非常好的数字推理题

数字推理题

∙ 比较不错的题目！ ∙

∙

例1、 李明、王宁、张虎三个男同学都各有一个妹妹，六个人在一起打羽毛球，举行混合双打比赛。事先规定，兄妹二人不许搭伴。

第一盘，李明和小华对张虎和小红；

第二盘，张虎和小林对李明和王宁的妹妹；

请判断，小华、小红和小林各是谁的妹妹。

[分析]：

张虎和小红、小林都搭伴比赛，根据已知条件，兄妹二人不许搭伴，所以张虎的妹妹不是小红和小林，那么只能是小华，剩下就只有两种可能： 第一种可能是：李明的妹妹是小红，王宁是妹妹是小林；

第二种可能是：李明的妹妹是小林，王宁的妹妹是小红。

对于第一种可能，第二盘比赛是张虎和小林对李明和王宁的妹妹。那么成了三个人打混合比赛了，不符合实际，所以第一种可能不成立的，只有第二种可能是合理的。

例2、“迎春杯”数学竞赛后，甲、乙、丙、丁四名同学猜测他们之中谁能获奖。甲说：“如果我能获奖，那么乙也能获奖。” 乙说：“如果我能获奖，那么丙也能获奖。”丙说：“如果丁没获奖，那么我也不能获奖。”实际上，他们之中只有一个人没有获奖。并且甲、乙、丙说的话都是正确的。那么没能获奖的同学是（„„）？

[分析] 首先根椐丙说的话以可以推知, 丁必能获奖。否则，假设丁没有获奖，那么丙也没获奖，这与“他们之中只有一人没有获奖”矛盾。 其次，考虑甲是否获奖，假设甲能获奖，那么根椐甲说的话可以推知，乙也能获奖；再根椐乙说的话又可以推知丙也能获奖，这样就得出4个人全都能获奖，不可能。因此，只有甲没有获奖。

例3、数学竞赛后，小明、小华、小强各获得一枚奖牌，其中一人得金牌，一人得银牌，一个得铜牌。王老师猜测：“小明得金牌；小华不得金牌；小强不得铜牌。”得果王老师只猜对了一个。那么小明得（）牌，小华得（ ）牌，小强得（ ）牌。

[分析] 1、若“小明得金牌”时，小华一定“不得金牌”，这与“王老师只猜对一个”相矛盾。

2、若小明得银牌时，再以小华得奖情况分别讨论。如果小华得金牌，小强得铜牌那么王老师没有猜对一个，不合题意。如果小华得铜牌，小强得金牌，那么王老师猜对了两个，也不合题意。

3、若小明得铜牌时，仍以小华得奖情况分别讨论。如果小华得金牌，

小强得银牌，那么王老师只猜对小强得奖牌的名次，符合题意；如果小华得银牌，小强得金牌，那么王老师猜对了两个，不合题意。

还原与年龄 1. 某数加上6，乘以6，减去6，除以6，其结果等于6，则这个数是多少？

解答：（6×6+6）÷6-6=1，这个数是1.

2. 两个两位数相加，其中一个加数是73，另一个加数不知道，只知道另一个加数的十位数字增加5，个位数字增加1，那么求得的和的后两位数字是72，问另一个加数原来是多少？

解答：和的后两位数字是72，说明另一个加数变成了99，所以原来的加数是99-51=48.

3. 有砖26块，兄弟二人争着去挑。弟弟抢在前面，刚摆好砖，哥哥赶到了。哥哥看弟弟挑的太多，就抢过一半。弟弟不肯，又从哥哥那儿抢走一半。哥哥不服，弟弟只好给哥哥5块，这时哥哥比弟弟多挑2块。问最初弟弟准备挑多少块？

解答：先算出最后各挑几块：（和差问题）哥哥是（26+2）÷2=14，弟弟是26-14=12，然后来还原：1. 哥哥还给弟弟5块：哥哥是14-5=9，弟弟是12+5=17；2. 弟弟把抢走的一半还给哥哥：抢走了一半，那么剩下的就是另一半，所以哥哥就应该是9+9=18，弟弟是17-9=8；3. 哥哥把抢走的一半还给弟弟：那么弟弟原来就是8+8=16块.

4. 甲、乙、丙三人钱数各不相同，甲最多，他拿出一些钱给乙和丙，使乙和丙的钱数都比原来增加了两倍，结果乙的钱最多；接着乙拿出一些钱给甲和丙，使甲和丙的钱数都比原来增加了两倍，结果丙的钱最多；最后丙拿出一些钱给甲和乙，使甲和乙的钱数都比原来增加了两倍，结果三人钱数一样多了。如果他们三人共有81元，那么三人原来的钱分别是多少元？

解答：三人最后一样多，所以都是81÷3=27元，然后我们开始还原：

1. 甲和乙把钱还给丙：每人增加2倍，就应该是原来的3倍，所以甲和乙都是27÷3=9，丙是81-9-9=63；2. 甲和丙把钱还给乙：甲9÷3=3，丙63÷3=21，乙81-3-21=57；3. 最后是乙和丙把钱还给甲：乙57÷3=19，丙21÷3=7，甲81-19-7=55元.

