中考数学试题分类汇编 四边形
中考试题分类汇编—四边形
1.(2006·苏州市)如图,平行四边形ABCD 中,E ,F 分别为AD ,BC 边上的一点.若再增加一个条件 ,就可推得BE=DF. 如:AE=CF,∠AEB=∠CFD, ∠ ABE=∠CDF ; 2. (2006·金华市)如图,在菱形ABCD 中,已知AB =10,AC =16, 那么菱形ABCD 的面积为 .
96
3. (2006·金华市)如图,点M 是直线y =2x +3上的动点,过点M 作MN 垂直于x 轴于点N ,y 轴上是否存在点P ,使△MNP 为等腰直角三角形. 小明发现:当动点M 运动到(-1,1)时,y 轴上存在点P (0,1), 此时有MN=MP,能使△NMP 为等腰直角三角形. 那么,在y 轴和直线上是否还存在符合条件的点P 和点M 呢?请你写出其它符合条件的点P 的坐标 . (0,0),(0,
46.(2006.对角线互相垂直或(一组)邻边相等
5.(2006·陕西省)如图,在距形ABCD 中,点E 、F 分别在边AB 、CD 上,BF ∥DE .若AD =12cm ,AB =7cm ,且 AE∶EB =5∶2,则阴影部分EBFD 的面积为______cm.
24
2
3
),(0,-3) 4
6. (2006·荆门市)园丁住宅小区有一块草坪如图所示. 已知AB=3米,BC=4米,CD=12米,DA=13米, 且AB ⊥BC, 这块草坪的面积是( )B (A)24米2. (B)36米2. (C)48米2. (D)72米2.
7.(2006·潍坊市)如图,等腰梯形ABCD 中,AB ∥DC ,AC ⊥BC , 点E 是AB 的中点,EC ∥AD ,则∠ABC 等于( )C
B A .75︒ B .70︒ C .60︒ D .30︒ E
8.(2006·株洲市)已知菱形的边长和一条对角线的长均为2cm ,
则菱形的面积为( )C A.4cm
2
2
C.
2
D.3cm
2
9.(2006·浙江省)如图,在菱形ABCD 中,E 、F 分别是AB 、CD 的中点,如果EF=2,那么ABCD 的周长是( )D
A .4 B .8
C .12 D .16
10.(2006·株洲市)将一张矩形纸片ABCD 如图所示折叠,使顶点C 落在C ′点.已知AB=2,
∠DEC '=30 ,则折痕DE 的长为( )C
A.2
11.(2006·广东省)如图所示,在□ABCD 中,对角线AC 、BD 交于点O ,下列式子中一定成立的是 ( B ) A .AC⊥BD B.OA=0C C .AC=BD D.A0=OD
H 分别为四12.(2006·湛江市)如图6,点E ,F ,G ,
边形ABCD 的边AB ,BC ,CD ,DA 的中点,试判断四边形EFGH 的形状,并证明你的结论.
解:四边形EFGH 是平行四边形 证明:连结AC ,如图2.
E ,F 分别是AB ,BC 的中点,
B.
C.4
D.1
∴EF 是△ABC 的中位线,
1
∴EF ∥AC ,且EF =AC .
2
1
同理:GH ∥AC ,且GH =AC ,
2
∥. ∴EF
D H
C F
A
E
B
∴四边形EFGH 是平行四边形.
图2 13.(2006·株洲市)如图甲,四边形ABCD 是等腰梯形,AB ∥DC .由4个这样的等腰梯形可以拼出图乙所示的平行四边形. (1)求梯形ABCD 四个内角的度数;
(2)试探梯形ABCD 四条边之间存在的数量关系,并说明理由.
图甲
图乙
解:(1)如图∠1=∠2=∠3,∠1+∠2+∠3=360,即
M
∠1=120,所以图甲中梯形的上底角均为120,下底角
H
均为60.
(2)由EF 既是梯形的腰,又是梯形的上底可知,梯形的腰等于上底.连结MN ,则∠FMN =∠FNM =30,从而
1
F
E
∠HMN =30 ,∠HNM =90 ,所以NH =
1
MH ,因此2
梯形的上底等于下底长的一半,且等于腰长 14.(2006·广东省)如图,在□ABCD 中,∠DAB=60°,点E 、F 分别在CD 、AB 的延长线上,且AE=AD,CF=CB.
(1)求证:四边形AFCE 是平行四边形. (2)若去掉已知条件的“∠DAB=60°,上述的结论还成立吗? 若成立,请写出证明过程; 若不成立,请说明理由.
(1)证:∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴DC ∥AB ,∠DCB=∠DAB=60° ∴∠ADE=∠CBF=60° ∵AE=AD,CF=CB
∴△AED ,△CFB 是正三角形 在 ABCD 中,AD=BC,DC ∥=AB ∴ED=BF ∴ED+DC=BF+AB 即 EC=AF 又∵DC ∥AB 即EC ∥AF
∴四边形AFCE 是平行四边形
(2)上述结论还成立
证明:∵四边形ABCD 是平行四边形
∴DC ∥AB ,∠DCB=∠DAB ,AD=BC,DC ∥=AB ∴∠ADE=∠CBF ∵AE=AD,CF=CB
∴∠AED=∠ADE ,∠CFB=∠CBF ∴∠AED=∠CFB 又∵AD=BC
∴△ADE ≌△CBF ∴ED=FB ∵
DC=AB
∴ED+DC=FB+AB 即EC=FA ∵DC ∥AB
∴四边形EAFC 是平行四边形
15.(2006·陕西省)阅读下面短文:
如图①,△ABC 是直角三角形,∠C =90°,现将△ABC 补成矩形,使 △ABC 的两个顶点为矩形一边的两个端点,第三个顶点落在矩形这一边的对边上,那么符合要求的矩形可以画出两个:矩形ACBD 和矩形AEFB (如图 ②).
(第27题图①) (第27题图②)
(第27题图③) (第27题图④)
解答问题:
(1)设图②中矩形ABCD 和矩形AEFB 的面积分别为S 1、S 2, 则S 1_____S2(填“>”,“=”或“<”). =
(2)如图③,△ABC 是钝角三角形,按短文中的要求把它补成矩形,那么符合要求的矩形可以画出_____个,利用图③把它画出来.1
(3)如图④,△ABC 是锐角三角形且三边满足BC >AC >AB ,按短文中的要求把它补成矩形,那符合要求的矩形可以画出____个,利用图④把它画出来.3
(4)在(3)中所画出的矩形中,哪一个的周长最小?为什么? (4)解: (2)如图答①所示
(3)如图答②所示
第27题图答①
第27题图答②
(4)以AB 为边的矩形周长最小. 设矩形BCED 、ACHQ 、ABGF 的周长分别为L 1、L 2、L 3,BC =a ,
AC =b ,AB =c .易知,这三个矩形的面积相等,令其面积为S ,则有
2S 2S 2S +2a ,L 2=+2b ,L 3=+2c . a b c
2S 2S ab S
∵ L 1-L 2=+2a -(+2b )=2(a -b ).
a b ab
L 1=
而ab >S ,a >b ,
∴ L 1-L 2>0.即L 1>L 2.同理L 2>L 3.
