平移旋转对称
平移旋转与对称
一、选择题
1. (2014•海南, 第8题3分)如图,△ABC 与△DEF 关于y 轴对称,已知A (﹣4,6),B (﹣6,2),E (2,1),则点D 的坐标为( )
A . B . C . D .
考点: 轴对称图形.
分析: 根据轴对称的定义结合选项所给的特点即可得出答案. 解答:
解:A 、不是轴对称图形,故本选项错误; B 、是轴对称图形,故本选项正确; C 、不是轴对称图形,故本选项错误; D 、不是轴对称图形,故本选项错误; 故选B .
点评: 本题考查了轴对称图形,掌握中心对称图形与轴对称图形的概念:轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分沿对称轴折叠后可重合.
3. (2014•黑龙江绥化, 第13题3分)下列图形中,既是中心对称图形又是轴对称图形的是
A . B . C . D .
考点: 轴对称图形. 分析: 根据轴对称图形的概念对各选项分析判断利用排除法求解. 解答: 解:A 、不是轴对称图形,故本选项正确; B 、是轴对称图形,故本选项错误; C 、是轴对称图形,故本选项错误; D 、是轴对称图形,故本选项错误. 故选A . 点评: 本题考查了轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分折叠后可重合.
5. (2014•湖南永州, 第2题3分)永州的文化底蕴深厚,永州人民的生活健康向上,如瑶族长鼓舞,东安武术,宁远举重等,下面的四幅简笔画是从永州的文化活动中抽象出来的,
6. (2014•广西来宾,第1题3分)在下列平面图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
考点: 中心对称图形;轴对称图形.
分析: 根据轴对称图形的概念与中心对称图形的概念对各选项分析判断利用排除法求解. 解答: 解:A 、既是轴对称图形又是中心对称图形,故本选项正确; B 、是轴对称图形,但不是中心对称图形,故本选项错误; C 、不是轴对称图形,是中心对称图形,故本选项错误; D 、是轴对称图形,但不是中心对称图形,故本选项错误. 故选A .
点评: 本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分折叠后可重合,中心对称图形是要寻找对称中心,旋转180度后两部分重合.
7.(2014•广西来宾,第12题3分)将点P (﹣2,3)向右平移3个单位得到点P 1,点P 2
8.((2014年广西南宁,第2题3分)下列图形中,是轴对称图形的是( )
A . B . C . D .
考点: 轴对称图形.
分析: 根据轴对称图形的定义:如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴,这时,我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴)对称,进而得出答案.
解答: 解:A 、不是轴对称图形,故本选项错误;
B 、不是轴对称图形,故本选项错误; C 、不是轴对称图形,故本选项错误; D 、是轴对称图形,故本选项正确. 故选:D .
点评: 本题考查了轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分折叠后可重合. 9.(2014年广西钦州,第6题3分) 下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A .
B . C .
D .
考点: 中心对称图形;轴对称图形.
分析: 根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形,以及轴对称图形的定义即可判断出. 解答: 解:A 、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合,∴此图形不是中心对称图形,是轴对称图形,故此选项错误; B 、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合,∴此图形不是中心对称图形,是轴对称图形,故此选项错误;
C 、此图形旋转180°后不能与原图形重合,此图形不是中心对称图形,是轴对称图形,故此选项错误; D 、∵此图形旋转180°后能与原图形重合,∴此图形是中心对称图形,也是轴对称图形,故此选项正确. 故选:D .
点评: 此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义,根据定义得出图形形状是解决问题的关键.
10.(2014年贵州安顺,第3题3分) 下列四个图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个
考点: 中心对称图形;轴对称图形. 分析: 轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分折叠后可重合,中心对称图形是要寻找对称中心,旋转180度后两部分重合,结合选项所给的图形即可得出答案. 解答: 解:①既是轴对称图形,也是中心对称图形,故正确;
②是轴对称图形,不是中心对称图形,故错误; ③既是轴对称图形,也是中心对称图形,故正确; ④既不是轴对称图形,也不是中心对称图形,故错误. 综上可得共有两个符合题意. 故选B .
