浅谈新课程下符号意识的含义及其培养

作者：綦春霞

数学教学研究 2012年06期

　　数学是一个符号化的世界，数学符号是数学抽象思维的产物，是数学思想交流与传播的载体.在一定意义上说，没有优越的符号，就不可能有近代和现代数学.因此，《全日制义务教育数学课程标准（修订稿）》（以下简称《标准修订稿》）中将“符号意识”作为中小学数学教学的目标之一.同时提出“建立符号意识有助于学生理解符号的使用是数学表达和进行数学思考的重要形式.”那么符号意识究竟包含哪些方面？它和具体的数学知识发生怎样的联系？教学中应如何去培养？本文就这几个方面进行探讨，以期对广大的同仁有所借鉴.

　　一、符号意识的含义

　　符号是初中课程内容中代数的主要部分，它所涉及的不仅仅是简单的符号运算，学生还需要理解符号所代表的意义、了解支配符号运算的结构和原理以及如何灵活地运用符号表达观点和洞察情境.国外学者将“符号意识”视为一项能力，并对这些能力进行具体分化.Fey认为符号意识包含这样几部分能力[1]：认识与鉴别能力，估算能力，检查、预测能力以及选择能力.

　　Abraham在Fey的研究基础上，给出了进一步的阐释.他认为符号意识主要包括以下6个成分[2]：

　　（1）符号相关性.它主要包括对符号的理解和审美能力.知道怎么样用、什么时候用符号表示隐藏的关系与证明条件等.

　　（2）在解决代数问题时，要能读懂符号表达式所蕴含的意思并能熟练地进行运算.

　　（3）要有用符号关系表达言语和图像中信息的意识和顺利地设计符号表达式的能力.

　　（4）具有选择最适当的符号表征问题的能力.

　　（5）在解决问题的某一个步骤或者检验结果时要有检查符号含义的意识，关于预期结果中符号的多种含义能依据自己的直觉做出比较.

　　（6）领会在不同情境下符号所起的不同作用，并发展对符号的直觉感.

　　《标准修订稿》将符号意识界定为“主要是指能够理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规律；知道使用符号可以进行一般性的运算和推理.”也就是说，符号可用于表示，符号间可以运算和转换.此外，《标准修订稿》还突出了符号意识建立的作用，即利用符号可以进行数学表达和数学思考.

　　由此可见，符号意识包含的对符号本身的认识，符号之间的关系的理解，符号表示所蕴含的意义，能够用符号进行运算和转换，并能用符号去解决现实问题.那么在初中阶段，符号意识与哪些数学内容存在关系呢？

　　二、与数学内容的联系

　　符号意识的养成与具体数学内容的学习紧密相连的，尤其是数与代数部分内容的学习.从数理逻辑的观点来看，数学符号可划分为8大类：对象符号，如数（有理数、无理数、实数），∞（无穷大），π（圆周率）等，用x，y，z表示未知量或变量，用字母A，B，C等表示几何中的点，用a，b，c等表示直线等；运算符号，如+，-，×，÷等；关系符号，如=，＞，＜，≠，//，⊥，≌，∽等；结合符号，它规定了算术运算进行的次序，如（），｛｝等；标点符号，如“，”（分节号）、“……”（无限小数）、“？”（未知数）等；结论符号，如公式、定律、数量关系等；性质符号，如“+”（正号），“-”（负号）等；缩略符号.

　　在初中阶段，笔者认为，符号意识与数学内容的联系主要体现在如下几个方面：

　　1.符号表示

　　对于符号表示中，既有字母表示的数，字母表示公式、运算律，字母表示现实世界和各门学科中的各种数量关系，字母还可以表示变化规律等等.这些内容与数与式、方程和不等式、函数等模型的形成有重要的联系.我们就用字母表示数来予以说明.