∴ 以AB 为边的矩形周长最小. D
16.(2006·深圳市)如图6所示,在四边形ABCD 中,
AB=BC=CD=DA,对角线AC 与BD
相交于点
O .若不 增加任何字母与辅助线,要使得四边形ABCD 是正方形,
则还需增加的一个条件是 .AC=BD
17. (2006·湖州市)如图,在梯形ABCD 中,AD ∥BC ,AB=DC,∠B=60º,DE ∥AB 。 求证:(1)DE=DC;
(2)△DEC 是等边三角形. 证明:(1)∵ AD∥BC ,DE ∥AB ,
∴ 四边形ABED 是平行四边形. ∴ DE=AB, ∵ AB=DC, ∴ DE=DC.
(2)∵ AD∥BC ,AB=DC,∠B=60°, ∴ ∠C=∠B=60°.
又∵ DE=DC,
∴ △DEC 是等边三角形.
18. (2006·长春市)如图,任意四边形ABCD 各边中点分别是E 、F 、G 、H ,若对角线AC 、BD 的长都为20cm ,则四边形EFGH 的周长是( B ) A .80cm B .40cm C .20cm D.10cm 19. (2006·长春市)将一矩形纸条,按如图所示折叠,则∠1 = ________度. 52
20. (2006·长春市)如图,在正方形ABCD 中,△PBC 、△QCD 是两个等边三角形,PB 与DQ 交于M ,BP 与CQ 交于E ,CP 与DQ 交于F. 求证:PM = QM.
证:在正方形ABCD 中,△PBC 、△QCD 都是等边三角形,
∴∠QCB = ∠PCD = 30°. 又∵BC = CD, ∠PBC = ∠QDC ,
∴△EBC ≌△FDC. ∴CE = CF.
又∵CQ = CD = BC = CP, ∴PF = QE. 又∵∠P = ∠Q , ∠QME = ∠PMF , ∴△MEQ ≌△MFP , ∴PM = QM. 21.(2006·淮安市)如图,平行四边形ABCD 中,AB=3,BC=5,AC 的垂直平分线交AD 于E ,则△CDE 的周长是( B ) A .6 B.8 C.9 D.10 22.(2006·淮安市)如图,正方形ABCD 的边长为2,点E 在AB 边上.四边形EFGB 也为正方形,设△AFC的面积为S ,则 ( A ) A .S=2 B.S=2.4 C.S=4 D.S 与BE 长度有关 23.(2006·淮安市)如图,AB=CD=ED,AD=EB,BE ⊥DE ,垂足为E . (1)求证:△ABD≌△EDB
(2)只需添加一个条件,即________,可使四边形ABCD 为矩形. 请加以证明. (1)证明略
(2)添加AB∥CD,或添加AD=BC或BE=BC或∠A=∠ADC 或∠ADC=90°或∠A=∠C 或∠C=90°或∠ABD=∠BDC 或∠A=∠ABC 或∠ADB=∠DBC 或∠ABC=90°等. 证明略. 24.(2006·泉州市)下列四个命题中,假命题的是( D ). .
A .四条边都相等的四边形是菱形; B .有三个角是直角的四边形是矩形; C .对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形; D .一组对边平行,另一组对边相等的四边形是等腰梯形.
25.(2006·泉州市)如图,在口ABCD 中,E 、F 是对角线AC 上的两点,AE =CF ,求证:BE =DF.
证明:∵ABCD 是平行四边形
∴AB=CD AB ∥CD ∴∠1=∠2 又∵AE=CF ∴△ABE ≌△CDF
∴BE=DF
26.(2006·鸡西市)如图,E 、F 分别是正方形ABCD 的边CD 、AD 上的点,且CE=DF,AE 、BF 相交于点D ,下列结论①AE=BF;②AE⊥BF ;③ AO=OE; ④S △AOB =S四边形DEOF 中,错误的有
( ) A
(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个
27.(2006·鸡西市)如图,在矩形ABCD 中,EF∥AB,GH∥BC,EF 、GH 的交点P 在BD 上,图中面积相等的四边形有( ) C
(A)3对 (B)4对 (C)5对 (D)6对 28.(2006·嘉兴市)如图,矩形纸片ABCD ,AB =2,∠ADB =30°,沿对角线BD 折叠(使△ABD 和△EBD 落在同一平面内),则A 、E 两点间的距离为________.2;
29.(2006·晋江市)不能判断四边形ABCD 是平行四边形的是( C ) A .AB=CD,AD=BC B.AB=CD ,AB ∥CD C .AB=CD,AD ∥BC D.AB ∥CD ,AD ∥BC
C )
A D
B C
15题
30.(2006·晋江市)如图,将n 个边长都为1cm 的正方形按如图所示摆放,点A 1、A 2、„、A n 分别是正方形的中心,则n 个这样的正方形重叠部分的面积和为( C ) A .
1n 12n 2 n -12 2
cm B.cm C .cm D .() cm 4444
31.(2006·晋江市)如图,正方形ABCD 的边CD 在正方形ECGF 的边CE 上,连接BE 、DG ,
F
求证:
BE=DG
B
32.(2006·临安市)已知:如图,E 、F 是平行四边行ABCD 的 对角线AC 上的两点,AE=CF。
求证:(1)△ADF ≌△CBE ;(2)EB ∥DF 。 证明:(1)∵AE=CF
∴AE+EF=CF+FE即AF=CE
又ABCD 是平行四边形,∴AD=CB,AD ∥BC ∴∠DAF=∠BCE 在△ADF 与△CBE 中
C
G
AF=CE⎧⎪ AD=CB⎨
⎪ ∠DAF= ∠BCE ⎩
∴△ADF ≌△CBE (SAS ) (2)∵△ADF ≌△CBE
∴∠DFA=∠BEC ∴DF ∥EB
33. (2006·旅顺口区)如图,将一块正方形纸片沿对角线折叠一次,然后在得到的三角形的三个角上各挖去一个圆洞,最后将正方形纸片展开,得到的图案是(C )
B D A C
34. (2006·旅顺口区)如图,在 □ABCD 中,BE ⊥AC 于点E , DF ⊥AC 于点F.
⑴求证:AE =CF ; (说明:写出证明过程中的重要依据) 证明:∵四边形ABCD 是平行四边形
∴AB ∥CD ,AB=CD (平行四边形对边平行且相等) ∴∠BAE=∠DCF (两直线平行内错角相等) ∵AE ⊥AC 于E ,DF ⊥AC 于F ∴∠AEB=∠CFD=90°(垂直定义) ∴∠ABE=∠CDF (等角的余角相等)
∴△ABE ≌△CDF (ASA ) ∴AE=CF(全等三角形的对应边相等)
35.(2006·南安市)已知等腰梯形的一个内角为100°,则其余三个角的度数分别
是 .100°、80°、80°; 36.(2006·南安市)如图,DE 是△ABC 的中位线,S △ADE = 2,则S △ABC = . 8 37. (2006·南安市) 已知:如图,□ABCD 中,BD 是对角线,AE ⊥BD 于E ,CF ⊥BD 于F.
求证:BE=DF. 第11题图 A D 证明:∵ABCD 是平行四边形,
∴AB=CD ,AB ∥CD. ∴∠ABE=∠CDF .