点评: 本题考查轴对称及中心对称的定义,属于基础题,掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念是关键. 11.(2014•莱芜,第8题3分)如图,AB 为半圆的直径,且AB=4,半圆绕点B 顺时针旋转45°,点A 旋转到A ′的位置,则图中阴影部分的面积为( )
13. (2014•丽水,第8题3分)在同一平面直角坐标系内,将函数y=2x+4x﹣3的图象向
14.(2014•贵州黔西南州, 第8题4分)下列图形中,既是中心对称,又是轴对称图形的是( ) A .
B .
C .
D .
考点: 中心对称图形;轴对称图形.
分析: 根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形,以及
轴对称图形的定义即可判断出.
解答: 解:A 、∵此图形旋转180°后能与原图形重合,∴此图形是中心对称图形,也是轴对
称图形,故此选项正确;
B 、∵此图形旋转180°后能与原图形重合,∴此图形是中心对称图形,不是轴对称图形,故此选项错误;
C 、此图形旋转180°后不能与原图形重合,此图形不是中心对称图形,是轴对称图形,故此选项错误;
D 、∵此图形旋转180°后能与原图形重合,∴此图形是中心对称图形,不是轴对称图形,故此选项错误. 故选:A .
点评: 此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义,根据定义得出图形形状是解决问题的
关键.
15. (2014•黑龙江哈尔滨, 第4题3分)下列图形中,不是中心对称图形的是( ) A .B . C . D .
考点:中心对称图形. 分析:根据中心对称图形的概念求解. 解答:解:A 、是中心对称图形,故本选项错误;
B 、不是中心对称图形,故本选项正确; C 、是中心对称图形,故本选项错误; D 、是中心对称图形,故本选项错误; 故选B . 点评:本题考查了中心对称的知识,中心对称图形是要寻找对称中心,旋转180度后与原图
重合.
16. (2014•黑龙江哈尔滨, 第8题3分)将抛物线y=﹣2x +1向右平移1个单位,再向上平移2个单位后所得到的抛物线为( )
2222
y A . =﹣2(x+1)﹣1 B. y ﹣2(x+1)+3 C . y =﹣2(x ﹣1)+1 D. y =﹣2(x ﹣1)+3
考点:二次函数图象与几何变换. 分析:根据图象右移减,上移加,可得答案.
2
解答: 解;将抛物线y=﹣2x +1向右平移1个单位,再向上平移2个单位后所得到的抛物线
2
为y=﹣2(x ﹣1)+3, 故选:D . 点评:本题考查了二次函数图象与几何变换, 函数图象平移的规律是:左加右减,上加下减.
17. (2014•黑龙江哈尔滨, 第9题3分)如图,在Rt △ABC 中,∠ACB=90°,∠B=60°,BC=2,△A ′B ′C 可以由△ABC 绕点C 顺时针旋转得到,其中点A ′与点A 是对应点,点B ′与点B 是对应点,连接AB ′,且A 、B ′、A ′在同一条直线上,则AA ′的长为( )
2
第4题图
63 A . B . C . D . 4 3
考点:旋转的性质. 分析:利用直角三角形的性质得出AB=4,再利用旋转的性质以及三角形外角的性质得出
AB ′=2,进而得出答案. 解答:解:∵ 在Rt △ABC 中,∠ACB=90°,∠B=60°,BC=2,
∴∠CAB=30°,故AB=4, ∵△A ′B ′C 可以由△ABC 绕点C 顺时针旋转得到,其中点A ′与点A 是对应点,点B ′与点B 是对应点,连接AB ′,且A 、B ′、A ′在同一条直线上, ∴AB=A′B ′=4,AC=A′C , ∴∠CAA ′=∠A ′=30°, ∴∠ACB ′=∠B ′AC=30°, ∴AB ′=B′C=2, ∴AA ′=2+4=6. 故选:A . 点评:此题主要考查了旋转的性质以及直角三角形的性质等知识,得出AB ′ =B′C=2是解题
关键.
18. (2014•黑龙江牡丹江, 第4题3分) 下列对称图形中,是轴对称图形,但不是中心对称图
形的有( )
A . 1个 B . 2 个 C . 3 个 D . 4个
考点: 中心对称图形;轴对称图形.
