平面向量知识点归纳与练习(内含答案)(2)
平面向量
一:知识框架图; 详细知识要点讲解;
重点知识回顾
1.向量的概念:既有大小又有方向的量叫向量,有二个要素:大小、方向.
2.向量的表示方法:①用有向线段表示;②用字母a、b等表示;③平面向量的坐标表
示:分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底。任作一个向量a,由平
面向量基本定理知,有且只有一对实数x、y,使得axiyj,(x,y)叫做向量a的(直角)坐标,记作a(x,y),其中x叫做a在x轴上的坐标,y叫做a在y轴上的坐标, 特
别地,i(1,0),j(0,1),0(0,0)。aA(x1,y1),B(x2,y2),则
x2x1,y2y1,
AB
3.零向量、单位向量:①长度为0的向量叫零向量,记为; ②长度为1个单位长度的向量,叫单位向量.
4.平行向量:①方向相同或相反的非零向量叫平行向量;②我们规定0与任一向量平行.
aca向量、b、平行,记作∥b∥c.共线向量与平行向量关系:平行向量就是共线向量.
5.相等向量:长度相等且方向相同的向量叫相等向量.
6.向量的基本运算
(1) 向量的加减运算
几何运算:向量的加减法按平行四边行法则或三角形法则进行。
坐标运算:设a =(x1,y1), b =(x2,y2)则a+b=(x1+x2,y1+y2 ) a-b=(x1-x2,y1-y2) (2) 平面向量的数量积 : ab=a
bcos
设a =(x1,y1), b =(x2,y2)则ab=x1x2+y1y2
(3)两个向量平行的充要条件
∥ 若
=(x1,y1), =(x2,y2),则
∥
=λ
x1y2-x2y1=0
² =0
(4).两个非零向量垂直的充要条件是
⊥ 设
=(x1,y1),
=(x2,y2),则
⊥
.向量的加法、减法:
x1x2+y1y2=0
①求两个向量和的运算,叫做向量的加法。向量加法的三角形法则和平行四边形法则。②向
量的减法向量a加上的b相反向量,叫做a与b的差。即:a b= a+ (b);
差向量的意义: = a, =b, 则=a b
③平面向量的坐标运算:若a(x1,y1),b(x2,y2),则ab(x1x2,y1y2),
ab(x1x2,y1y2),a(x,y)。
④向量加法的交换律:a+b=b+a;向量加法的结合律:(a+b) +c=a+ (b+c)
7.实数与向量的积:实数λ与向量a的积是一个向量,记作:λa
(1)|λa|=|λ||a|;(2)λ>0时λa与a方向相同;λ
a=;(3)运算定律 λ(μa)=(λμ)a,(λ+μ)a=λa+μa,λ(a+b)=λa+λb
8. 向量共线定理 向量b与非零向量a共线(也是平行)的充要条件是:有且只有一
个非零实数λ,使b=λa。
9.平面向量基本定理:如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平
aa面内的任一向量,有且只有一对实数λ1,λ2使=λ1e1+λ2e2。(1)不共线向量e1、e2
叫做表示这一平面内所有向量的一组基底;(2)基底不惟一,关键是不共线;(3)由定理可将任一向量a在给出基底e1、e2的条件下进行分解;(4)基底给定时,分解形式惟一. λ1,λ
2是被a,e1,e2唯一确定的数量。
10. 向量和的数量积:①²=| |²||cos,其中∈[0,π]为和的夹角。②||cos称为在的方向上的投影。③²的几何意义是:的长度||在的方向上的投影的乘积,是一个实数(可正、可负、也可是零),而不是向量。
④若a =(x1,y1), b=(x2,y2), 则abx1x2y1y2
⑤运算律:a² b=b²a, (λa)² b=a²(λb)=λ(a²b), (a+b)²c=a²c+b²c。
ab
⑥和的夹角公式:cos==
ab
222
⑦aaa2|a|=x+y,或|a
|=
x1x2y1y2x1y
2
2
2
21
22
xy
22
xy⑧| a²b |≤| a |²| b |。
11.两向量平行、垂直的充要条件 设 =(x1,y1), =(x2,y2) ①a⊥ba²b=0 ,abab=x1x2+y1y2=0;
②//(a≠)充要条件是:有且只有一个非零实数λ,使b=λa。
//x1y2x2y10
向量的平行与垂直的坐标运算注意区别,在解题时容易混淆。
12.点P分有向线段P所成的比的: P,P内分线段P时, 0; 1P21P21PP2P外分线段P时, 0. 定比分点坐标公式、中点坐标公式、三角形重心公式: 1P2
xy
x1x2x1x2
xxx2x3y1y2y312,) 1 、、 (1
y1y233yy1y2
12
三:难点、易错点;
1、理解向量的概念,掌握向量的几何表示,了解共线向量的概念。 2、掌握向量的加法和减法。
3、掌握实数与向量的积,理解两个向量共线的充要条件。