又∵AE ⊥BD ,CF ⊥BD , ∴∠AEB=∠CFD=90B
∴△ABE ≌△CDF ,
∴BE=DF
38.(2006·南通市)如图,□ABCD的周长是
28cm ,,△ABC
的周长是22cm ,则AC 的长为( D )
A .6 cm B.12 cm C.4 cm D.8 cm
(第9题)
39.(2006·常州市)如图,在平行四边形ABCD 中,BD 是对角线且BD ⊥AD ,AD=cm ,∠A=30°,则AB 的长等于________ cm,平行四边形ABCD 的面积等于________ cm. 2;3
2
第5C
40. (2006·江 西 省) 如图,在梯形纸片ABCD 中,AD ∥BC ,AD > CD,将纸片沿过点
D 的直线折叠,使点C 落在AD 上的点C ′处,折痕DE 交BC 于点E ,连结C ′E (1)求证:四边形CDC ′E 是菱形;
(2)若BC = CD + AD,试判断四边形ABED 的形状,并加以证明.
A
C'
D
B
E
C
(1)证明:根据题意,可知:
CD = C′D ,∠C ′DE =∠CDE ,CE = C′E , ∵ AD∥BC , ∴ ∠C ′DE =∠CED. ∴ ∠CDE =∠CED. ∴ CD = CE. ∴ CD = C′D = C′E = CE. ∴ 四边形CDC ′E 为菱形.
(2)答:当BC = CD + AD时,四边形ABED 是平行四边形.
证明:由(1)知CE = CD.
∵ BC = CD + AD, ∴ AD = BE.
又∵ AD∥BE , ∴ 四边形ABED 为平行四边形.
41. (2006·常州市) 已知:如图,△ABC 中,AB=AC,
矩形BCDE 的边DE 分别与AB 、AC 交于点F ,G 。求证:EF=DG. 证明:∵AB=AC
∴∠ABC=∠ACB
又∵四边形BCDE 是矩形
∴BE=DC,∠E=∠D=∠EBC=∠BCD=90° ∴∠EBF=∠DCG ∴△BEF ≌△CDG ∴EF=DG
42.(2006·德州市)在△MBC 中,BM=6,点A ,C ,D 分别在MB ,NB , MN上,四边形ABCD 为平行四边形,且∠NDC=∠MDA , 则平行四边形ABCD 的周长是( D )
A.24 B.18 C.16 D.12
43. (2006·德州市)两个全等的含30,60角的三角板ADE 和三角板ABC 如图所示放置,E ,A ,C 三点在一条直线上, 连结BD ,取BD 的中点M ,连结ME ,MC ,试判 断△EMC 的形状,并说明理由.
解:△EMC 的形状是等腰直角三角形. 证明:连接AM ,由题意得:
DE =AC ,∠DAE +∠BAC =90︒. ∴∠DAB =90︒ 又 DM =MB ,
E
A
(第20题
C
N
C
M
B A
(第3题
B
M
D
E A
(第20题图)
C
∴MA =
1
DB =DM ,∠MAD =∠MAB =45︒. 2
∴∠M D E =∠M A 1=C 0,5∠︒D M =9A 0. ︒∴△E D M ≌△C A .
∴∠DME =∠AMC ,EM =MC . 又∠DME +∠EMA =90︒, ∴∠EMA +∠AMC =90︒. ∴C M ⊥E .M
所以△ECM 的形状是等腰直角三角形.
44.(2006·青岛市)已知:如图,在□ABCD 中,E 、F 分别为边AB 、CD 的中点,BD 是对角线,AG ∥DB 交CB 的延长线于G .
(1)求证:△ADE ≌△CBF ; (2)若四边形 BEDF 是菱形,则四边形AGBD 是什么特殊四边形?并证明你的结论.
21.解:(1)∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴∠1=∠C ,AD =CB ,AB =CD . ∵点E 、F 分别是AB 、CD 的中点,
∴AE =
11
AB ,CF =CD . 22
∴AE =CF .
∴△ADE ≌△CBF .
(2)当四边形BEDF 是菱形时, 四边形 AGBD 是矩形.
∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴AD ∥BC . ∵AG ∥BD ,
∴四边形 AGBD 是平行四边形. ∵四边形 BEDF 是菱形, ∴DE =BE . ∵AE =BE ,
∴AE =BE =DE .
∴∠1=∠2,∠3=∠4.
∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°, ∴2∠2+2∠3=180°. ∴∠2+∠3=90°. 即∠ADB =90°.
∴四边形AGBD 是矩形.
45. (2006·广安市) 正方形具有而菱形不一定具有的性质是( A ) A. 对角线相等 B. 对角线互相垂直平分 C. 对角线平分一组对角 D. 四条边相等
46. (2006·广安市) 已知: 如图, 在梯形ABCD 中, AD//BC, AB=CD, E 是底边BC 的中点, 连接AE 、DE. 求证: △ADE 是等腰三角形. 证: ∵ABCD 是等腰梯形
∴∠B=∠C, AB=CD ∵E 是BC 中点 ∴BE=CE
∴△ABE ≌△DCE ∴AE=DE
∴△AED 是等腰三角形
47. (2006·北京市海淀区)下列矩形中,按虚线剪开后,既能拼出平行四边形和梯形,又能拼出三角形的是图形___ ② (请填图形下面的代号)
.
48. (2006·北京市海淀区)已知:如图,平行四边形ABCD 中,E 、F 分别是边BC 和AD 上的点,且BE =DF . 求证:△ABE ≌△CDF
证明:因为四边形ABCD 是平行四边形,
所以AB =CD ,∠B =∠D 在△ABE 和△CDF 中,
⎧AB =CD ⎪
⎨∠B =∠D ⎪BE =DF ⎩
所以△ABE ≌△CDF 49.(2006·济南市)现有若干张边长不相等但都大于4cm 的正方形纸片,从中任选一张,如图从距离正方形的四个顶点2cm 处,沿45°角画线,将正方形纸片分成5部分,则中
2
间阴影部分的面积是 8; cm到的阴影部分的面积是8cm
2
2cm
16题图 50. (2006·济南市)如图,在Rt △ABC 与 Rt△ABD 中,∠ABC=∠BAD=90°,AD=BC,AC,BD
相交于点G ,过点A 作AE ∥DB 交CB 的延长线于点E ,过点B 作BF ∥CA 交DA 的延长线于点F,AE,BF 相交于点H .
(1)图中有若干对三角形是全等的,请你任选一对进行证明;(不添加任何辅助线) (2)证明四边形AHBG 是菱形;
(3)若使四边形AHBG 是正方形,还需在Rt △ABC 的边长之间再添加一个什么条件?请你写出这个条件.(不必证明) F
24题
E B
解:(1)△ABC ≌△BAD .
AD =BC ,∠ABC =∠BAD =90,AB =BA , ∴△ABC ≌△BAD (SAS ) .
(2) AH ∥GB ,BH ∥GA ,∴四边形AHBG 是平行四边形.
∴GA =GB . △ABC ≌△BAD ,∴∠ABD =∠BAC ,
∴平行四边形AHBG 是菱形.