分析: 根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形,以及轴对称图形的定义:如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴,即可判断出答案. 解答: 解:①此图形不是中心对称图形,是轴对称图形,故此选项正确; ②此图形是中心对称图形,也是轴对称图形,故此选项错误; ③此图形是中心对称图形,不是轴对称图形,故此选项错误; ④此图形不是中心对称图形,是轴对称图形,故此选项正确. 故是轴对称图形,但不是中心对称图形的有2个. 故选:B .
点评: 此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义,关键是找出图形的对称中心与对称轴.
19. (2014•黑龙江牡丹江, 第6题3分) 如图,把ABC 经过一定的变换得到△A ′B ′C ′,如果△ABC 上点P 的坐标为(x ,y ),那么这个点在△A ′B ′C ′中的对应点P ′的坐标为( )
第6题图
A .(﹣x ,y ﹣2) B . (﹣x ,y+2) C . (﹣x+2,﹣y ) D . (﹣x+2,y+2)
考点: 坐标与图形变化-旋转;坐标与图形变化-平移. 专题: 几何变换. 分析: 先观察△ABC 和△A ′B ′C ′得到把△ABC 向上平移2个单位,再关于y 轴对称可得到△A ′B ′C ′,然后把点P (x ,y )向上平移2个单位,再关于y 轴对称得到点的坐标为(﹣x ,y+2),即为P ′点的坐标. 解答: 解:∵把△ABC 向上平移2个单位,再关于y 轴对称可得到△A ′B ′C ′, ∴点P (x ,y )的对应点P ′的坐标为(﹣x ,y+2). 故选B .
点评: 本题考查了坐标与图形变化﹣旋转:图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标.常见的是旋转特殊角度如:30°,45°,60°,90°,180°.
20. (2014年湖北黄石) (2014•湖北黄石, 第9题3分)正方形ABCD 在直角坐标系中的位置
如下图表示,将正方形ABCD 绕点A 顺时针方向旋转180°后,C 点的坐标是( )
第7题图
A .(2,0) B . (3,0) C . (2,﹣1) D . (2,1)
考点: 坐标与图形变化-旋转.
分析: 正方形ABCD 绕点A 顺时针方向旋转180°后,C 点的对应点与C 一定关于A 对称,A 是对称点连线的中点,据此即可求解. 解答: 解:AC=2,
则正方形ABCD 绕点A 顺时针方向旋转180°后C 的对应点设是C ′,则AC ′=AC=2, 则OC ′=3, 故C ′的坐标是(3,0). 故选B .
点评: 本题考查了旋转的性质,理解C 点的对应点与C 一定关于A 对称,A 是对称点连线的中点是关键.
21. (2014年湖北荆门) (2014•湖北荆门, 第9题3分)如图,在4×4的正方形网格中,每个小正方形的顶点称为格点,左上角阴影部分是一个以格点为顶点的正方形(简称格点正方形).若再作一个格点正方形,并涂上阴影,使这两个格点正方形无重叠面积,且组成的图形是轴对称图形,又是中心对称图形,则这个格点正方形的作法共有( )
第8题图
A . 2种 B . 3种 C . 4种 D . 5种
考点: 利用旋转设计图案;利用轴对称设计图案.
分析: 利用轴对称图形的性质以及中心对称图形的性质分析得出符合题意的图形即可. 解答: 解;如图所示:组成的图形是轴对称图形,又是中心对称图形, 则这个格点正方形的作法共有4种. 故选:C .
点评: 此题主要考查了利用轴对称以及旋转设计图案,正确把握相关定义是解题关键.
绕点B 逆时针旋转60°,得到
△BAE ,连接ED ,若BC=5,BD=4.则下列结论错误的是( )
A . B. C. 2 D.
26.
二、填空题
1. (2014•海南, 第18题4分)如图,△COD 是△AOB 绕点O
顺时针旋转40°后得到的图形,若点C 恰好落在AB 上,且∠AOD 的度数为90°,则∠B 的度数是 60° .
