等差数列典型例题
历届高考中的“等差数列”试题精选讲义 第五次
1. (安徽文) 等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 2=1, a 3=3, 则S 4=_________ 2.(重庆文) 已知{a n }为等差数列,a 2+a8=12,则a 5等于__________
3. (全国Ⅰ卷文)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和,若S 7=35,则a 4=_______ 4.(广东文) 记等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 2=4,S 4=20,则该数列的公差d=__________
5.(全国、天津文,辽宁、广东)等差数列{a n }中,已知a 1=
13
,a 2+a 5=4,a n =33,
则n 为_________
6. (2007四川文)等差数列{a n }中,a 1=1,a 3+a 5=14,其前n 项和S n =100,则n =__________
a S 5
7.(2004福建文)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和,若5=, 则9=__________
a 39S 58. (2011北京文、理)若一个等差数列前3项的和为34,最后3项的和为146,且所有项的
和为390,则这个数列有_________项
9(2001上海文)设数列{a n }的首项a 1=-7, 且满足a n +1=a n +2 (n ∈N ) ,则
a 1+a 2+ +a 17=_____________.
10.(2008海南、宁夏文) 已知{an }为等差数列,a 3 + a8 = 22,a 6 = 7,则a 5 = __________
11. (2007全国Ⅱ文)已知数列的通项a n = -5n +2,则其前n 项和为S n
12. (2006山东文)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和,S 4=14,S 10-S 7=30,则S 9= . 13.(2004全国Ⅰ卷文)等差数列{a n }的前n 项和记为S n . 已知a 10=30, a 20=50. (Ⅰ)求通项a n ; (Ⅱ)若S n =242,求n.
14. (2008海南、宁夏理) 已知数列{a n }是一个等差数列,且a 2=1,a 5=-5。
(1)求{a n }的通项a n ;(2)求{a n }前n 项和S n 的最大值。
15. (2000全国、江西、天津文)设{a n }为等差数列,S n 为数列{a n }的前n 项和,已知S 7=7,
⎧S n ⎫
S 15=75,T n 为数列⎨⎬的前n 项和,求T n 。
⎩n ⎭
历届高考中的“等差数列”试题精选(自我测试)
参考答案
二、填空题:(每小题5分,计20分) 11. 153 12. __15__ 13.
-5n
2
-n
2
14. 54
三、解答题:(15、16题各12分,其余题目各14分) 15. 解:(Ⅰ)由a n =a 1+(n -1) d , a 10=30, a 20=50, 得方程组
⎧a 1+9d =30,
⎨ „„4分 解得a 1=12, d =2. 所以 a n =2n +10.
⎩a 1+19d =50.
(Ⅱ)由S n =na 1+ 12n +
n (n -1)
2
d , S n =242得方程
n (n -1)
2
⨯2=242. „„10分 解得n =11或n =-22(舍去).
⎧a 1+d =1
16.解:(Ⅰ)设{a n }的公差为d ,由已知条件,得⎨,
⎩a 1+4d =-5
解出a 1=3,d =-2.
所以a n =a 1+(n -1) d =-2n +5.
(Ⅱ)S n =na 1+
n (n -1) 2
d =-n +4n =4-(n -2) .
2
2
所以n =2时,S n 取到最大值4.
17.解:设等差数列{a n }的公差为d ,则 S n =na 1+
12
n (n -1)d
∵ ∴
S 7=7
,S 15
=75
,
⎧a 1+3d =1 ,
⎨
a +7d =5 , ⎩1
⎧7a 1+21d =7 ,
⎨
15a +105d =75 , 1⎩
即
解得 ∴ ∵
S n n
S n +1
a 1=-2,d =1。
12
=a 1+-S n n
12=
(n -1)d
12
=-2+
(n -1),
n +1
,
,
∴ 数列⎨ ∴ T n
=14
⎧S n ⎫1
⎬是等差数列,其首项为-2,公差为
2⎩n ⎭
n -
2
94
n
。
18. 解:(1)设{a n }的公差为d 1,{b n }的公差为d 2 由a 3=a 1+2d1得 d 1=
所以a n =2+8(n -1) =8n -6,
所以a 2=10, a 1+a2+a3=30
⎧b 1+d 2=6
⎧b 1=3⎪
依题意,得⎨解得⎨, 4⨯3
d =34b +d =30⎩22⎪1
2⎩
a 3-a 1
2
=8
所以b n =3+3(n-1)=3n
n (b +b ) 3231n
S ==n +n . n
222
(2)设a n =bm , 则8n-6=3m, 既n =
3(m +2)
8
①,要是①式对非零自然数m 、n 成立,只需
m+2=8k,k ∈N +, 所以m=8k-2 ,k ∈N +②
②代入①得,n=3k, k ∈N +, 所以a 3k =b8k-2=24k-6,对一切k ∈N +都成立。
所以,数列{a n }与{b n }有无数个相同的项。 令24k-6
5312
, 又k ∈N +,所以k=1,2,3,4.即100以内有4个相同项。
19. 解:(Ⅰ)由S 14=98得2a 1+13d =14, 又a 11=a 1+10d =0,
故解得d =-2, a 1=20.
因此,{a n }的通项公式是a n =22-2n , n =1,2,3„
⎧S 14≤77, ⎧2a 1+13d ≤11, ⎧2a 1+13d ≤11, ⎪⎪⎪
(Ⅱ)由⎨a 11〉0, 得⎨a 1+10d 〉0, 即⎨-2a 1-20d 〈0,
⎪a ≥6⎪a ≥6⎪-2a ≤-12
1⎩1⎩1⎩
11
由①+②得-7d <11。即d >-。
71
由①+③得13d ≤-1 即d ≤-
13
111
于是-<d ≤-
713
又d ∈Z , 故d =-1
将④代入①②得10<a 1≤12. 又a 1∈Z , 故a 1=11或a 1=12.
所以,所有可能的数列{a n }的通项公式是 a n =12-n 和a n =13-n , n =1,2,3,„
20.解:(Ⅰ)设这二次函数f(x)=ax 2+bx (a≠0) ,则 f`(x)=2ax+b,由于f`(x)=6x-2, 得 a=3 , b=-2, 所以 f(x)=3x 2-2x.
*2
又因为点(n , S n )(n ∈N ) 均在函数y =f (x ) 的图像上,所以S n =3n -2n.
3n -1) -2(n -1) ]=6n -5. 当n ≥2时,a n =S n -S n -1=(3n 2-2n )-[(
2
当n =1时,a 1=S 1=3×1-2=6×1-5,所以,a n =6n -5 (n ∈N )
11133
-) , (Ⅱ)由(Ⅰ)得知b n ===(
26n -56n +1a n a n +1(6n -5) [6(n -1) -5]
n
2*
故T n =∑b i =
i =1
1⎡1111111⎤=(1-). (1-) +(-) +... +(-) ⎥2⎢26n +177136n -56n +1⎦⎣
因此,要使
12
(1-
16n +1
)
m 20
(n ∈N *)成立的m, 必须且仅须满足
12
≤
m 20
,即
m ≥10,
所以满足要求的最小正整数m 为10