(3)需要添加的条件是AB =BC . 51.(2006·江阴市)如图, 把一个边长为1的正方形经过三次对折后沿中位线(虚线) 剪下, 则
右图展开得到的图形的面积为 ( A )
沿虚线剪开52. (2006·江阴市) 已知如图, 则不含阴影部分的矩形的个数是 (
A. 15 B.24 C.25 D.26 53.(2006·潍坊市
)已知平行四边形ABCD ,AD =a ,AB =b ,∠ABC =α.点F 为线段BC 上一点(端点B ,C 除外),连结AF ,AC ,连结DF ,并延长DF 交AB 的延长线于点E ,连结CE .
(1)当F 为BC 的中点时,求证△EFC 与△ABF 的面积相等;
(2)当F 为BC 上任意一点时,△EFC 与△ABF 的面积还相等吗?说明理由.
解:(1)证明: 点F 为BC 的中点,
3A .4 B. 2 C. D.16
3
1a
BC =, 22
又 BF ∥AD , ∴BE =AB =b , ∴A ,E 两点到BC 的距离相等,为b sin α,
1a 1
则S △ABF =b sin α=ab sin α,
2241a 1
S △EFC =b sin α·=ab sin α,
224∴BF =CF =
∴S △ABF =S △EFC .
(2)解:法一:当F 为BC 上任意一点时,设BF =x ,则FC =a -x ,
四边形ABCD 是平行四边形,
∴
BF BE x BE
=∴=, AD BE +AB a BE +b
bx
∴BE =,
a -x
在△EFC 中,FC 边上的高h 1=BE ·sin α,
bx s i αn
,
a -x 11bx s αi n 1
·h 1=(a -x ·=bx s αi ,n ∴S △EFC =FC 22a -x 2
∴h 1=
又在△ABF 中,BF 边上的高h 2=b sin α,
1
∴S △ABF =bx sin α,
2
∴S △EFC =S △ABF .
法二: ABCD 为平行四边形,
∴S △ABC =S △CDE =
1
ab sin α, 2
又 S △AFC =S △CDF ,
∴S △ABC -S △AFC =S △CDE -S △CDF ,
即S △ABF =S △EFC .
54.(2006·江阴市)已知平行四边形ABCD 中,点E 、F 分别在边AB 、BC 上. (1)若AB =10,AB 与CD 间距离为8,AE=EB,BF=FC,求△DEF 的面积. (2)若△ADE 、△BEF 、△CDF 的面积分别为5、3、4,求△DEF 的面积.
D C D C
解:⑴∵AB =10, AB与CD 间距离为8, ∴ SABCD =80
∵AE =BE ,BF =CF .
111
∴S △AED =ABCD ,S △BEF =S ABCD ,S △DCF =S ABCD
484
3
∴S △DEF =S ABCD -S △AED -S △BEF -S △DCF =S ABCD =30
88
⑵设AB =x ,AB 与CD 间距离为y ,由S △DCF =4知F 到CD
x 818
则F 到AB 的距离为y -,∴S △BEF (y 3,
x 2x 6x 6x x(xy-14)
∴BE =,AE =x -.
xy -8xy -8xy -8
11x(xy-14) 2
S △AED AE ×y ×y =5,得(xy )-24 xy+80=0
22xy -8xy =20或4
∵S ABCD =xy >S △AED =5,∴xy =4不合,∴xy =20
S △DEF =S ABCD -S △AED -S △BEF -S △DCF =20-5-3-4=8
55. (2006·攀枝花市)若等腰梯形两底之差等于一腰的长,那么这个梯形一内角是( B )
A. 90 B. 60 C. 45 D. 30
56. (2006·攀枝花市) 如图,AD=BC,要使四边形ABCD 是平行四边形,还需补 充的一个条件是: . ①AD //BC ②AB =CD ③
∠A +∠B =180︒④∠C +∠D =180︒
57.(2006·盐城市)在下列图形中,沿着虚线将长方形剪成两部分,
︒
︒
︒
︒
那么由这两部分既能拼成三角形,又能拼成平行四边形和梯形的可能是( C )
58.(2006·盐城市)已知平行四边形ABCD 的面积为4,O 为两对角线的交点,则△AOB 的面积是 . 1
59.(2006·盐城市)已知:如图,平行四边形ABCD 的对角线AC 的垂直平分线与边AD 、BC 分别相交于E 、F. 求证:四边形AFCE 是菱形.
证明:∵EF 垂直平分AC ,∴EF ⊥AC ,且AO =CO 证得:△AOE ≌△COF
证得:四边形AECF 是平行四边形 由AC ⊥EF 可知:四边形AECF 是菱形
60. (2006·诸暨市) 在四边形ABCD 中,对角线AC 与BD 相交于点E ,若AC 平分∠DAB,
1
AB=AE,AC=AD. 那么在下列四个结论中:(1) AC⊥BD;(2)BC=DE; (3)∠DBC= ∠DAB;
2
(4) △ABE是正三角形,正确的是 ( ) B A .(1)和(2) B.(2)和(3) C.(3)和(4) D.(1)和(4)
61.(2006·绍兴市)如图,设M 、N 分别是直角梯形ABCD 两腰AD 、CB 的中点,DE ⊥AB 于点E ,将△ADE 沿DE 翻折,M 与N 恰好重合,则AE ∶BE 等于( ) A A 、2∶1 B 、1∶2 C 、3∶2 D 、2∶3 62.(2006·日照市)如图,在平行四边形ABCD 中,AE⊥BC于E ,AF⊥CD于F ,∠EAF=45,且
AE+AF=,则平行四边形ABCD 的周长
o
是 .8; 63.(2006·十堰市)如图,将一张长方形纸片对折两次,然后剪下一个
(第7题图)
角,打开.如果要剪出一个正方形,那么剪口线与折痕成( C ) A.22.5角 C.45角
B.30角 D.60角
64.(2006·十堰市)如图甲,李叔叔想要检测雕塑底座正面四边形ABCD 是否为矩形,但他随身只带了有刻度的卷尺,请你设计一种方案,帮助李叔叔检测四边形ABCD 是否为矩形(图乙供设计备用).
解:方案如下:
①用卷尺分别比较AB 与CD ,AD 与BC 的长度,当AB =CD ,且AD =BC 时,四边形ABCD 为平行四边形;否则四边形ABCD C D 不是平行四边形,从而不是矩形.
A B
②当四边形ABCD 是平行四边形时,用卷尺比较对角线AC 与BD (图甲)
C D 的长度.当AC =BD 时,四边形ABCD 是矩形;否则四边形ABCD
不是矩形.
65(2006·眉山市)、有若干张如图所示的正方形和长方形卡片,如
A
(图乙)
B
果要拼一个长为(2a + b),宽为(a + b)的矩形,则需要A 类卡片 张,B 类卡片 张,C 类卡片 张,请你在右下角的大矩形中画出一种拼法. 2,1,3
66.(2006·枣庄市)在下列图形中,沿着虚线将长方形剪成两部分,那么由这两部分既能拼成平行四边形又能拼成三角形和梯形的是( D )
00
67. (2006·枣庄市)两个全等的含30, 60角的三角板ADE 和三角板ABC 如图所示放置,E,A,C 三点在一条直线上,连结BD ,取BD 的中点M ,连结ME ,MC .试判断△EMC 的形状,并说明理由.