AC 边在直线a 上,将△ABC 绕点A 顺时针旋转到位置①可得到点P 1,此时AP 1=;将位置①的三角形绕点P 1顺时针旋转到位置②,可得到点P 2,此时AP 2=1+;将位置②的三角形
绕点P 2顺时针旋转到位置③,可得到点P 3,此时AP 3=2+
得到点P 2014为止.则AP 2014=
.
;…,按此规律继续旋转,直至
考点: 旋转的性质.
专题: 规律型.
分析: 由已知得AP 1=,AP 2=1+,AP 3=2+;再根据图形可得到AP 4=2+2;AP 5=3+2;AP 6=4+2;AP 7=4+3;AP 8=5+3;AP 9=6+3;每三个一组,由于2013=3×671,则AP 2013=(2013﹣761)+671,然后把AP 2013加上即可.
解答: 解:AP 1=,AP 2=1+,AP 3=2+;
AP 4=2+2;AP 5=3+2;AP 6=4+2;
AP 7=4+3;AP 8=5+3;AP 9=6+3;
∵2013=3×671,
∴AP 2013=(2013﹣761)+671=1342+671,
∴AP 2014=1342+671+=1342+672.
故答案为:1342+672.
点评: 本题考查了旋转的性质:旋转前后两图形全等;对应点到旋转中心的距离相等;对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角.
3. (2014衡阳,第20题3分)如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知点M 0的坐标为(1,0),将线段OM 0绕原点O 逆时针方向旋转45,再将其延长至点M 1,使得M 1M 0⊥OM 0,得到线段OM 1;又将线段OM 1绕原点O 逆时针方向旋转45,再将其延长至点M 2,使得M 2M 1⊥OM 1,
得到线段OM 2;如此下去,得到线段、、OM 5、…。根据以上规律,请直接
写出线段OM 2014的长度为。
4、(2014•无锡,第18题2分)如图,菱形ABCD 中,∠A=60°,AB=3,⊙A 、⊙B 的半径分别为2和1,P 、E 、F 分别是边CD 、⊙A 和⊙B 上的动点,则PE+PF的最小值是 3 .
沿着射线BC 的方向平移2个单位后,得到三角形△A ′B ′C ′,连接A ′C ,则△A ′B ′C 的周长为______。
【答案】 12。
【考点】 平移的性质,等腰三角形的性质.
【分析】 根据AB=4,BC=6,△ABC 向左平移了2个单位,得B B ′=2,B′C =4=A ′B ′,又∠
B=60°得∠A ′B ′C =60°,所以△A ′B ′C 是等边三角形,故可得出A ′C 长是4,进而得出△A ′B ′C 的周长,根据图形平移的性质即可得出结论.
【解答】 解:∵△ABC 平移两个单位得到△A ′B
′C ′,AB =4,BC =6,
∴B B ′=2′,AB =A ′B ′。
∵AB =4,BC =6,
∴A ′B ′=AB =4, B ′C =BC-B B ′=6-2=4。
∴A ′B ′= B ′C =4,即 △A ′B ′C 是等腰三角形。
又∵∠B=60°,
∴∠A ′B ′C =60°,△A ′B ′C 是等边三角形。
故△A ′B ′C 的周长为:4×3=12。
【点评】 本题考查的是平移的性质,熟知图形平移后新图形与原图形的形状和大小完全相同是解答此题的关键.
6、(2014•江西,第
13题3分)如图,是将菱形ABCD 以点O 为中心按顺时针方向分别旋转90°,180°,270°后形成的图形。若∠BAD =60,AB=2,则图中阴影部分的面积为______.
【答案】 12-【考点】 菱形的性质,勾股定理,旋转的性质.
所以图中阴影部分的面积为12-
7.(2014•陕西, 第13题3分) 一个正五边形的对称轴共有 5 条.
考点: 轴对称的性质.
分析: 过正五边形的五个顶点作对边的垂线,可得对称轴.
解答: 解:如图,
正五边形的对称轴共有5条.
故答案为:5.
点评: 本题考查了轴对称的性质,熟记正五边形的对称性是解题的关键.