5. 甲、乙、丙三人各有糖豆若干粒，甲从乙处取来一些，使自己的糖豆增加了一倍；接着乙从丙处取来一些，使自己的糖豆也增加了一倍；丙再从甲处取来一些，也使自己的糖豆增加了一倍。现在三人的糖豆一样多。如果开始时甲有51粒糖豆，那么乙最开始有多少粒糖豆？ 解答：先假设后来三个人都是4份，还原后得到甲、乙、丙分别是3份，5份，4份，实际上甲原来有51粒，51÷3=17，那么我们可以把1份看成17粒，所以乙最开始有糖豆17×5=85粒.

7/23/2005

6. 有一筐苹果，把它们三等分后还剩2个苹果；取出其中两份，将它们三等分后还剩两个；然后再取出其中两份，又将这两份三等分后还剩2个。问：这筐苹果至少有几个？

解答：如果最后的1份只有1个的话，我们很快就可以发现前面的1份就是（1×3+2）÷2=2.5个，这是不可能的，所以最后的那一份至少是2个，那么这筐苹果原来至少有：[（2×3+2）÷2×3+2] ÷2×3=2=23

个.

7. 今年父亲的年龄是儿子的5倍，15年后，父亲的年龄是儿子年龄的2倍，问：现在父子的年龄各是多少岁？

解答：今年父子的年龄差是儿子的5-1=4倍，15年后父子的年龄差是儿子的2-1=1倍，这说明在过了15年后，儿子的年龄是现在的四倍，根据差倍问题的公式可以计算出儿子今年的年龄是15÷（4-1）=5岁，父亲今年是5×5=25岁.

8. 有老师和甲乙丙三个学生，现在老师的年龄刚好是三个学生的年龄和；9年后，老师年龄为甲、乙两个学生的年龄和；又3年后，老师年龄为甲、丙两个学生的年龄和；再3年后，老师年龄为乙、丙两个学生的年龄和。求现在各人的年龄。

解答：老师=甲+乙+丙，老师+9=甲+9+乙+9，比较一下这两个条件，很快得到丙的年龄是9岁；同理可以得到乙是9+3=12岁，甲是9+3+3=15岁，老师是9+12+15=36岁.

9. 全家4口人，父亲比母亲大3岁，姐姐比弟弟大2岁。四年前他们全家的年龄和为58岁，而现在是73岁。问：现在各人的年龄是多少？ 解答：73-58=15≠4×4，我们知道四个人四年应该增长了4×4=16岁，但实际上只增长了15岁，为什么呢？是因为在4年前，弟弟还没有出生，那么弟弟今年应该是几岁呢？我们可以这样想：父亲、母亲、姐姐三个人4年增长了12岁，15-12=3，3就是弟弟的年龄！那么很快能得到姐姐是3+2=5岁，父母今年的年龄和是73-3-5=65岁，根据和差问题，就可以得到父亲是（65+3）÷2=34岁，母亲是65-34=31岁.

10. 学生问老师多少岁，老师说：“当我象你这么大时，你刚3岁；当你象我这么大时，我已经39岁了。”求老师与学生的年龄。

解答：老师的这句话表示3，学生年龄，老师年龄，39这4个数是一个等差数列，即学生年龄-3=老师年龄－学生年龄=39-老师年龄，我们可以先求出这个差是多少：（39-3）÷3=12，所以学生年龄是3+12=15岁，老师年龄是15+12=27岁.

11. 哥哥现在的年龄是弟弟当年年龄的3倍，哥哥当年的年龄与弟弟现在的年龄相同，哥哥与弟弟现在的年龄和为30岁。问：哥哥现在多少岁？

解答：假设弟弟当年年龄是1份，那么哥哥现在的年龄就是3份，因为哥哥当年的年龄与弟弟现在的年龄相同，因为弟弟当年年龄，弟弟现在年龄（=哥哥当年年龄），哥哥现在年龄这三个数是等差的，所以弟弟现在年龄（=哥哥当年年龄）就刚好是2份，那么兄弟现在的年龄和是3+2=5份，一份就是30÷5=6，哥哥现在是6×3=18岁.