解:△EMC 是等腰直角三角形. 证明:由题意,得
DE=AC,∠DAE +∠BAC90.
∠DAB=90.
连接AM .∵DM=MB ∴MA=
10
DB=DM,∠MDA=∠MAB=45. 2
∴∠MDE=∠MAC=105∴△EDM ≌△CAM
∴EM=MC, ∠DME=∠AMC
又∠EMC=∠EMA+∠AMC=∠EMA+∠DME=90 ∴CM ⊥EM
所以△EMC 是等腰直角三角形 68.(2006·长沙市)如图,四边形ABCD 中,AB ∥CD , 要使四边形ABCD 为平行四边形,则应添加的条件是 (添加一个条件即可).AB =CD 或AD ∥BC 等
D
C
第 769.(2006·长沙市)如图,已知等腰梯形ABCD 中,AD ∥BC ,
AD
=2,BC =8,则此等腰梯形的周长为(D )
A.19 C.21
B.20 D.22
70.(2006
·河北省)如图6,在四边形ABCD 中,AB=CD,BC=AD, 若∠A=110°,则∠C= °.110
图6
71.(2006·河北省)小宇同学在一次手工制作活动中,先把一张矩形纸片按图5—1的方式
进行折叠,使折痕的左侧部分比右侧部分短1cm ;展开后按图5—2的方式再折叠一次,使第二次折痕的左侧部分比右侧部分长1cm ,再展开后,在纸上形成的两条折痕之间的距离是( B )
左右 左 右 第一次折叠 第二次折叠
图5-1 图5-2
A .0.5cm B .1cm C .1.5cm D .2cm 72.(2006·衡阳市)下列说法:①对角线相等的梯形是等腰梯形;②对角线互相垂直的矩形是正方形.其中( )B
A、①正确,②不正确 B、①、②都正确 C.①、②都不正确 D.①不正确,②正确 73.(2006·衡阳市)已知,如图中,AB ⊥AC ,AB=1,BC=5 ,对角线AC 、BD 交于0点,将直线AC 绕点0
顺时针旋转,分别交BC 、AD 于点E 、F
(1)证明:当旋转角为90°时,四边形ABEF 是平行四边形; (2)试说明在旋转过程中,线段AF 与EC 总保持相等;
(3)在旋转过程中,四边形BEDF 可能是菱形吗? 如果不能,请说明理由;如果能,说明理由并求出此时AC 绕点0顺时针旋转的度数。
(1)证明:当AOF=90°时,AB ∥EF 又∵AF ∥BE ,
∴四边形ABEF 为平行四边形
(2)证明: ∵四边形ABCD 为平行四边形
∴ AO=CO,∠FAO=∠ECO ,∠AOF=∠COE ΔAOF ≌ΔCOE ∴AF=EC
(3)四边形BEDF 可以是菱形. 理由:如图,连接BF 、DE
由(2)知ΔAOF ≌ΔCOE ,得OE=OF ∴EF 与BD 互相平分
当EF ⊥BD 时,四边形BEDF 为菱形 在Rt ΔABC 中,AC= =2
∴OA=1=AB 又AB ⊥AC . ∴∠AOB=45° ∴∠AOF=45°
∴AC 绕点O 顺时针旋转45°时,四边形BEDF 为菱形
74. (2006·锦州市)将下列各纸片沿虚线剪开后,能拼成右图的是( C
)
75. (2006·锦州市)如图,在梯形ABCD 中,AD∥BC,AD=a,BC=b.若E 1、F 1分别是AB 、DC 的中点,则是当
的中点,则分别是
的中点,则
;若
分别是
的中点,
;若
分别;
根据上述规律猜想E n F n =____(n≥1,n 为整数).
76. (2006·遂宁市) 如图在梯形ABCD 中, ∠DCB=90;AB ∥CD,
AB=25,BC=24.将该梯形折叠, 点A 愉好与点D 重合,BE 为折痕, 那么AD 的长度为_________.
_ _ D
77. (2006·遂宁市) 如图, 已知点M 、N 分别是平行四边形、、DC 的中点, 求证: ∠DAN=∠BCM.
78.(2006·浙江省)如图,在菱形ABCD 中,E 、
F
分别是
AB
、
CD
的中点,
如果
EF=2,那么ABCD 的周长是( D ) A .4 B.8 C .12 D.16
_ B
_ C
_ _ N
79.(2006·浙江省) 现有一张长和宽之比为2:1的长方形纸片,将它折两次
(第一次折后也可打开铺平再者第二次),使得折痕将纸片分为面积相等 且不重叠的四个部分(称为一次操作),如图甲(虚线表示折痕). (甲) 除图甲外,请你再给出三种不同的操作,分别将折痕画在图①至 ...图③中(规定:一个操作得到的四个图形,和另一个操作得到的 四个图形,如果能够“配对”得到四组全等的图形,那么就认为是 (乙) 相同的操作,如图乙和图甲示相同的操作).
① ②
80. (2006·南京市)在平面直角坐标系中,□ABCD 的顶点A 、B 、D 的坐标分别是(0,0),(5,0),(2,3),则顶点C 的坐标是 ( C )
A . (3,7) B . (5,3) C . (7,3) D . (8,2)
81. (2006·南京市) 已知:如图,□ABCD 中,E 、F 分别是AB 、CD 的中点.
求证:(1)△AFD ≌CEB ;
(2)四边形AECF 是平行四边形.
82. (2006·荆门市)[尝试]如图, 把一个等腰直角△ABC 沿斜边上的中线CD(裁剪线) 剪一刀, 把分割成的两部分拼成一个四边形A ′BCD, 如示意图(1).(以下有画图要求的, 工具不限, 不必写画法和证明)
(1)猜一猜:四边形A ′BCD 一定是__________;
(2)试一试:按上述的裁剪方法, 请你拼一个与图(1)不同的四边形, 并在图(2)中画出示意图.
③
[探究]在等腰直角△ABC 中, 请你沿一条中位线(裁剪线) 剪一刀, 把分割成的两部分拼成一个特殊四边形.
(1)想一想:你能拼得的特殊四边形分别是________________;(写出两种)
(2)画一画:请分别在图(3)、图(4)中画出你拼得的这两个特殊四边形的示意图.
[拓广]在等腰直角△ABC 中, 请你沿一条与中线、中位线不同的裁剪线剪一刀, 把分割成的两部分拼成一个特殊四边形.
(1)变一变:你确定的裁剪线是________________,(写出一种) 拼得的特殊四边形是______; (2)拼一拼:请在图(5)中画出你拼得的这个特殊四边形的示意图. 解:[尝试]①平行四边形;1分 ②如图(1)所示.3分
[探究]①平行四边形、矩形或者等腰梯形,(答其中两个即可) ②如图(2)、(3)、(4)、(5)所示.(画其中两个即可)
[拓广]①直角梯形, 将斜边上的呣绕斜边中点旋转任意角度所得的直线; 或者将平行于BC 边(直角边) 的中位线平移与AC 交于点D, 使
的直线; 或者将平行于AB 边(斜边) 的中位线平移与AC 交于点D, 使
的直线.
