微分几何习题2
06-04
微分几何习题(二)
一. 填空题
1. 向量函数r (t ) 具有固定长度的充要条件是 . .
2. 单参数球面族x 2
3. 曲面xyz
4. 曲线r +(y -λ) +(z -2λ) 22=1的包络为=1上的与平面4x -y +2z =0平行的切平面方程为3={cost , sin 3t , cos 2t }的主法向量β=
二. 简答题
1. 叙述空间曲线论的基本定理.
2. 写出可展曲面的性质.
三. 计算题
1. 求曲线r =a (3t -t ), 3at , a (3t +t ) ,则π与S 的交线的曲率为{323} (a >0) 的曲率和挠率.
2. 求球面r =R {cos θcos ϕ, cos θsin ϕ, sin θ}的面积.
={a (u +v ), b (u -v ), 2uv }的Gauss 3. 求双曲抛物面r
四. 证明题 曲率和平均曲
1. 证明:若一条正则曲线的曲率处处不是零,并且它在各点的密切平面都经过一个固定点,则它必定落在一个平面上.
2. 若两个曲面S 1,S 2交于一条曲线(C ) ,S 1,S 2沿着(C ) 相交成固定角,而且(C ) 是S 1的一条曲率线,证明(C ) 也是S 2的曲率线.
3. 证明若曲面的两族渐近曲线交于定角,则曲面S 的Gauss 曲率K 和平均曲率H 的平方之比为一个常数.
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