12. 梁老师问陈老师有多少子女，她说：“现在我和爱人的年龄和是子女年龄和的6倍；两年前，我们的年龄和是子女年龄和的10倍；六年后，我们的年龄和是子女年龄和的3倍。”问陈老师有多少子女。 解答：2年前，年龄差是子女年龄和的10-1=9倍；今年，年龄差是子女年龄和的6-1=5倍；6年后，年龄差是子女年龄和的3-1=2倍。这个时候可以看到这个题中的年龄差不是一定的，否则年龄差是9，5，2倍数，至少是90，这是不合常理的，也就是说子女个数不会是2个。如果这个题目不用方程的话，我想最好的方法就是先假设陈老师有1个子女，很

快就会得到矛盾，最后可以算出陈老师是3个子女。本题推荐使用方程求解！

13. 今年是1996年。父母的年龄和是78岁，兄弟的年龄和是17岁。四年后，父的年龄是弟的4倍，母的年龄是兄的年龄的3倍。那么当父的年龄是兄的年龄的3倍时是公元哪一年？

解答：四年后，父母的年龄和是78+8=86岁，兄弟的年龄和是17+8=25岁，父=弟×4，母=兄×3，那么父+母=弟×4+兄×3=3×（弟+兄）+弟，即86=3×25+弟，所以弟是11岁，兄是25-11=14岁，父是11×4=44岁，母是14×3=42岁（以上都是4年后的年龄，即公元2000年），很显然再过1年后父亲45岁，兄是15岁，父亲是哥哥年龄的3倍，所以答案就是公元2001年.

14. 甲、乙、丙三人现在岁数的和是113岁，当甲的岁数是乙的岁数的一半时，丙是38岁，当乙的岁数是丙的岁数的一半时，甲是17岁，那么乙现在是多少岁？

解答：假设当甲的岁数是乙的岁数的一半时，甲是a 岁，乙就是2×a岁，丙38岁；当甲17岁的时候，注意到甲乙的年龄差不变，都是a ，所以乙是17+a岁，那么丙是乙的2倍，就是2×（17+a），再根据甲丙的年龄差可以得到：38-a=2×（17+a）-17，由此可以得到a 是等于7的，所以在某一年，甲7岁，乙14岁，丙38岁，和是7+14+38=59岁，（113-59）÷3=18，再过18年后，三人年龄和是113岁，所以乙今年的年龄是14+18=32岁.

15. 今年，祖父的年龄是小明的年龄的6倍。几年后，祖父的年龄将是小明年龄的5倍。又过几年以后，祖父的年龄将是小明年龄的4倍。求：祖父今年是多少岁？

解答：观察年龄差：今年的年龄差是小明年龄的5倍；几年后的年龄差是小明当时年龄的4倍；又过几年以后的年龄差是小明年龄的3倍，所以年龄差是5，4，3的倍数，很快就能得到年龄差应该是60（当然不可能是120，180等等），今年小明的年龄是：60÷（6-1）=12岁，那么祖父就是12+60=72岁.

---------------抽屉原则

抽屉原则，又叫狄利克雷原则，它是一个重要而又基本的数学原理，应用它可以解决各种有趣的问题，并且常常能够得到令人惊奇的结果，许多看起来相当复杂，甚至无从下手的问题，利用它能很容易得到解决．那么，什么是抽屉原则呢？我们先从一个最简单的例子谈起． 将三个苹果放到两只抽屉里，想一想，可能会有什么样的结果呢？要么在一只抽屉里放两个苹果，而另一只抽屉里放一个苹果；要么一只抽屉里放有三个苹果，而另一只抽屉里不放．这两种情况可用一句话概括：一定有一只抽屉里放入了两个或两个以上的苹果．虽然哪只抽屉里放入至少两个苹果我们无法断定，但这是无关紧要的，重要的是有这样一只抽屉放入了两个或两个以上的苹果．

如果我们将上面问题做一下变动，例如不是将三个苹果放入两只抽屉里，而是将八个苹果放到七只抽屉里，我们不难发现，这八个苹果无论以怎样的方式放入抽屉，仍然一定会有一只抽屉里至少有两个苹果． 如果将上述问题中的苹果换成兔子、糖果、书本或数，同时，将抽

屉相应地换成兔笼、小孩、学生或数的集合，仍然可以得到相同的结论．由此可以看出，上面推理的正确性与具体的事物是没有关系的．如果我们把一切可以与苹果互换的事物称为元素，而把一切可以与抽屉互换的事物叫做集合，那么上面的结论就可以叙述为：八个元素以任意方式分到七个集合之中，一定有一个集合中至少有两个元素．