说明:裁剪线只答一种即可. 其它叙述方式只要表达正确都应给分. ②如图(6)、(7)、(8)所示.(画其中一个即可)
4. (2006·资阳市)正方形、矩形、菱形都具有的特征是( )A A .对角线互相平分 C .对角线互相垂直
B .对角线相等
D .对角线平分一组对角
15. (2006·资阳市)如图4,已知点E 在面积为4的平行四边形ABCD 的边上运动,使△ABE 的面积为1的点E 共有_______个 . 2
83. (2006·资阳市) (1) 填空:如图8-1,在正方形PQRS 中,已知点M 、N 分别在边QR 、RS 上,且QM=RN,连结PN 、SM 相交于点O ,则∠
O
图
4
图8-1 图8-2
POM=_____度 .
(2) 如图8-2,在等腰梯形ABCD 中,已知AB ∥CD ,BC=CD,∠ABC=60°. 以此为部分条件,构造一个与上述命题类似的正确命题并加以证明.
(1) 90 .
(2) 构造的命题为:已知等腰梯形ABCD 中,AB ∥CD ,且BC=CD,∠ABC=60°,若点E 、F 分别在BC 、CD 上,且BE=CF,连结AF 、DE 相交于G ,则∠AGE=120°.
证明:由已知,在等腰梯形ABCD 中,AB ∥CD ,且BC=DA,∠ABC=60° , ∴∠ADC=∠C=120°.
∵BC=CD,BE=CF,∴CE=DF.
⎧⎪DC =AD ,
在△DCE 和△ADF 中,⎨∠C =∠ADF =120︒,
⎪⎩CE =DF ,
∴ △DCE ≌△ADF(S.A.S.) ,∴∠CDE=∠DAF . 又 ∠DAF+∠AFD=180°-∠ADC=60° ,∴∠CDE+∠AFD=60° , ∴∠AGE=∠DGF=180°-(∠CDE+∠AFD)=180°-60°=120° . 84.(2006·鄂尔多斯市)如图4,在直角梯形ABCD 中,∠ABC =90 ,DC ∥AB ,BC =3,DC =4,AD =5.动
点P 从B 点出发,由B →C →D →A 沿边运动,则△ABP
的最大面积为( )B
A.10 B.12 C.14 D.16 85.(2006·鄂尔多斯市)如图6,将一张等腰直角三角形纸片
沿中位线剪开可以拼出不同形状的四边形,请写出其中两个不同的四边形的名称: .等腰梯形、矩形(长方形)、平行四边形中任选两个即可
86. (2006·鄂尔多斯市)如图12,在△ABC 中,
图6
∠ACB =90 ,BC 的垂直平分线EF 交BC 于D ,交AB
于E ,且CF =BE .
(1)求证:四边形BECF 是菱形.
(2)当∠A 的大小满足什么条件时,菱形BECF 是正方形?请回答并证明你的结论. (1)证法一:如图2
∵EF 垂直平分BC ,∴BE =EC ,BF =CF
=C =F ∵C F =B E ∴B E =E C
∴四边形BECF 是菱形 证法二:如图2
∵EF 垂直平分BC ,∴BD =DC ,EF ⊥BC
D C F ∵B E =C F ∴△B E ≌△ ∴D E =D F
∴四边形BECF 是菱形 (2)解法一:
当∠A =45时,菱形BECF 是正方形. ∵∠A =45,∠ACB =90 ∴∠EBC =45
图2
2∠E B 2C = ∴∠E B F =
∴菱形BECF 是正方形.
解法二:
4⨯5
=9
当∠A =45时,菱形BECF 是正方形. ∵∠A =45,∠ACB =90 ∴EBC =45
BE =EC ∴∠ECB =∠EBC =45
∴∠BEC =90 菱形BECF 是正方形.
87.(2006·南平市)命题“平行四边形的对角线互相平分”的逆命题是角线互相平分的四边形是平行四边形 88.(2006·南平市)如图, □ ABCD 中,BD 是对角线,E 、F 是BD 上的点,且BE=DF,请写出图中一对全等的三角形 .△ABF ≌△CDE ,或△ADF ≌△CBE 或△ABD ≌△CBD
89.(2006·南平市)矩形ABCD 中,AB =22,将角D 与角C 分别沿过A 和B 的直线AE 、BF 向内折叠,使点D 、C 重合于点G ,且∠EGF =∠AGB ,则AD = . 2
90.(2006·泉州市)如图,在矩形ABCD 中,E 、F 分别是BC 、AD 上的点,且BE=DF.
求证:△ABE ≌△CDF.
证明:∵四边形ABCD 是矩形 ∴AB=AD,∠B=∠D=90° 在△ABE 和△CDF 中 AB=AD
∠B=∠D BE=DF ∴△ABE ≌△
CDF
91.(2006·贺州市)如图7,O 是菱形ABCD 的对角线AC ,BD
,OC 的中点.下列结论:①的交点,E ,F 分别是OA
B
E
C
D
D
B
图7
S △ADE =S △EOD ;②四边形BFDE 是中心对称图形;③△DEF 是轴对称图形;④
∠ADE =∠EDO .其中错误的结论有( ).A ..
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 92.(2006·娄底市)如图,在平行四边形中,点E ,F 是对角线BD 上两点,且BF =DE .
(1)写出图中每一对你认为全等的三角形;
(2)选择(1)中的任意一对全等三角形进行证明. 解:(1)△ABD ≌△CDB ;△ABF ≌△CDE ;△ADF ≌△CBE (2)分组.
93. (2006·芜湖市)对角线互相垂直平分的四边形一定是( )B
A 、矩形 B、 菱形 C、等腰梯形 D、直角梯形 94.(2006·湘西自治州)下列命题: ①对角线相等的四边形是矩形 ②三个角对应相等的两个三角形全等 ③同角的补角相等 ④全等三角形对应边相等 则正确命题的个数是( ) B A.1个 B.2个 C.3个
D.4个 95.(2006·湘西自治州)如图:在梯形ABCD 中,AD ∥BC ,AB =CD ,E ,F ,G ,H 分别为
AB ,BC ,CD ,DA 的中点.小王根据以上条件猜测出四边形EFGH 是菱形,你同意他的意见吗?请回答并说明理由.
答:同意.
理由如下:连结AC ,BD
因为在梯形ABCD 中,AD ∥BC ,AB =CD 所以AC =BD
又因为E ,F ,G ,H 分别为AB ,BC ,CD ,DA 的中点, 所以在△ABC ,△ACD ,△DAB ,△BCD 中分别有:
11
AC ,EH =FG =BD 22
所以EF =GH =EH =FG 所以四边形EFGH 是菱形. EF =GH =
96.(2006·伊春市)如图,E 、F 分别是正方形ABCD 的边CD 、AD 上的点,且CE=DF,AE 、BF 相交于点D ,下列结论①AE=BF;②AE⊥BF ;③ AO=OE; ④S △AOB =S四边形DEOF 中,错误的有( ) A
(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个
(第18题) (第20题)
97.(2006·伊春市)如图,在矩形ABCD 中,EF∥AB,GH∥BC,EF 、GH 的交点P 在BD 上,图中面积相等的四边形有( ) C
(A)3对 (B)4对 (C)5对 (D)6对
98.(2006·郴州市)如图6,菱形ABCD 中,E ,F 分别为BC ,CD 上的点,且CE =CF .求证:AE =AF .