8.(2014•陕西, 第15题3分) 如图,在正方形ABCD 中,AD=1,将△ABD 绕点B 顺时针旋转45°得到△A ′BD ′,此时A ′D ′与CD 交于点E ,则DE 的长度为 2﹣ .
考点: 旋转的性质.
分析: 利用正方形和旋转的性质得出A ′D=A′E ,进而利用勾股定理得出BD 的长,进而利用锐角三角函数关系得出DE 的长即可.
解答: 解:由题意可得出:∠BDC=45°,∠DA ′E=90°,
∴∠DEA ′=45°,
∴A ′D=A′E ,
∵在正方形ABCD 中,AD=1,
∴AB=A′B=1,
∴BD=,
∴A ′D=﹣1,
∴在Rt △DA ′E 中, DE==2﹣.
故答案为:2﹣.
点评: 此题主要考查了正方形和旋转的性质以及勾股定理、锐角三角函数关系等知识,得出A′D的长是解题关键.
9.(2014•青岛,第11题3分)如图,△ABC 的顶点都在方格线的交点(格点)上,如果将△ABC 绕C 点按逆时针方向旋转90°,那么点B 的对应点B ′的坐标是
AC 平分∠BCD ,E ,F 分别是底边AD ,BC 的中点,连接EF .点P 是EF 上的任意一点,连接PA ,PB ,则PA+PB的最小值为 2 .
如果△ABC 中有一点P 的坐标为(a ,2),那么变换后它的对应点Q 的坐标为 (a+5,﹣2) .
考点: 坐标与图形变化-平移.
分析: 根据对应点A 、A ′的坐标确定出平移规律为向右5个单位,向下4个单位,然后写出点Q 的坐标即可.
解答: 解:由图可知,A (﹣4,3),A ′(1,﹣1),
所以,平移规律为向右5个单位,向下4个单位,
∵P (a ,2),
∴对应点Q 的坐标为(a+5,﹣2).
故答案为:(a+5,﹣2).
点评: 本题考查了坐标与图形变化﹣平移,观察图形得到变化规律是解题的关键. 12.
三、解答题
1. (2014•黑龙江龙东, 第22题6分)如图,方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度,Rt △ABC 的三个顶点A (﹣2,2),B (0,5),C (0,2).
(1)将△ABC 以点C 为旋转中心旋转180°,得到△A 1B 1C ,请画出△A 1B 1C 的图形.
(2)平移△ABC ,使点A 的对应点A 2坐标为(﹣2,﹣6),请画出平移后对应的△A 2B 2C 2的图形.
(3)若将△A 1B 1C 绕某一点旋转可得到△A 2B 2C 2,请直接写出旋转中心的坐标.
考点: 作图-旋转变换;作图-平移变换.
分析: (1)利用旋转的性质得出对应点坐标进而得出答案;
(2)利用平移规律得出对应点位置,进而得出答案;
(3)利用旋转图形的性质,连接对应点,即可得出旋转中心的坐标.
解答: 解:(1)如图所示:△A 1B 1C 即为所求;
(2)如图所示:△A 2B 2C 2即为所求;
(3)旋转中心坐标(0,﹣2).
点评: 此题主要考查了旋转的性质以及图形的平移等知识,根据题意得出对应点坐标是解题关键.
2. (2014•黑龙江绥化, 第21题6分)已知:△ABC 在直角坐标平面内,三个顶点的坐标分别为A (0,3)、B (3,4)、C (2,2)(正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度).
(1)画出△ABC 向下平移4个单位长度得到的△A 1B 1C 1,点C 1的坐标是 (2,﹣2) ;
(2)以点B 为位似中心,在网格内画出△A 2B 2C 2,使△A 2B 2C 2与△ABC 位似,且位似比为2:1,点C 2的坐标是 (1,0) ;
(3)△A 2B 2C 2的面积是 10 平方单位.
3. (2014•湖南衡阳, 第26题8分)将一副三角尺(在Rt △ABC 中,∠ACB=90°,∠B=60°;在Rt △DEF 中,∠EDF=90°,∠E=45°)如图①摆放,点D 为AB 的中点,DE 交AC 于点P ,DF 经过点C .
