=k2x1x2+3k(x1+x2)+9……………………8分
∴
556k2
+k+3k(-)+9=01+k21+k21+k2
k=±
7……10分 =±
22
∴存在l且l的方程为y=±
x+3…………………………12分 2
2. (1)已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)²(2a+b)=61,求a与b的夹角θ; (2)设=(2,5),=(3,1),=(6,3),在上是否存在点M,使 ⊥,若存在,求出点M的坐标,若不存在,请说明理由.
解:(1)∵(2-3)²(2+)=61,∴4a-4a⋅b-3b=61.…(12分) 又|a|=4,|b|=3,∴a²b=-6.…………………………………………(4分).
2
2
θ= ∴cos
1
=-,………………………………………………(5分)
2 ∴θ=120°.………………………………………………………………(6分) (2)设存在点M,且OM=λOC=(6λ,3λ)(0
∴(2-6λ)(3-6λ)+(5-3λ)(1-3λ)=0,…………………………(8分)
111
∴45λ2-48λ+11=0,解得:λ=或λ=, (10分)
315
2211
∴OM=(2,1)或OM=(,).
55
∴存在M(2,1)或M(
3. 设a、b是两个不共线的非零向量(t∈R)
(1)记OA=a,OB=tb,OC=
2211
,)满足题意.……………………(12分) 55
1
(a+b),那么当实数t为何值时,A、B、C三点共线? 3
(2)若|a|=|b|=1且a与b夹角为120 ,那么实数x为何值时|a-xb|的值最小? 解:(1)A、B、C三点共线知存在实数λ,使OC=λOA+(1-λ)OB
即(+)=λ+(1-λ)t,…………………………………………………4分 则λ=
13
11
,实数t=………………………………………………………………6分 32
(2)a⋅b=|a|⋅|b|cos120=-
2
2
1, 2
∴|-x|2=+x2⋅-2x⋅⋅=x2+x+1,……………………………9分
当x=-时,|-x|取最小值
12…………………………………………12分 2
4. 设平面内的向量OA=(1,7), OB=(5,1), OM=(2,1),点P是直线OM上的
一个动点,求当PA⋅PB取最小值时,OP的坐标及∠APB的余弦值. 解 设=(x,y). ∵ 点P在直线OM上,
∴ OP与OM共线,而OM=(2,1),
∴ x-2y=0即x=2y,有=(2y,y). ……………… 4分 ∵ PA=OA-OP=(1-2y,7-y),PB=OB-OP=(5-2y,1-y), ∴ PA⋅PB=(1-2y)(5-2y)+(7-y)(1-y)
= 5y2-20y+12
= 5(y-2)2-8. ……………… 8分 从而,当且仅当y=2,x=4时,PA⋅PB取得最小值-8,此时=(4,2),
=(-3,5),=(1,-1).
于是||=,||=2,PA⋅PB=(-3)⨯1+5⨯(-1)=-8, ∴ cos∠APB=
=
-834⋅2
=-
4.…………… 12分 17
5. 已知向量m=(1,1),向量n与向量m夹角为 (1)求向量;
(2)若向量与向量=(1,0)的夹角为
的值.
3
π,且m⋅n=-1. 4
π
2
,向量=(2sinA,4cos2
A
),求|2+|2
解:(1)设n=(x,y),由m⋅n=-1,有x+y=-1 ① ………………2分 由与夹角为
33
π,有⋅=||⋅||⋅cosπ. 44
∴||=1,则x2+y2=1.②………………4分 由①②解得⎨
⎧x=-1,⎧x=0,
∴即|n|=(-1,0)或n=(0,-1).…………6分 或⎨
y=0.y=-1.⎩⎩
(2)由与垂直知=(0,-1).…………7分
2+=(2sinA,4cos2
∴|2n+p|=
A
-2)=(2sinA,2cosA),…………10分 2
4sin2A+4cos2A=2…………12分
6. 已知定点A(0,1)B(0,-1),C(1,0).动点P满足:⋅=k||2. (Ⅰ)求动点P的轨迹方程。
(Ⅱ)当k=0时,求|2AP+BP|的最大值和最小值. 解:(I)设动点的坐标为P(x,y),则
=(x,y-1),=(x,y+1),(x,y-1)(x,y+1)
∴⋅=k|PC|2∴(x,y-1)(x,y+1)=k[(x-1)2+y2]
(1-k)x2+(1-k)y2+2kx-k-1-=0
(3分)
若k=1,则方程为x=1,表示过点(1,0)是平行于y轴的直线.(4分)
若k≠1,则方程化为:(x+k)2+y2=(1)2,表示以(k,0)为圆心,以1为
1-k1-kk-1|1-k|半径的圆. (5分)
(II)当k=0时,方程化为x2+y2=1 .
2+=2(x,y-1)+(x,y+1)=(2x,2y-2)+(x,y+1)=(3x,3y-1)(8分)
|2+|=9x2+(3y-1)2=9-9y2-6y+1=-6y+10(10分)
由x2=1-y2≥0,∴-1≤y≤1,∴|2AP+BP|的最大值为4,最小值为2.
2+=2(x,y-1)+(x,y+1)=(3x,3y-1),∴|+|=9x2+9y2-6y+1.