证明:因为四边形ABCD 是菱形,所以AB =BC =CD =AD ,∠B =∠D B 因为CE =CF ,所以BE =DF 在△ABE 与△ADF 中,
D F
E 图
6
C
⎧AB =AD ⎪
因为⎨∠B =∠D ,所以△ABE ≌△ADF 所以AE =AF .
⎪BE =DF ⎩
99.(2006·郴州市)如图7,
矩形纸片ABCD 的边长分别为a ,b (a
a
b
图7
C
图8
D
PQ .(P 在BC 上),使顶
点C 落在四边形APCD 内
''一点C ,PC 的延长线交直线AD 于M ,再将纸片
的另一部分翻折,使A 落在直线PM 上一点A ',且图9
A 'M 所在直线与PM 所在直线重合(如图9)折痕为MN . (1)猜想两折痕PQ ,MN 之间的位置关系,并加以证明.
图10
(2)若∠QPC 的角度在每次翻折的过程中保持不变,则每次翻折后,两折痕PQ ,MN 间的距离有何变化?请说明理由.
(3)若∠QPC 的角度在每次翻折的过程中都为45(如图10),每次翻折后,非重叠部分的四边形MC 'QD ,及四边形BPA 'N 的周长与a ,b 有何关系,为什么?
解:(1)PN ∥MN
因为四边形ABCD 是矩形,所以AD ∥BC ,且M 在AD 直线上,则有AM ∥BC 所以∠AMP =∠MPC ,由翻折可得:∠MPQ =∠CPQ =
1
∠MPC , 2
1
∠NMP =∠AMN =∠AMP ,所以∠MPQ =∠NMP ,故PQ ∥MN .
2
(2)两折痕PQ ,MN 间的距离不变
sin ∠PMH , 过P 作PH ⊥MN ,则PH =PM
因为∠QPC 的角度不变,所以∠C 'PC 的角度也不变,则所有的PM 都是平行的 又因为AD ∥BC ,所以所有的PM 都是相等的 又因为∠PMH =∠QPC ,故PH 的长不变. (3)当∠QPC =45 时,四边形PCQC '是正方形,
四边形C 'QDM 是矩形.
因为C 'Q =CD ,C 'Q +QD =a , 所以矩形C 'QDM 的周长为2a .
同理可得矩形BPA 'N 的周长为2a ,所以两个四边形的周长都为2a ,与b 无关.
100.(2006·定西市)如图,M 为正方形ABCD 边AB 的中点,E 是AB 延长线上的一点,MN ⊥DM ,且交∠CBE 的平分线于N .
C D (1)求证:MD =MN ; (2)若将上述条件中的“M 为AB 边的中点”改为“M 为AB 边上任意一点”,其余条件不变,则结论“MD =MN ”成立吗?
N 如果成立,请证明;如果不成立,说明理由.
A B M E
证明:(1)取AD 的中点F ,连结FM .
易证∠FDM =∠BMN ,∠DFM =∠MBN ,DF =MB , ∴△DFM ≌△MBN ∴DM =MN .
D C
F A M B
N
E
D C
F 'N
A M B
E
(2)结论“DM =MN ”仍成立. 证明如下:
在AD 上截取AF '=AM ,连结F 'M .
DF '=AD -AF ',MB =AB -AM ,AD =AB ,AF '=AM ,
∴D F '=M B .
∠F 'DM +∠DMA =∠BMN +∠DMA =90 , ∴∠F 'DM =∠BMN .
又∠DF 'M =∠MBN =135 ,
∴△DF 'M ≌△MBN . ∴DM =MN .
101. (2006·仙桃市,潜江市,江汉油田)如图,在△ABC 中,D 为BC 边的中点,过D 点分别作DE ∥AB 交AC 于点E ,DF ∥AC 交AB 于点F . (1)证明:△BDF ≌△DCE ;
(2)如果给△ABC 添加一个条件,使四边形AFDE 成为菱形,则该条是 ; 如果给△ABC 添加一个条件,使四边形AFDE 成为矩形,则该条件是 . (均不再增添辅助线) 请选择一个结论进行证明. A (1)证明: ∵DE ∥AB
∴ ∠EDC =∠FBD
F E ∵DF ∥AC ∴∠FDB =∠ECD
又∵BD =DC ∴∆BDF ≌∆DCE AB =AC 或BC =AC 或BA =BC ;∠A =90°或∠B =90°(2)
或∠C =90° B C D ① 证明:∵DE ∥AB DF ∥AC ∴四边形AFDE 为平行四边形
题图) (第19又∵AB =AC ∴ ∠B =∠C ∴∠EDC =∠C ∴
ED =EC
由∆BDF ≌∆DCE 可得:FD =EC ∴ED =FD ∴四边形AFDE 为菱形
② 证明:同理可证四边形AFDE 为平行四边形
∵∠A =90∴四边形AFDE 为矩形 102.(2006·宿迁市)如图,在□ABCD 中,AE 、BF 分别平分∠DAB 和∠ABC ,交CD 于点E 、F ,AE 、BF 相交于点M .
(1)试说明:AE ⊥BF ;
(2)判断线段DF 与CE 的大小关系,并予以说明.
F E 解:(1)方法一:如图① C ∵在□ ABCD中,AD ∥BC
∴∠DAB +∠ABC =180°
A ∵AE 、BF 分别平分∠DAB 和∠ABC (第23题)
∴∠DAB =2∠BAE ,∠ABC =2∠ABF ∴2∠BAE +2∠ABF =180°
即∠BAE +∠ABF =90° ∴∠AMB =90° ∴AE ⊥BF .
F E F C
A A 图② 图①
方法二:如图②,延长BC 、AE 相交于点P ∵在□ABCD 中,AD∥BC ∴∠DAP=∠APB ∵AE平分∠DAB ∴∠DAP=∠PAB ∴∠APB=∠PAB ∴AB=BP
∵BF平分∠ABP ∴:AP⊥BF 即AE⊥BF.
(2)方法一:线段DF 与CE 是相等关系,即DF =CE ∵在□ABCD 中,CD ∥AB ∴∠DEA =∠EAB 又∵AE 平分∠DAB ∴∠DAE =∠EAB ∴∠DEA =∠DAE ∴DE =AD
同理可得,CF =BC 又∵在□ABCD 中,AD =BC ∴DE =CF
∴DE -EF =CF -EF 即DF =CE .