(1)求∠ADE 的度数;
(2)如图②,将△DEF 绕点D 顺时针方向旋转角α(0°<α<60°),此时的等腰直角三角尺记为△DE ′F ′,DE ′交AC 于点M ,DF ′交BC 于点N ,试判断化而变化?如果不变,请求出
的值;反之,请说明理由.
的值是否随着α的变
考点: 旋转的性质;相似三角形的判定与性质. 分析: (1)根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CD=AD=BD=AB,根据等边对等角求出∠ACD=∠A ,再求出∠ADC=120°,再根据∠ADE=∠ADC ﹣∠EDF 计算即可得解;
(2)根据同角的余角相等求出∠PDM=∠CDN ,再根据然后求出△BCD 是等边三角形,根据等边三角形的性质求出∠BCD=60°,再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠CPD=60°,从而得到∠CPD=∠BCD ,再根据两组角对应相等,两三角形相似判
断出△DPM 和△DCN 相似,再根据相似三角形对应边成比例可得解答: 解:(1)∵∠ACB=90°,点D 为AB 的中点, ∴CD=AD=BD=AB, ∴∠ACD=∠A=30°,
∴∠ADC=180°﹣30°×2=120°,
∴∠ADE=∠ADC ﹣∠EDF=120°﹣90°=30°;
(2)∵∠EDF=90°,
∴∠PDM+∠E ′DF=∠CDN+∠E ′DF=90°, ∴∠PDM=∠CDN , ∵∠B=60°,BD=CD, ∴△BCD 是等边三角形, ∴∠BCD=60°,
∵∠CPD=∠A+∠ADE=30°+30°=60°, ∴∠CPD=∠BCD ,
在△DPM 和△DCN 中,
,
∴△DPM ∽△DCN ,
=为定值.
∴∵∴
=,
,
.
=tan∠ACD=tan30°
的值不随着α的变化而变化,是定值
点评: 本题考查了旋转的性质,相似三角形的判定与性质,直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质,熟记各性质并判断出相似三角形是解题的关键,也是本题的难点. 4. (2014•湖南永州, 第23题10分)在同一平面内,△ABC 和△ABD 如图①放置,其中AB=BD.
小明做了如下操作:
将△ABC 绕着边AC 的中点旋转180°得到△CEA ,将△ABD 绕着边AD 的中点旋转180°得到△DFA ,如图②,请完成下列问题:
(1)试猜想四边形ABDF 是什么特殊四边形,并说明理由;
(2)连接EF ,CD ,如图③,求证:四边形CDEF 是平行四边形.
2),C (3,4). (1)请画出△ABC 向左平移5个单位长度后得到的△A 1B 1C 1; (2)请画出△ABC 关于原点对称的△A
2B 2C 2; (3)在x 轴上求作一点P ,使△PAB 的周小最小,请画出△PAB ,并直接写出P 的坐标.
考点: 作图-旋转变换;轴对称-最短路线问题;作图-平移变换. 专题: 作图题.
分析: (1)根据网格结构找出点A 、B 、C 平移后的对应点A 1、B 1、C 1的位置,然后顺次连接即可;
(2)根据网格结构找出点A 、B 、C 关于原点的对称点A 2、B 2、C 2的位置,然后顺次连接即可;
(3)找出点A 关于x 轴的对称点A ′,连接A ′B 与x 轴相交于一点,根据轴对称确定最短路线问题,交点即为所求的点P 的位置,然后连接AP 、BP 并根据图象写出点P 的坐标即可.
解答: 解:(1)△A 1B 1C 1如图所示; (2)
△A 2B 2C 2如图所示; (3)△PAB 如图所示,P (2,0).
点评: 本题考查了利用旋转变换作图,利用平移变换作图,轴对称确定最短路线问题,熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键.
6.(2014•黔南州,第23题10分)两个长为2cm ,宽为1cm 的长方形,摆放在直线l 上(如图①),CE=2cm,将长方形ABCD 绕着点C 顺时针旋转α角,将长方形EFGH 绕着点E 逆时针旋转相同的角度.