4、了解平面向量的基本定理,理解平面向量的坐标的概念,掌握平面向量的坐标运算。 5、掌握平面向量的数量积及其几何意义。了解用平面向量的数量积可以处理有关长度,角度和垂直的问题,掌握向量垂直的条件。 四:考点举例及配套课堂练习(例题讲解) (一)基础知识训练
1.下列命题正确的是 ( )
(A)单位向量都相等 (B)任一向量与它的相反向量不相等 (C)平行向量不一定是共线向量 (D)模为0的向量与任意向量共线
2. 已知正六边形ABCDEF中,若a, b,则( )
(A)
111
(ab) (B)(ab) (C) ab (D)ab 222
3. 已知向量e10,R,ae1e2,b=2e1若向量a与b共线,则下列关系一定成立是 ( )
(A)0 (B) e20 (C)e1∥e2 (D)e1∥e2或0
4. 若向量(1,x),(x,2)共线且方向相同,x=__________。 (二).典例分析
例1:(1)设a与b为非零向量,下列命题:
①若a与b平行,则a与b向量的方向相同或相反;
②若ABa,CDb, a与b共线,则A、B、C、D四点必在一条直线上;
a
③若a与b共线,则abab;④若a与b反向,则ab
b
其中正确命题的个数有 (A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个
(2)下列结论正确的是 ( )
bab (B)abab (C)若(a(A)ab)c(ca)b0
(D)若a与b都是非零向量,则ab的充要条件为abab
错解:(1)有学生认为①②③④全正确,答案为4;也有学生认为①或④是错的,答案为2或3;(2)A或B或C。
分析:学生对向量基础知识理解不正确、与实数有关性质运算相混淆,致使选择错误。
第(1)小题中,正确的应该是①④,答案为2。共线向量(a与b共线)的充要条件
中所存在的常数可看作为向量b作伸缩变换成为另一个向量a所作的伸缩量;若a,b为
bb
非零向量,则共线的a与b满足a与b同向时aa,a与b反向时aa。
bb
第(2)小题中,正确答案为(D)。学生的错误多为与实数运算相混淆所致。选择支D同时要求学生明确向量垂直、两个向量的数量积、向量的模之间互化方法,并进行正确互化。
例2 设a、b是两个不共线向量。AB=2a+kb BC=a+b CD=a-2b A、B、D共线则k=_____(k∈R) 解:BD=BC+CD=a+b+a-2b=2a-b 2a+kb=λ(2a-b)=2λa-λb ∴ 2=2λ且 k=-λ ∴ k=-1
例3 梯形ABCD,且|AB|=2|DC|,M、N分别为DC、AB中点。 AB=a AD=b 用a,b来标DC、BC、MN。 解:DC=
11AB=a 22
11
a=b- a 22
BC=BD+DC=(AD-AB)+DC =b-a+
MN=DN-DM=
111
a-b-a= a-b 244
例4 |a|=10 b=(3,-4)且a∥b求a 解:设a=(x,y)则 x2+y2=100 (1) 由a∥b得 -4x-3y=0 (2)
解(1)(2)得 x=6 y=-8 。或 x=-6 y=8
∴ a=(6,-8)或(-6,8)
五. 归纳小结
1. 向量有代数与几何两种形式,要理解两者的内在联系,善于从图形中发现向量间2.
的关系。
对于相等向量,平行向量,共线向量等概念要区分清楚,特别注意零向量与任何向量共线这一情况。要善于运用待定系数法。
课堂练习
1、下列命题正确的是( )
A.若|a|0,则a0 B.若|a||b|,则ab或ab C.若||,则|||| D.若a0,则a0
2、已知平行四边形ABCD的三个顶点A(2,1)、B(1,3)、C(3,4),则顶点D的坐标为( ) A.(1,2) B.(2,2) C.(2,1) D.(2,2) 3、设|a|m(m0),与反向的单位向量是b0,则用b0表示为
A.amb0 B.amb0 C.
11
b0 D.b0 mm
4、D、E、F分别为ABC的边BC、CA、AB上的中点,且,,下列命题中正确命题的个数是( ) ①
1111
;②;③; 2222
④。
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 5、化简:=__________。
6、已知向量a3,b(1,2),且ab,则a的坐标_____________。
22
7、若a1,b2,aba0,则a与b的夹角为______________。
8、已知向量a3e122,b4e1e2,其中e1(1,0),e2(0,1)
求 (1)ab;ab的值; (2)a与b的夹角。
9、如果向量a与b,而bc,且|a||b||c|1,求(a2c)(bc)c的夹角都是60,的值。
10、如图,设O为ABC内一点,PQ∥BC,且
PQ
t,a ,b,c,BC
试用a,b,c表示OP,OQ.