　　弗赖登塔尔指出：“如果字母作为一个数的不确定名词，那又为什么要用这么多a，b，c……其实，这就像我们讲到这个人和那个人一样，学生不理解a怎么能等于b？你可以告诉他a与b不一定相等，但也可能偶然相等，就像我想象中的人恰好与你想象中的人相同.最本质的一点是要使学生知道字母表示某些东西，不同的字母或表达式可表示相同的东西.”如：5=2x+1表示x所满足的一个条件，事实上，x在这里只是占据一个特殊数的位置，教师可以利用解方程引导学生找到它的值.

　　此外，字母可以表示公式，比如有乘法公式、平方差公式等.字母还能表示运算律，如a+b=b+a，a（b+c）=ab+ac等.字母也可表示数量关系和变化规律.y=5x表示变量之间的关系，x是自变量，x可以取定义域内的任何数，y是因变量，y随x的变化而变化.

　　2.对符号的解释

　　如代数式的意义，方程的意义、函数的意义等.

　　在字母表示数中，比如4p表示什么？既可以有数学的解释，即p的4倍；正方形的边长为p，则该正方形的周长为4p.也可以用生活中的实例来解释，比如苹果的价格是每千克4元，买了p千克，则总价格为4p.

　　再如PISA的一道测试题[3].一辆赛车在一个周长为3千米的封闭跑道上高速行驶.图1反映了它在整个第1圈的行驶过程中速度与行驶路程之间的关系.

　　

　　根据题中所给的图形，图2中5条曲线中哪一条最能反映赛车的运动轨迹？对于上述函数问题，学生要理解图象所表示的意义，理解行驶的路程与速度之间的变化关系，同时还要理解5条曲线的含义，才能建立起正确的联系.此外，对于已给的函数解析式、表格式，要能够理解其中所表达的含义.

　　

　　3.符号的运算及符号间的转换

　　符号的运算主要是指的式的运算，方程和不等式的求解，函数的求值等.符号间的转换，主要指会进行表示数学关系的表格法、解析式法、图像法和语言表示之间的转换.

　　用方程去刻画现实世界数量关系是由特殊到一般的过程，而求方程的解是利用等式性质和转换思想，体现的是从一般到特殊的过程，可以进一步帮助学生体会字母表示的意义.用多种形式描述和呈现数学对象是一种有效获得对概念本质的深入理解的方法.我们用方程的例子[4]来加以说明.

　　一个房间里有4条腿的椅子和3条腿的凳子共16个，如果椅子腿数和凳子腿数加起来共有60个，那么有几个椅子和几个凳子？

　　该问题主要是找出已知量和未知量的等量关系.设椅子数为a，则凳子数为16-a，可得到方程4a+3（16-a）=60，求解得到a=12.该问题也可以用二元一次方程组去解决.假设椅子数为a，凳子数为b，可以得到两个方程a+b=16和4a+3b=60，用代入法得到4a+3（16-a）=60，求解得到a=12和b=4.当然，此题也可以类比小学列表的方法，通过尝试得到问题的解决.

　　因此，进行符号间的转换、用多种方法表示不仅可以加深学生对概念的理解，而且能发展学生的符号意识和推理能力.从数学学习心理的角度看，不同的思维形式之间的转换及其表达方式是数学学习的核心，能把变量之间关系表示的一种形式转换成另一种形式，也就是能在4种表示形式之间进行转换，构成数学学习过程中的重要方面.

　　三、学生符号意识的培养

　　1.在实际的问题情境中帮助学生理解符号以及表达式、关系式的意义

　　学生在使用符号的过程中，逐渐产生了对符号的直观感觉和经验（这就是符号感）.符号意识就是在这种直观感觉和经验基础上形成的[5].因此，教学中，要借助于大量的实例，让学生去体会数学符号所代表的意义.比如在引入方程模型时，通过银行贷款、打折销售、手机话费等现实情境、让学生去体会方程的意义.同时，在解决问题的过程中，体会方程的价值，正如著名数学教育家弗赖登塔尔曾指出[6]：“学生必须有意义地使用代数语言，不仅会使用公式，还要知道为何这样用而不是那样用，否则代数将成为无意义的游戏.”