又x2+y2=4x-3,∴|AP+BP|=36x-6y-26
(x-2)2+y2=1,∴令x=2+cosθ,y=sinθ.则
36x-6y-26=36cosθ-6sinθ+46
(9分)
(7分)
=637cos(θ+ϕ)+46∈[46-637,46+637]
∴|2AP+BP|的最大值为.46+6=3+,46-6=-3
(12分)
7. 在平行四边形ABCD中,A(1,1),=(6,0),点M是线段AB的中点,线段CM
与BD交于点P.
(1)若=(3,5),求点C的坐标; (2)当||=||时,求点P的轨迹.
解:(1)设点C坐标为(x0,y0)……1分
又AC=AD+AB=(3,5)+(6,0)=(9,5)……3分
即(x0-1,y0-1)=(9,5)……4分 ∴x0=10,y0=6 即点C(0,6)…5分 (2)解一:设P(x,y),则
=-=(x-1,y-1)-(6,0)=(x-7,y-1)……6分
AC=AM+MC=
111
AB+3MP=AB+3(AP-AB)222
=3AP-AB=(3(x-1),3(y-1))-(6,0)=(3x-9,3y-3)
……8分
ABCD为菱形……9分
|AB|=|AD|
∴AC⊥AD
即(x-7,y-1)⋅(3x-9,3y-3)=0.(x-7)(3x-9)+(y-1)(3y-3)=0
∴x2+y2-10x-2y+22=0(y≠1)……11分
故点P的轨迹是以(5,1)为圆心,2为半圆去掉与直线y=1的两个交点……12分 解法二: |AB|=|AD|
∴D的轨迹方程为(x-1)+(y-1)=36
2
2
(y≠1)……7分
1
M为AB中点 ∴P分BD的比为
2
设P(x,y)
B(7,1)∴D(3x-14,3y-2)……9分
∴P的轨迹方程 (3x-15)2+(3y-3)2=36
整理得(x-5)+(y-1)=4
2
2
(y≠1)……11分
故点P的轨迹是以(5,1)为圆心,2为半径的圆去掉与直线y=1的两个交点……12分
→→3π
b=-2, 8. 已知向量a=(2,2),向量b与向量a的夹角为,且a·
4
→
→
→
(1)求向量b;
(2)若t=(1,0)且b⊥t,c=(cosA,2cos
→
→
→→
2
→
C
),其中A、C是△ABC的内角,若三2
→
→
角形的三内角A、B、C依次成等差数列,试求|b+c|的取值范围. 解:(1)设=(x,y),则2x+2y=-2,且||=
⋅||cos
34
=1=x2+y2.
⎧x=-1⎧x=0∴解得⎨或⎨,b=(-1,0)或b=(0,-1)
y=0y=-1⎩⎩
(2)B=π, ⊥,且=(1,0),∴=(0,-1). ∴+=(cosA,2cos2C-1)=(cosA,cosC),
23
∴|+|=cosA+cosC=1+=1+cos(A+C)cos(A-C)=1-
2
2
2
1
(cos2A+cos2C) 2
-
2π2π
1
cos(A-C),2
∴-
125
2
2
8.(天津卷第10题)设两个向量a=(λ+2,λ-cos
α)和b= m+sinα⎪,其中
⎛
⎝
m2
⎫⎭
λ,m,α为实数.若a=2b,则
A.[-6,1]
λ
的取值范围是( ) m
C.[-1,1]
D.[-1,6]
8] B.[4,
解答: 由题意知λ+2=2m, ①
λ2-cos2α=m+2sinα, ②
由①得
λ2=2-. mm
由①②得4m2-9m=2sinα+cos2α-4=-sin2α+2sinα-3, ∴-6≤4m2-9m≤-2. ∴
1
≤m≤2. 4
∴
λ2
=2-∈[-6,1] mm
答案为A.
【说明】 两个参数的比值转化为只含一个参数,再求其范围.
9.(重庆卷第10题)如题(10)图,在四边形ABCD中,
AB+BD+DC=4,
||∙||+||∙||=4,∙=∙=0,
则(+)∙的值为( ) A.2
B.
C.4
D.A
B
题(10)图
解答: 由|BD|+(|AB|+|DC|)=4,以及|BD|⋅(|AB|+|DC|)=4, 得||=||+||=2.
(+)⋅=(+)⋅(++)
∴
=AB2+⋅+⋅+⋅+⋅+DC2=AB2+2⋅AB⋅DC+DC2=(||+||)2=22=4.
答案为C.
【说明】 向量积的简单运用.
10.(辽宁卷第3题)若向量a与b不共线,a²b≠0,且c=a- 夹角为( )
A.0 B.
⎡⎣
⎛a∙b⎫
⎪b,则向量a与c的a∙b⎝⎭
πππ
C. D.
263
解答: a∙c=a∙⎢a-
⎛a∙b⎫⎤⎛a∙a⎫
⎪b⎥=a∙a-a∙b ⎪=a∙a-a∙a=0. a∙ba∙b⎝⎭⎦⎝⎭
则a与c的夹角为
π. 2
答案为D.
12.(福建卷第4题)对于向量a,b,c和实数λ,下列命题中真命题是( ) A.若a²b=0,则a=0或b=0 B.若λa=0,则λ=0或a=0
22
C.若a=b,则a=b或a=-b
D.若a²b=a²c,则b=c
解答: 对于A,可举反例:当a⊥b时,a∙b=0, 对于C,a2=b2只能推得|a|=|b|,而不能推出a=±b. 对于D,a∙b= a∙c可以移项整理推得a⊥(b - c). 答案为B.