(1)当旋转到顶点D 、H 重合时,连接AE 、CG ,求证:△AED ≌△GCD (如图②). (2)当α=45°时(如图③),求证:四边形MHND 为正方形.
考点:旋转的性质;全等三角形的判定与性质;矩形的性质;正方形的判定. 分析:(1)由全等三角形的判定定理SAS 证得:△ AED ≌△GCD (如图②);
(2)通过判定四边形MHND 四个角是90°,且邻边DN=NH来判定四边形MHND 是正方形. 解答:证明: (1)如图②,∵由题意知,AD=GD,ED=CD,∠ADC=∠GDE=90°,
∴∠ADC+∠CDE=∠GDE+∠CDE ,即∠ADE=∠GDC , 在△AED 与△GCD 中,
,
∴△AED ≌△GCD (SAS );
(2)如图③,∵α=45°,BC ∥EH , ∴∠NCE=∠NEC=45°,CN=NE, ∴∠CNE=90°, ∴∠DNH=90°, ∵∠D=∠H=90°, ∴四边形MHND 是矩形, ∵CN=NE, ∴DN=NH, ∴矩形MHND 是正方形. 点评:本题考查旋转的性质,全等三角形的判定以及正方形的判定的方法. (旋转的性质:
对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等.正方形的判定的方法:两邻边相等的矩形是正方形.)
7.(2014•莱芜,第21题9分)如图,已知△ABC 是等腰三角形,顶角∠BAC=α(α<60°),
D 是BC 边上的一点,连接AD ,线段AD 绕点A 顺时针旋转α到AE ,过点E 作BC 的平行线,交AB 于点F ,连接DE ,BE ,DF . (1)求证:BE=CD; (2)若AD ⊥BC ,试判断四边形BDFE 的形状,并给出证明.
如果只研究一般的筝形(不包括菱形),请根据以上材料完成下列任务: (1)请说出筝形和菱形的相同点和不同点各两条;
(2)请仿照图1的画法,在图2所示的8×8网格中重新设计一个由四个全等的筝形和四个全等的菱形组成的新图案,具体要求如下: ①顶点都在格点上; ②所涉及的图案既是轴对称图形又是中心对称图形; ③将新图案中的四个筝形都图上阴影(建议用一系列平行斜线表示阴影).
考点: 利用旋转设计图案;菱形的性质;利用轴对称设计图案. 分析: (1)利用菱形的性质以及结合图形得出筝形的性质分别得出异同点即可; (2)利用轴对称图形和中心对称图形的定义结合题意得出答案. 解答: 解:(1)相同点:①两组邻边分别相等;②有一组对角相等;③一条对角线垂直平分另一条对角线; ④一条对角线平分一组对角;⑤都是轴对称图形;⑥面积等于对角线乘积的一半; 不同点:①菱形的对角线互相平分,筝形的对角线不互相平分; ②菱形的四边都相等,筝形只有两组邻边分别相等; ③菱形的两组对边分别平行,筝形的对边不平行; ④菱形的两组对角分别相等,筝形只有一组对角相等; ⑤菱形的邻角互补,筝形的邻角不互补; ⑥菱形的既是轴对称图形又是中心对称图形,筝形是轴对称图形不是中心对称图形;
(2)如图所示:
.
点评: 此题主要考查了利用旋转设计图案,借助网格得出符合题意的图形是解题关键.
9. (2014•丽水,第19题6分)如图,正方形网格中的每个小正方形的边长都是1,每个小正方形的顶点叫做格点.△ABC 的三个顶点A ,B ,C 都在格点上,将△ABC 绕点A 顺时针方向旋转90°得到△AB ′C ′ (1)在正方形网格中,画出△AB ′C ′; (2)计算线段AB 在变换到AB ′的过程中扫过区域的面积.
形ABCD 的四个顶点都在小正方形的顶点上,点E 在BC 边上,且点E 在小正方形的顶点上,连接AE . (1)在图中画出△AEF ,使
△AEF 与△AEB 关于直线AE 对称,点F 与点B 是对称点; (2)请直接写出△AEF 与四边形ABCD 重叠部分的面积.
