大学高等数学重点知识
很重要的高等数学公式
高等数学中很重要的两个极限公式
常用的8个等价无穷小公式： 当x→0时， sinx~x tanx~x arcsinx~x arctanx~x
1-cosx~1/2*（x^2） （e^x）-1~x ln(1+x)~x
[(1+x)^1/n]-1~（1/n）*x 二. 导数与微分
熟悉函数的可导性与连续性的关系 求高阶导数会运用两边同取对数 隐函数的显化 会求由参数方程确定的函数的导数
三. 微分中值定理与导数的应用：
洛必达法则：
利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意：
① 在着手求极限以前，首先要检查是否满足或 型，否则滥用洛必达法则会出错. 当不存在时（不包括∞情形），就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则失效，应从另外途径求极限 . ② 洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止.
③ 洛必达法则是求未定式极限的有效工具，但是如果仅用洛必达法则，往往计算会十分繁琐，因此一定要与其他方法相结合，比如及时将非零极限的乘积因子分离出来以简化计算、
乘积因子用等价量替换等等. 曲线的凹凸性与拐点：
注意：首先看定义域然后判断函数的单调区间 求极值和最值
利用公式判断在指定区间内的凹凸性或者用函数的二阶导数判断（注意二阶导数的符号） 四. 不定积分：（要求：将例题重新做一遍） 对原函数的理解
第一类函数积分法：即将有关代数式取代dx 后面的x ，继续化简，得出结果 2 第二类换元法（三角代换 无理代换 倒代换） 3 分部积分法
f(x)中含有
可考虑用代换
很重要的几个导数公式：记住
(tgx ) '=sec x (ctgx ) '=-csc 2x (secx ) '=sec x ⋅tgx (cscx ) '=-csc x ⋅ctgx (a x ) '=a x ln a (loga x ) '=
2
(arcsinx ) '=
1
1x ln a
-x 2
1
(arccosx ) '=-
-x 21
(arctgx ) '=
1+x 2
1
(arcctgx ) '=-
1+x 2
⎰tgxdx =-ln cos x +C ⎰ctgxdx =ln sin x +C
⎰sec xdx =ln sec x +tgx +C ⎰csc xdx =ln csc x -ctgx +C
dx 1x
=arctg +C ⎰a 2+x 2a a dx 1x -a
=ln ⎰x 2-a 22a x +a +C dx 1a +x
=⎰a 2-x 22a ln a -x +C dx x
=arcsin +C ⎰a 2-x 2
a
π
2
n
dx 2
=sec 2⎰cos x ⎰xdx =tgx +C dx 2
=csc ⎰sin 2x ⎰xdx =-ctgx +C
⎰sec x ⋅tgx dx =sec x +C
⎰csc x ⋅ctgxdx =-csc x +C
a x
⎰a dx =ln a +C
x
⎰shxdx =chx +C ⎰chxdx =shx +C ⎰
dx x 2±a 2
=ln(x +x 2±a 2) +C
π
2
I n =⎰sin xdx =⎰cos n xdx =
n -1
I n -2n
⎰⎰⎰
x 2a 22
x +a dx =x +a +ln(x +x 2+a 2) +C
22x 2a 2222
x -a dx =x -a -ln x +x 2-a 2+C
22x a 2x 2222
a -x dx =a -x +arcsin +C
22a
2
2
基本积分表：
三角函数的有理式积分：
2u 1-u 2x 2du
， cos x =， u =tg ， dx ={ EMBED Equation.3 |sin x =
21+u 21+u 21+u 2
一些初等函数： 两个重要极限：
e x -e -x
双曲正弦:shx =
2e x +e -x
双曲余弦:chx =
2
shx e x -e -x
双曲正切:thx ==
chx e x +e -x arshx =ln(x +x 2+1）archx =±ln(x +x 2-1) 11+x
arthx =ln
21-x
三角函数公式： ·诱导公式：
lim
sin x
=1
x →0x
1
lim (1+) x =e =2. [**************]... x →∞x
·和差角公式： ·和差化积公式：
sin(α±β) =sin αcos β±cos αsin βcos(α±β) =cos αcos β sin αsin βtg (α±β) =
tg α±tg β
1 tg α⋅tg βctg α⋅ctg β 1
ctg (α±β) =
ctg β±ctg α
sin α+sin β=2sin
α+β
22α+βα-β
sin α-sin β=2cos sin
22α+βα-β
cos α+cos β=2cos cos
22α+βα-β
cos α-cos β=2sin sin
22
cos
α-β
·倍角公式：
sin 2α=2sin αcos α
cos 2α=2cos 2α-1=1-2sin 2α=cos 2α-sin 2αctg 2α-1
ctg 2α=
2ctg α2tg α
tg 2α=
1-tg 2α
·半角公式：
·正弦定理： ·余弦定理：
·反三角函数性质：
高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式：
中值定理与导数应用：
曲率：
定积分的近似计算：
定积分应用相关公式：
空间解析几何和向量代数：
多元函数微分法及应用
微分法在几何上的应用： 方向导数与梯度：
多元函数的极值及其求法：
重积分及其应用： 柱面坐标和球面坐标： 曲线积分：
曲面积分： 高斯公式：
sin 3α=3sin α-4sin 3αcos 3α=4cos 3α-3cos α3tg α-tg 3αtg 3α=
1-3tg 2α
斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系：
常数项级数：
级数审敛法：
绝对收敛与条件收敛：
幂级数：
函数展开成幂级数： 一些函数展开成幂级数：
欧拉公式：
三角级数：
傅立叶级数：
周期为的周期函数的傅立叶级数：
微分方程的相关概念： 一阶线性微分方程：
全微分方程：
二阶微分方程：
二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：