方法二:如右图, 延长BC 、AE 设交于点P ,延长AD 、BF 相交于点O ∵在□ABCD 中,AD∥BC
O ∵AE平分∠DAB ∴∠DAP=∠PAB ∴∠APB=∠PAB ∴BP=
AB
A 同理可得,AO =AB ∴AO =BP
∵在□ABCD 中,AD =BC ∴OD =PC
又∵在□ABCD 中,DC ∥AB
∴△ODF ∽△OAB ,△PCE ∽△PBA
OD DF PC EC
=,= OA AB PB AB
∴DF =CE . ∴
103. (2006·邵阳市)如图(七),在矩形ABCD 中,AB =6,BC =8。将矩形ABCD 沿CE 折叠后,使点D 恰好落在对角线AC 上的点F 处。
(1)求EF 的长;
(2)求梯形ABCE 的面积。
解:如图(七),设EF =x
依题意知:△CDE ≌△CFE ∴DE =EF =x ,CF =CD =6
AC =
62+82=10
∴AF =AC -CF =4,AE =AD -DE =8-x 在Rt ∆AEF 中,有AE 2=AF 2+EF 2 即(8-x ) 2=42+x 2
∴x =3
即EF =3
(2)由(1)知:AE =8-3=5
∴S 梯形ABCE =
(AE +BC ) ·AB (5+8) ⨯6
==39
22
104. (2006·邵阳市)如图(十),E 、F 是平行四边形ABCD 对角线BD 上的两点,
给出下列三个条件:①BE =DF ;②∠AEB =∠DFC ;③AF ∥EC 。请你从中选择一个适当的条件___________________,使四边形AECF 是平行四边形,并证明你的结论。
. 选择条件:BE =DF
证明:连AC 交BD 于O 点
∵平行四边形ABCD 中,AC 、BD 为对角线 ∴OA =OC ,OB =OD 又BE =DF ,∴OE =OF
A
D
∴AECF 是平行四边形
105.(2006·新疆)如图,等腰梯形ABCD 下底与上底的差恰好等于腰长,DE ∥AB .则∠DEC 等于( )B A.75° B.60° C.45° D.30° 106.(2006·新疆)如图,已知菱形的两条对角线长为
b (拼出一种图形即可);在此过程中,你能发现菱形的面积与a ,b 的关系吗?
B
E
拼法(1) 拼法(2)
1⎫11⎛1
S 菱形=S 矩形(1) = a +a ⎪⨯b =ab ,
2⎭22⎝2
或S 菱形=S 矩形(2) = b +
⎛1⎝21⎫11
b ⎪⨯a =ab .
2⎭22
结论:菱形的面积等于两对角线乘积的一半.
107.(2006·张家界)如图是用若干个全等的等腰梯形拼成的图形,下列说法错误的是( )D
A.梯形的下底是上底的两倍 C.梯形的腰与上底相等
B.梯形最大角是120 D.梯形的底角是60
108.(2006·张家界)用边长为1的正方形材料制作的七巧板拼成一幅土家摆手舞图案,其中舞者头部占整个身体面积的___________.
1
8
109.(2006·张家界)如图,已知□ABCD 的对角线AC ,BD 相交于点O ,BD 绕点O 顺时针旋转交AB ,DC 于E ,F . (1)证明:四边形BFDE 是平行四边形.
(2)BD 绕点O 顺时针旋转_________度时,平行四边形
BFDE 为菱形?请说明理由. (1)证明: 四边形ABCD 是平行四边形
∴OB =OD AB ∥CD ∴∠OBE =∠ODF
又∠BOE =∠DOF
△BOE ≌△DOF ∴ ∴OE =OF 且OB =OD ∴四边形BFDE 是平行四边形 (2)BD 绕点O 顺时针旋转90度时,平行四边形BFDE 是菱形 证明: 四边形BFDE 是平行四边形 又∠DOF =90
∴FE ⊥BD
∴平行四边形BFDE 是菱形
110.(2006·梅州市)如图1,把矩形ABCD 沿EF 对折,若∠1=50,则
∠AEF 等于( )A A.115 C.120
A
B.130 D.65
D
1
B
F
图1
C
111.(2006·梅州市)能使平行四边形ABCD 为正方形的条件是 .(填上一个符合题目要求的条件即可)AC =BD 且AC ⊥BD 或AB =BC 且AB ⊥BC 等 112.(2006·潍坊市) 小明家准备建造长为28米的蔬菜大棚,示意图如图(1).它的横截面为如图(2)所示的四边形ABCD ,已知AB =3米,BC =6米,∠BCD =45︒,AB ⊥BC ,D 到BC 的距离DE 为1米.矩形棚顶ADD 'A '及矩形DCC 'D '由钢架及塑料薄膜制作,造价为每平方米120元,其它部分(保温墙体等)造价共9250元,则这个大棚的总造价为多少元?(精确到1元)
===2.245.39=5.83)
A '
'
C ' A
B E
图1
解:过D 作DF ⊥AB 于F ,
⊥B ,C ∴DF ∥BC , A B
又 DE ⊥BC ,∴DE ∥AB ,
∴四边形BEDF 为矩形,
1=,DF =BE , ∴D E =B F
A
B
图2
E
A
又
∠BCD =45,∴CE =1,CD , 又BC =6,∴DF =BE =5,
在Rt △AFD 中,AF =2,DF =5,
∴AD =
∴S 四边形A
S 四边形D
'D 'D
F D
C
E
=29,5 . 39 50. 91,
=2≈8
'C 'C
=2≈8 9 . 53,
∴总造价为(150.9+39.5) ⨯120+9250≈32098(元).
113.(2006·深圳市)如图 ,在梯形ABCD 中,AD ∥BC, AB=DC=DA,∠ADC=120°.(1)求证: BD⊥CD;
(2) 若 AB =4,求梯形ABCD 的面积. (1)略;(2)12
114.(2006·济南市)如图,一张长方形纸片沿AB 对折,
C B 以AB 的中点O 为顶点,将平角五等分,并沿五等分线
折叠,再从点C 处剪开,使展开后的图形为正五边形,则剪开线与OC 的夹角∠OCD 为( )C
A.126
8题图
B.108
C.90
D.72
115.(2006·茂名市)下列各图中,沿着虚线将正方形剪成两部分,那么由这两部分既能拼成平行四边形,又能拼成下角形和梯形的是( B )
116. (2006·益阳市)在平面直角坐标系中,点A 、B 、C 的坐标分别为A (-2,1), B
(-3,-1),C (1,-1). 若四边形ABCD 为平行四边形,那么点D 的坐标是 . (2,1) 117. (2006·益阳市)如图9,平面上的四边形ABCD 是一只“风筝”的骨架,其中AB =AD ,CB =CD.
(1)九年级王云同学观察了这个“风筝”的骨架后,他认为四边形ABCD 的两条对角线AC ⊥BD ,垂足为E ,并且BE =ED ,你同意王云同学的判断吗?请充分说明理由; (2)设对角线AC =a ,BD =b ,请用含a,b 的式子表示四边形ABCD 的面积. 解:(1)王云同学的判断是正确的. 理由是,根据题设,
∵AB =AD ,∵点A 在BD 的垂直平分线上.
∵CB =CD ,∴点C 在BD 的垂直平分线上.
∴AC 为BD 的垂直平分线,BE =DE ,AC ⊥BD. (2)由(1)得AC ⊥BD. ∴
S ABCD =S ∆CBD +S ∆ABD =
11
BD ⋅CE +BD ⋅AE 22
=
11
BD ⋅AC =ab . 22
118.(2006·云南省)己知:如图,菱形ABCD 中,∠B=600,AB =4,则以AC 为边长的正方形ACEF 的周长为 . 16