　　2.培养学生自然语言和数学语言转换的能力

　　数学符号是数学的语言，是人们用数学解决问题的工具.使学生懂得符号的意义也是学习数学的目的之一.Nurit Zehavi认为：“在问题的解决过程中符号感通常和数感、函数感、图表感等相互联系.”在数学教学中，需要加强学生用不同语言表达问题的转换能力.“转换”具有两个侧面：

　　一是将自然语言转换为数学符号语言，也就是“数学化”.笛卡尔认为，任何问题都能转化为数学问题，任何数学问题都能转化为代数问题，任何代数问题都能转化为解方程问题，通过计算化思想实现问题的解决.例如，方程是把文字表达的条件改用数学符号，这是利用数学知识来解决实际问题的必要程序.

　　二是将数学语言译为自然语言.如代数公式“”，用自然语言是“两个数差的平方等于这两个数的平方和减去这两个数的积的两倍”尽管复杂，但是却有助于学生理解公式的意义.由心理学知识可知，学生能用自然语言复述概念的定义和解释概念所揭示的本质属性，那么他们对概念的理解就深刻.“符号意识的培养应从符号表示数开始，在符号的运用中提高发展，在符号的转换中迁移升华.”[7]

　　3.教学中，要讲清符号的由来、本质和意义

　　由于数学符号的抽象性和特定的含义，教师在引入新的数学符号时：

　　首先，应注重符号来源的介绍.数学中有很多特定的数学符号，比如∑，//，上，∵，∴，≌等等，每一种数学符号不仅有特定的意义，而且也都有其来历、教师应在教学中予以介绍，这样可以消除学生对符号的陌生感，加强对符号的理解和记忆.

　　其次，教师应在课堂内外提供一些包含有较丰富数学符号的问题，同时让学生进行一些变式练习.简化“a+4a=？”很容易，但如果把算式换成了“★◆+4★◆=？”，许多学生就不能正确解决，造成这样的原因就是学生不理解★◆所代表的意义.再如a◆b=a×b+a，则3◆4=？用符号来表示运算.这样，学生就不会死记课本中的公式，而是结合具体问题加以解决.

　　最后，学生的学习是个性化的过程，《标准修订稿》中特别将“积累学生基本活动经验”作为一项重要的目标.因此，在学生学习代数这部分内容时，应充分调动学生的积极性，使他们由个性化的认识转变为一般规律性的理解.比如，我们列出方程25x+375=0，教学中可以尝试让学生使用自己喜欢的符号，那么学生会列出多样化的方程来，例如25☆+375=0，或者25♀+375=0，还可能是25◎+375=0等等.这样，一方面可以丰富学生的符号意识，另一方面通过设定的问题情境使学生明白数学符号所代表的意义.最后，让学生统一认识，未知的用x表示，这样就获得一种方程的表达形式.“张扬学生个性来体验数学符号，通过符号运用效果的比较来鉴赏数学符号”[8]，正是基于这样的一个丰富的个性化的过程，学生才能更好地理解符号公式，体验到符号的实质意义和深化对新知识的理解.

　　总之，学生符号感的发展不是一朝一夕就可以完成的.小学生可能会很轻易地做出“296-58=？”这样具体的式子，但如果变成：“58+☆=296，求☆=？”，问题就具有了挑战性，需要学生具有一定的思维策略水平，因此，教学中应通过实际背景、探索过程、几何解释多种方式.帮助学生理解符号的表示及其意义，适当地、分阶段地进行符号运算和推理，将符号意识渗透到学生数学学习的全过程中，并伴随着学生数学思维层次的提高逐步发展.

作者介绍：綦春霞，北京师范大学教育学部教授，博士生导师，主要研究方向为数学课程与教学（北京 100875）.