课堂练习答案 基础知识训练:
D,B,B,D, 5,0; 6,(
63635
,—),(—,) 5555
7,450, 8,(1)ab=10, ab=52 (2) =arccos
10221
9,-1 10,OP=(1-t)a+tb, =(1-t)a+tc
《平面向量》测试题
一、单项选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
1. 已知e1、e2是两个单位向量,下列命题中正确的是
D. e1//e2
2.下列命题中:①若a与b互为负向量,则a+b=0;②若k为实数,且k·a=0,则a=0
A. e1e21 B. e1e2
2
C. e1e22
或k=0;③若a·b=0,则a=0或b=0;④若a与b为平行的向量,则a·b=|a||b|;⑤若|a|=1,则a=±1.其中假命题的个数为()
A.5个
B.4个
C.3个
D.2个
3. 在ΔABC中,a5,b8,C60,则BCCA的值等于
A. 20
B. 20
C. 20 D. 203
4.设|a|=1,|b|=2,且a、b夹角120°,则|2a+b|等于 ( )
A. 2 B. 4 C. 12
D. 23
5.已知△ABC的顶点坐标为A(3,4),B(-2,-1),C(4,5),D在BC上,且SABC3SABD,则AD的长为 ( )
A.2
A.3
B. 22
B.-1
C. 32
C.-1或3
7
D.22
D.-3或1 D.(8,4)
6.已知a=(2,1),b=(3,λ),若(2a-b)⊥b,则λ的值为 ( ) 7.向量a=(1,-2),|b|=4|a|,且a、b共线,则b可能是 ( )
A.(4,8)
B.(-4,8)
C.(-4,-8)
8.已知△ABC中,( )
A.30°
ABa,ACb,ab0,SABC
15
a3,b54,则a与b的夹角为
D.30°或150°
B.-150° C.150°
9. 若ab41203ab5,则ab
D. 10 C. 102
10.将函数y=f(x)的图象先向右平移a个单位,然后向下平移b个单位(a>0,b>0).设
A. 10 B. 103
点P(a,b)在y=f(x)的图象上,那么P点移动到点 ( )
A.(2a,0)
B.(2a,2b) C.(0,2b)
D.(0,0)
3
11. 若点P分AB,则A分BP所得的比是
4
3
A.7 7B.3
abab
2
2
C.
73
D.
37
12. 已知ax,1,b2,3x,那么的取值范围是
2
B. 0,
4
A. ,22
22
C. ,
44D. 22,
二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分)
13.向量a=(2k+3,3k+2)与b=(3,k)共线,则k=___________.
9
14. 已知a,k,bk,8,且a与b为互相平行的向量,则k的值为_____________.
2
15.向量a=(1,1),且a与(a+2b)的方向相同,则a·b的取值范围是________.
16.AB8,AC12,则BC取值范围用区间表示为___________.
三、解答题(本大题共6小题,共74分) 17.(本小题满分12分)
OA3,1,OB1,2,OCOB,BC//OA,设O为原点,试求满足ODOAOC的OD的坐标.
18.(本小题满分12分)
设e1和e2是两个单位向量,夹角是60°,试求向量a2e1e2和b3e12e2的夹角.
19.(本小题满分12分)
已知AC5.6,BC4.2,AC与AB的夹角为40°,求ACBC与CB的夹角
|BCAC
|(长度保留四位有效数字,角度精确到′).
参考答案
一、1.C 2.C 3.B 4.A 5.C 6.C 7.B 8.C 9.A 10.A 11.C 二、13.321
2 14. 6 15. 1, 16. 4,20
三、17. 解:设OD
x,y,则OC
OD
OA
x3,y1
BC
OC
OB
x4,y1由OC
OB
得: x32y10,即x2y10①
由BC//OA
,得3y1x40,即x3y70② 由①,②联立,解得x11,y6,即OD
坐标为11,6.
18. 解:a2e1e2,b3e12e2
a2
4e2
1
e2
2
4e1e2
414111
27,
b2
9e2
1
4e2
2
12e1e2
941211
127.
.C
12
ab2e1e23e12e26e1 6
17
2,22
2
e1e22e2
2
7ab1. cosab2故θ=120°. 77
解由正弦定理
ACBC得
5.64.25.6sin40
19. :sinB
sinA
,sinBsin40,sinB B59,因为AC
BC与CB
夹角,为B角之补角,即121.
C180405981,
ABAC2BC22ACBCcosC 5.624.2225.64.2cos81
6.453.
4.20.875.