怎样证明两线段相等
怎样证明两线段相等
求证两线段相等是平面几何中的重要题型，其证明方法较多。为帮助初三学生掌握一些常见的证法，本文在《几何》第二、三册知识范围内，归类总结若干方法如下，供初三学生复习时参考。
证明两线段相等的常用方法和涉及的定理、性质有： 1.三角形
①两线段在同一三角形中，通常证明等角对等边；
②证明三角形全等：全等三角形的对应边相等，全等形包括平移型、旋转型、翻折型；
③等腰三角形顶角的平分线或底边上的高平分底边；
④线段中垂线性质：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等； ⑤角平分线性质：角平分线上的点到这个角两边的距离相等； ⑥过三角形一边的中点平行于另一边的直线必平分第三边； 2.证特殊四边形
①平行四边形的对边相等、对角线互相平分； ②矩形的对角线相等，菱形的四条边都相等； ③等腰梯形两腰相等，两条对角线相等； 3.圆
①同圆或等圆的半径相等；
②圆的轴对称性（垂径定理及其推论）：垂直于弦的直径平分这条弦； 平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦；
③圆的旋转不变性：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都相等； ④从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等； 4. 等量代换：若a=b，b=c，则a=c；
等式性质：若a=b，则
ab
a－c=b－c；若cc，则
a=b.
此外，也有通过计算证明两线段相等，有些条件下可以利用面积法、相似线段成比例的性质等证明线段相等。
一、利用全等三角形的对应边相等证明
例1、如图1，已知C在BD上，△ABC与△CDE都是等边三角形，BE、AD分别与AC、CE交于P、Q。 求证：CP=CQ。
证明：因为△ABC和△CDE都是等边三角形，所以在△ACD与△BCE中， AC=BC，CD=CE。 因为∠1=∠2=60°，
所以∠ACD=∠BCE=60°+∠3=120°， 所以△ACD≌△BCE（SAS）， 所以∠4=∠5。
在△ACQ与△BCP中，AC=BC，∠4=∠5，又知∠3=60°=∠1， 所以△ACQ≌△BCP（ASA），所以CP=CQ。 二、利用等腰三角形定理及逆定理证明
例2、如图2，已知：在△ABC中，AB=AC，在AB、AC上的线段AD=AE。
求证：FB=FC，FE=FD。
证明：在△ABC中，因为AB=AC，AD=AE，所以DB=EC。 在△EBC与△DCB中，因为DB=EC，BC=BC， 又∠ABC=∠ACB（等腰三角形的底角相等），
所以△EBC≌△DCB（SAS），所以BE=CD，∠EBC=∠DCB， 所以△FBC是等腰三角形，所以FB=FC， 故
，即FE=FD。
证法2：也可以△ACD≌△ABE（SAS），从而得到∠ABE=∠ACD，证得△FBC为等腰三角形，再通过平行线内错角相等证明△FDE为等腰三角形。 三、利用等腰三角形“三线合一”定理证明
例3、如图3，已知△ABC为Rt△，D为斜边AB的中点，DE⊥AC于E，DF⊥BC于F。
求证：AE=CE，BF=CF。
证明：因为D是Rt△ABC的斜边AB的中点， 所以连CD后，则AD=CD=BD。 所以△CDA与△CDB均为等腰三角形， 另外DE⊥AC，DF⊥BC， 所以AE=CE，BF=CF。
（等腰三角形底边上的高平分底边）。
证法2：可直接用三角形中位线定理或平行线截取线段成比例证明。 四、利用角平分线上的点到这个角两边等距离证明
例4、如图4，已知：△ABC中，AB=AC，AD是底边BC上的中线，∠B、∠C的平分线交于I，
求证：I到AB、BC、CA的距离相等。
证明：因为AB=AC，AD是BC边的中线，所以AD平分∠BAC且AD⊥BC，而∠B、∠C的平分线交于I，
所以AD过I点，即I是△ABC的内心，作IE⊥AC于E，IF⊥AB于F，故ID=IE=IF。所以I到AB、BC、CA的距离相等。 五、利用垂直平分线上的点到该线段两端等距离证明 例5、如图5，已知：△ABC中，∠A=90°，D为△ABC内一
点，且AB=AC=BD，∠ABD=30° 求证：AD=DC
证明：作AG⊥BD于G，作DH⊥AC于H，
因为∠ABD=30°，所以在Rt△AGB中，。
又∠DAG=∠DAB－∠GAB=75°－60°=15°，且∠DAC=90°－75°=15°，
而AD=AD，所以Rt△AGD≌Rt△AHD（AAS），所以因为DH为AC的垂直平分线，所以AD=DC。
六、利用两三角形面积相等，等底必等高，等高必等底证明 例6、求证：等腰三角形两腰上的高相等。
证明：如图6，在等腰△ABC中，作BD⊥AC于D，CE⊥AB于E， 因为S△ABC=BD·AC/2=CE·AB/2 而AB=AC，所以BD=CE，命题得证。 证明2：也可以用全等三角形证明。
