[平面几何]知识要点(答案)

初中数学《平面几何》知识要点

一、平行线与三角形

1．平行线的判定与性质

（1）同位角相等⇔两直线平行； （2）内错角相等⇔两直线平行； （3）同旁内角互补⇔两直线平行． 注意：证明平行线的方法还有：

（4）平行于（或垂直于）同一直线的两直线平行； （5）平行四边形对边平行；

（6）三角形（梯形）的中位线平行于第三边（上下底）；

（7）一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得对应线段成比例，则这条直线平行于第三边． 2．三角形的一般性质

（1）三个内角的和等于180度；

（2）一个外角等于与它不相邻的两内角的和；一个外角大于与它不相邻的内角． （3）两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； 3．全等三角形

（1）能够互相重合的两个三角形叫全等三角形． （2）判定两个三角形全等的一般方法可简记为 ①SSS ，②SAS ，③ASA ，④AAS ．

特别地，两直角三角形全等还可用HL ． （3）全等三角形性质有

①对应边相等，②对应角相等，③对应线段（中线、角平分线、高）相等，④面积相等．

注意：①全等的判定条件中至少有一边等，②对一般三角形而言，“边、边、角”和“角、角、角”不一定全等．

二、等腰三角形和直角三角形

1．线段中垂线、角平分线的性质

（1）线段垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等．

它的逆定理是到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上． （2）角平分线上的点到角的两边距离相等.

它的逆定理是（在角内部）到角的两边距离相等的点在角的平分线上． 2．等腰三角形的性质

（1）△ABC 中，AB =AC ⇔∠B =∠C ．（“等边对等角”、“等角对等边”）

判定 （2）等腰三角形底边上、及顶角三线合一． 3．等边三角形的性质

（1）△ABC 中，AB =AC =BC ⇔∠A =∠B =∠C ．

判定性质

性质

A

S 正∆ABC =

32

． a （其中a 是正三角形的 边长 ）

4

B a C

（2）有一个角为度的等腰三角形是等边三角形．

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4．直角三角形的性质

（1）Rt △ABC 中，∠C =90︒⇔∠A +∠B =

判定

性质

性质

a 90° ．

A

（勾股定理） ∠C =90︒⇔(AC ) 2+(BC ) 2=(AB ) 2．

判定

（2）Rt △ABC 中，CM 是斜边上的中线⇔AM =BM =CM =1AB ．

判定2

性质

B

M

若Rt △ABC 中，∠C =90°，则有∠A =30°⇔AB BC ．

A C

三、平行四边形的性质

（1）

（2）平行四边形的（1）对角（2）对边（3）对边，（4）

对角线 互相平分 ．

（3）要证明四边形是平行四边形，可以证（1）两组对边（2）两组对边，（3）两组对角，（4）一组对边平行且相等，（5）对角线 互相平分 ．

注意：平行四边形一定是中心对称图形，但不一定是轴对称图形．

四、矩形、菱形、正方形的性质和判定

1．矩形、菱形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质． 2．矩形的四个角．

3．菱形的四条边，且每条对角线． S 棱形=边长⨯高=

1

对角线的乘积． 2

2

4．正方形同时具有S 正方形=(边长) =

1

(对角线 ) 2 2

5．矩形、菱形和正方形的判定．

五、梯形

1．梯形的中位线：平行于的一半．

2．梯形高为h ，上、下底分别为a 、b ，则梯形面积S 梯形(a +b ) h h ，中位线为m ，则梯形 S 梯形． 3相等⇔等腰梯形．或相等⇔等腰梯形．还有相等⇔等腰梯形．

思考：

梯形中常用的辅助线有哪些？

六、相似三角形

1、比例线段

（1）如果d 是a 、b 、c 的第四比例项，则其比例式是 a ：b=c：d ． （2）如果b 是a 和c 的比例中项，则a : b = b ：c ．

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（3）比例的基本性质：

a c =b d

⇔AP （短）BP （长）5-1

==

BP （长）AB （全）2

（4）线段的黄金分割点：点P 为线段AB 的黄金分割点（AP

如图，AB ∥CD ∥EF ，则（上、下、全对应成比例） ．

2、相似三角形

1．定义：对应角，对应边⇒两三角形相似．

2．相似三角形的判定

（1）如图，ΔABC 中，DE ∥BC 且交AB 、AC 所在的直线于D 、E ，则△ ADE ∽△ ABC ．（DE 可能在哪

些位置，画出图形．）

A （2）两角对应⇒两三角形相似．

（3）两边且相等⇒两三角形相似．

E

（4）三边⇒两三角形相似．

（5）斜边与一条直角边⇒ 两个 B C

3．相似三角形的性质

⎧⎪(1) 对应线段(高, 中线, 角平分线) 及周长的比等于相似比

相似三角形⇒⎨

⎪⎩(2) 面积的比等于相似比的平方

七、解直角三角形

1．锐角三角比：

（1）锐角三角比定义：在Rt △ABC 中，∠C=90°，a ，b ，c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，则