第1题图
考点:作图-轴对称变换. 专题:作图题. 分析:(1)根据AE 为网格正方形的对角线,作出点B 关于AE 的对称点F ,然后连接AF 、
EF 即可;
(2)根据图象,重叠部分为两个直角三角形的面积的差,列式计算即可得解. 解答:解: (1)△AEF
如图所示;
(2)重叠部分的面积=×4×4﹣×2×2 =8﹣2 =6.
点评:本题考查了利用轴对称变换作图,熟练掌握网格结构并观察出AE 为网格正方形的对
角线是解题的关键.
11.(2014•随州,第16题3分)如图1,正方形纸片ABCD 的边长为2,翻折∠B 、∠D ,使两个直角的顶点重合于对角线BD 上一点P 、EF 、GH 分别是折痕(如图2).设AE=x(0<x <2),给出下列判断:
①当x=1时,点P 是正方形ABCD 的中心; ②当x=时,EF+GH>AC ;
③当0<x <2时,六边形AEFCHG 面积的最大值是④当0<x <2时,六边形AEFCHG 周长的值不变. 其中正确的是 ①④ (写出所有正确判断的序号).
;
与点A 、B 重合),点F 在BC 边上(不与点B 、C 重合)。
第一次操作:将线段EF 绕点F 顺时针旋转,当点E 落在正方形上时,记为点G ; 第二次操作:将线段FG 绕点G 顺时针旋转,当点F 落在正方形上时,记为点H ; 依此操作下去…
(1)图2中的三角形EFD 是经过两次操作后得到的,其形状为____,求此时线段EF 的长;
(2)若经过三次操作可得到四边形EFGH 。
①请判断四边形EFGH 的形状为______,此时AE 与BF 的数量关系是______。 ②以①中的结论为前提,设AE 的长为x ,四边形EFGH 的面积为y ,求y 与x 的函数关系式及面积y 的取值范围。
【考点】 正方形的判定与性质;全等三角形的判定与性质;图形与旋转,勾股定理. 【分析】 (1)根据正方形的性质,证明旋转后得到的两个直角三角形全等,得出AE 和FC 相等,再用勾股定理列出方程即可;
(2)①根据旋转的性质可判定四边形EFGH 是正方形,得出AE =BF ;②根据正方形的面积公式,找出AE 长与正方形面积之间的等量关系式。 【解答】(1)等边三角.
∵四边形ABCD 是正方形,
∴AD =CD =BC =AB ,∠A =∠B =∠C =90°.
∵ED=FD,
∴△ADE ≌△CDF.(HL)
∴AE =CF ,BE =BF.
∴BEF 是等腰直角三角形。
设BE 的长为x ,则
,AE=4- x.
∵在Rt △AED 中,AE +AD =DE ,DE=EF,
∴(4- x)2+42=) 2
解得x 1=-4+
x 2=-4-不合题意,舍去).
∴EF
4+)=-4+
(2) ①四边形EFGH 为正方形;AE =BF.
②∵AE =x ,
∴BE=4-x.
∵在Rt △BED 中,EF =BF +BE ,AE=BF,
∴y =EF =(4-x ) +x =16-8x +x +x =2x -8x +16
∵点E 不与点A 、B 重合,点F 不与点B 、C 重合,
∴0<x <4.
∵y =2x -8x +16 [1**********]22
=2(x 2-4x +4) +8
=2(x -2) 2+8,
∴当x=2时有最小值8,当x=0或4时,有最大值16,
∴y 的取值范围是8<y <16.
【点评】此题考查了正方形的性质,全等三角形的判定与性质,勾股定理的应用以及旋转的性质,准确找出其中的等量关系并列出方程是解本题的关键.
13、(2014•宁夏,第19题6分)在平面直角坐标系中,△ABC 的三个顶点坐标分别为A (﹣2,1),B (﹣4,5),C (﹣5,2).
(1)画出△ABC 关于y 轴对称的△A 1B 1C 1;
(2)画出△ABC 关于原点O 成中心对称的△A 2B 2C 2.