，
七、利用等量公理：证明它们等于同一线段或分别等于两条相等线段 例7、如图7，锐角△ABC中，∠B=2∠C，AD⊥BC于D，延长AB到E，BE=BD，连结ED并延长交AC于F。
求证：AF=FC。
证明：因为BE=BD，所以∠E=∠1，
而∠ABC=∠E+∠1=2∠E，又∠ABC=2∠C，所以∠C=∠E。 因为∠1=∠2，所以∠2=∠C，所以FC=FD。
另外，∠2+∠3=∠C+∠4=90°，所以∠3=∠4，所以FD=AF，故AF=FC。 八、利用中心对称证明
例8、如图8，已知AT为△ABC的内角平分线，M为BC中点， ME∥AT，交AB、AC或其延长线于D、E， 求证：BD=CE。
思路：设法把已知量待求量转化到一个完形中（这里：同一个三
角形，转化为等腰△问题）。
证明：以M为对称中心，则B、C互为对称点，取D关于M的对称点R，连CR， 则CR∥BD，且相等，所以∠R=∠3=∠2=∠1=∠E，所以CE=CR=BD。 九、利用勾股定理证明
例9、如图9，已知：M为△ABC内一点，MD、ME、MF分别和BC、CA、AB垂直，BF=BD，CD=CE。
求证：AE=AF。
证明：根据勾股定理及题设可知：
AF2=FG2+AM2-GM2=AM2+ FG2-（BM2-BG2）=AM2-BM2+（FG2+BG2）=AM2-BM2+BF2
=AM2-BM2+BD2=AM2-（BH2+MH2）+（BH2+DH2）=AM2+DH2-MH2=AM2+CD2-CH2-（CM2-CH2） =AM2+CD2-CM2
同理，可得AE2= AM2+CD2-CM2 所以AF2= AE2，所以AF=AE
十、利用比例证明
例10、如图10，已知△ABC中，中线BE与角平分线AD交于点K，BL∥KC，交AC的延长线于点L，求证：LC=AB。
证明：因为BL∥KC，所以
， ①
因为AD平分∠BAC，所以
， ②
所以由①、②得
。又因为CE=AE，所以LC=AB。
十一、利用圆幂定理证明
例11、如图11，已知：PA是圆O的切线，A为切点，PBD是圆O的割线，弦DE
∥AP，PE的延长线交圆O于C，CB的延长线交PA于F。 求证：PF=FA。 证明：因为DE∥AP， 所以∠APD=∠D=∠C，
所以FP是圆PBC的切线（弦切角定理的逆定理）， 所以FP2=FB·FC（切割线定理）。 又FA2=FB·FC（切割线定理）， 所以FP2=FA2，所以PF=FA。 十二、利用平行四边形性质证明
例12、如图12，已知Rt△ABC锐角C的平分线交AB于E，交高线AD于O，过O引BC的平行线交AB于F，求证：AE=BF。 证明：因为CE平分∠C，
所以∠2=90°
∠C，
∠3=90°∠C，
所以∠3=∠2=∠1，
从而AE=AO，作EK⊥BC，连OK， 则EK=AE=AO，
又AO∥EK，故AOKE是平行四边形，
AE∥OK，且AE=OK， 而OKBF也是平行四边形， 所以BF=KO=AE。 十三、利用三角知识证明
例13、如图13，已知四边形ABCD内接于⊙O，且AC、BD垂直相交于G，又E、F分别是AB、CD的中点。 求证：OF=GE。
证明：设⊙O的半径为R，因为F是弦CD的中点，所以OF⊥CD。 所以在Rt△OFD中， OF=ODsin∠1=Rsin∠1。 ①
又GE=AB（因为E是Rt△AGB的斜边AB的中点），而由正弦定理知 AB=2Rsin∠2，所以GE=Rsin∠2。 ②
因为OF⊥CD，所以∠DOF=
=∠DAC，
于是∠1=90°－∠DOF=90°－∠DAC=∠2，③ 由①、②、③知：OF=GE。
练习题：
1、在Rt△ABC中，∠A=90°，∠B的平分线和AC交于D，BC边上的高AF和BD交于E。求证：AD=AE。
（提示：应用两角互余及三角形外角定理证∠ADB=∠AED）
2、在△ABC中，AB=AC，在底边BC两端分别向腰和腰的延长线上截取BE=CD，连结D、E交BC于G，求证：EG=DG。
（提示：过E作EF∥AD交BC于F，证△EFG≌△DCG，或在△DGC和△BEG中用正弦定理证）
3、△ABC中，D、E为BC上的任意两点，DD1⊥AB，DD2⊥AC，EE1⊥AB，EE2⊥AC，且DD1+DD2=EE1+EE2，求证：AB=AC。
（提示：S△ABD+S△ADC=S△ABE+S△AEC）
4、已知AD是△ABC的∠BAC的平分线，E是DC上的一点，DE=BD，EF∥CA，和AD交于F。求证：EF=AB。
（提示：）
5、如图，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上的一点，且BE=AC，延长BE交AC于F。 求证：AF=EF。
6、如图，△ABC中，∠C为直角，∠A=30°，分别以AB、AC为边在△ABC的外侧作正△ABE与正△ACD，DE与AB交于F。 求证：EF=FD。
7、如图，正方形ABCD中，E、F分别为AB、BC的中点，EC和DF相交于G，连接AG，求证：AG=AD。