A

a a b a b

sinA= ，cosA= ，tanA= ，cotA= ．

c c b a

（2）特殊角的三角比：

（注意识记的方法）

2．解直角三角形的依据：如图，在△ABC 中，∠C =90°．

（1）三边之间的关系： a 2＋b 22．

B

（2）锐角之间的关系：∠A ＋∠B ． D

c （3）边角之间的关系： a

（4）面积S ∆ABC

11

=ab =ch ．

22

A b C

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3．在实际问题中解直角三角形． （1）坡角和坡度

A 坡面与水平面的夹角叫做坡角．如图中的∠A ．

坡面的垂直高度h 与水平宽度l 的比叫做坡度，用i 表示， 图中，坡度i =(h ) =tan A ．（一般写成1：m 的形式）

(l )

h

l

视线

（2）仰角和俯角

视线与水平线的夹角叫做视角．视线在水平线 上方 的视角叫做仰角； 视线在水平线 下方 的视角叫做仰角；

角角

视线

水平线

八、圆的概念和性质

1．用点的集合来定义圆、圆的内部、圆的外部，从而推出了点与圆的位置关系：

点在圆外⇔d > r ，点在圆上⇔d = r ，点在圆内⇔d

（2）由圆是中心对称图形，并且具有旋转不变性（圆绕其圆心旋转任意大小的角度，都能与原图形重合）推出圆

心角、弧、弦、弦心距四者相等关系定理及推论．

4．（1）垂径定理：垂直于弦的直径

⎧

⎫⎪⎬⇒⎨

CD ⊥AB 于E ⎭⎪

⎩CD 是直径CD 是直径AE =BE

⎧⎫

⎪⎪

⎬⇒⎨

⎪(AB 不是直径) ⎪⎭⎩

总结：

一条直线如果具有①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优（劣）弧； 四个条件中的任意两个，就能推出其余两个。

（2）圆心角、弧、弦、弦心距关系定理：在 同圆 或 等圆 中，相等的圆心角所对

的弧 相等 ，所对的弦 相等 ，所对应的弦的弦心距 相等 ．

总结：

在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦、弦心距四组量中， 只要任意一组量相等，其余三组量也分别对应相等。

九、直线和圆的位置关系

1．由直线和圆的公共点个数定义直线和圆的位置关系：

直线和圆：（1）有两个公共点时，叫做直线和圆 相交 ；（2）有唯一公共点时，叫做直线和圆 相切 ；

（3）没有公共点时，叫做直线和圆 相离 ．

d d l d

l

l

相离

相切

相交

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2．由圆心到直线的距离d 与圆半径r 大小的比较来判断直线与圆的位置关系： （1）直线和圆相交⇔d r ； （2）直线和圆相切⇔d r ；

（3）直线和圆相离⇔d > r ．

3．切线的判定：

（1）若圆心到直线的距离等于，则这条直线是圆的切线． （2）经过半径，并且 思考：要证明一条直线是圆的切线何时用判定（1）？何时用判定（2）？ 4．切线的性质：圆的切线经过切点的半径；

思考：如何作辅助线应用切线性质解题?

O d r l

十、圆和圆的位置关系

两圆外离、外切、相交、内切、内含等5种位置关系是通过两圆的相对运动，观察两圆的相对位置和公共点的个

数来定义的．

1．两圆五种位置关系的判定方法：

设⊙O 1，和⊙O 2的半径分别为R 、r （R ＞ r ），两圆心的

距离

O 1O 2=d

，那么两圆的位置关系为：

（1）两圆外离⇔d

R ＋r ； （2）两圆

⇔

d =R ＋r ；

外离外切

（3）两圆相交⇔R －r ＜d ＜R ＋r ； （4）两圆⇔d =R －r ； （5）两圆 内含 ⇔d ＜R －r ．

思考：两圆同心与两圆内含有何关系？

相交内切内含

2．两圆位置关系的有关性质：

（1）相切（内、外切）两圆的连心线 经过 切点．

（2）相交两圆的连心线 垂直平分 它们的公共弦．

十一、圆周长，面积，弧长，扇形面积，弓形面积计算公式：

（r 表示半径，n 表示扇形中弧所对的圆心角） 圆周长：C =2πr 圆面积：S =πr2

n

弧长：l =⋅2πr

360

n πr 21

扇形面积：S 扇形==lr

3602

弓形面积：S 弓形AB =S 扇形OAB －S △AOB 或S 弓形AB =S 扇形OAmB ＋S △AOB ．

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十二、正多边形与圆：

1．多边形的内角和、外角和

n 边形的内角和，n 边形的外角和

2．正多边形的对称性

（1）正n 边是轴对称图形，有n 条对称轴；

360︒

（2）正n 边形是旋转对称图形，最小旋转角为 ；

n

（3）当n 为偶数，正n 边形是中心对称图形；

3．正多边形与圆 （1）正多边形的中心: 一个正多边形的外接圆的圆心 ；（点O ） （2）正多边形的中心角: 正多边形的每一条边所对的圆心角 ；（∠EOF=

360

︒

n

C

（3）正多边形的半径

: 外接圆的半径；（OE 等）

（4）正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离（内切圆半径：

OH ）；

正多边形的中心:一个正多边形的外接圆的圆心（5）与正多边形有关的计算： 正多边形的中心角:正多边形的每一条边所对的圆心角

正多边形的半径:外接圆的半径. 如果正n 边形的边数给定，已知它的边长、半径、边心距中的任意一项，都可以求出其它各项

正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离.

最终，转化成解直角三角形的问题.

（内切圆半径）

F

C

面积S =

1L ∙边心距（r ）=na ∙边心距（r ）22

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