同样，苹果与抽屉的具体数目也是无关紧要的，只要苹果的数量比抽屉的数量多，推理依然成立．

通过上面的分析，我们可以将上面问题中包含的基本原理写成下面的一般形式．

抽屉原理（一）：把多于几个的元素按任一确定的方式分成几个集合，那么一定至少有一个集合中，至少含有两个元素．

应用抽屉原理来解题，首先要审题，即分清什么作为“元素”，什么做为“抽屉”；其次要根据题目的条件和结论，结合有关的数学知识，来设计抽屉，在应用抽屉原理解题时，正确地设计抽屉是解题的关键． 下面，我们先来看一看如何运用这一原则解决日常生活中的一些有趣的问题．

例1 在某个单位里，任意选出13个人，则这13个人至少有两个人的属相相同．

证明 属相一共有12种，不妨假设12种属相为12个“抽屉”，而将13个人当作13个“苹果”．根据抽屉原则知，有一只“抽屉“里至少放入了两个“苹果”，也就是说，至少有两个人的属相相同．

例2 求证同一年出生的四百个人中，一定有两个人的生日相同． 分析 也许有的同学看了这个问题以后会说，只要查一查这四百个人的户口就知道了，如果我们规定不能查户口，那么，怎样才能说明其中的道理呢？其实，完全没有必要查看户口，我们只要将一年中的每一天看作一只“抽屉”，而将每一个人的生日看作一个“苹果”，这样，运用抽屉原则就可以很方便地解答此问题．

证明 把一年中的三百六十五天（闰年三百六十六天）中的每一天看作一个“抽屉”，将四百人的每一个人的生日看成一个“苹果”，由于“苹果”数目多于“抽屉”数目，根据抽屉原则可知，一定有一个“抽屉”里至少有两个“苹果”．也就是说，至少有两个人的生日相同． 例3 有红、黄、绿三种颜色的小球各四颗混放在一只盒子里，为了保证一次能取到两颗颜色相同的小球，一次至少要取几颗？

解答 将三种不同的颜色看作三个抽屉，为了保证一次能取到两颗颜色相同的小球，即要求至少有两颗小球出自同一抽屉，因此一次至少要取4颗小球．

例4 某班有30名学生，班里建立一个小书库，同学们可以任意借阅，问小书库中至少要有多少本书，才能保证至少有一个同学一次能至少借到两本书？

解答 将30名同学看作30个“抽屉”，而将书看作“苹果”，根据抽屉原则，“苹果”数目要比“抽屉”数目大，才能保证至少有一个抽屉里有两个或两个以上的“苹果”，因此，小书库中至少要有31本书，才能保证至少有一位同学一次能借到两本或两本以上的图书． 以上四例中有关“抽屉”和“苹果”的选择比较简单．但在很多情

况下，“抽屉”和“苹果”并非一下子就能选好，而是要进行认真的分析与思考才能找到，有时“抽屉”和“苹果”的数目也不是现成的，需要我们通过分析，才能计算出结果．

例5 红色，黄色，绿色的球各6个，混杂地放在一起，要想闭着眼睛从中取出颜色不同的两对球，问至少要取多少才能保证达到要求？ 分析 这个问题不能象前四例那样一下就能找到“抽屉”和“苹果”，从而直接运用抽屉原则来解决．由于各种颜色的球混合在一起，我们又是闭着眼睛取球，这样，如果取出的球数不多于6个，就有可能取出的球都是同一种颜色，这是最不利的情况，因此，要保证取出颜色不同的两对球，取出的球数必须超过6个，为了保证达到要求，我们从最坏的情况出发，取出的球中有6个都是同一种颜色，这样，问题就变成了怎样才能使余下的球中保证有两个是同颜色的．这时剩下的颜色只有两种，把两种颜色当作两只“抽屉”，而将球当作“苹果”，根据抽屉原则，只要有三个球，就能保证其中有两个是同颜色的，即在最不利的情况下，只要取出9个球，就能保证其中一定有两对颜色不同的小球，在其它情况下，就更无问题了．

答：至少要取出9个球才能达到要求．

例6 在某班学生中，有8个人都订阅了《小朋友》，《少年报》，《儿童时代》中的一种或几种，问：这8个人中至少有几个人所订的报刊种类完全相同？

解答 8位同学订阅的报刊种类可分成如下7类：｛小朋友｝，｛少年报｝，｛儿童时代｝，｛小朋友，少年报｝，｛小朋友，儿童时代｝，｛少年报，儿童时代｝，｛小朋友，少年报，儿童时代｝

我们将这七类看作七个抽屉，订阅相同种类报刊的学生“放到”同一抽屉中，因为8=1×7＋1，即有1＋1=2个订阅相同种类报刊的学生“放到”同一抽屉中，即至少有两名学生订阅的报刊种类完全相同． 在上一课中，我们学习了抽屉原则（一），通过学习我们可以发现，很多表面看来很难说清楚的问题，通过我们合理地构造抽屉，都可用抽屉原则〈一〉巧妙地进行解决．抽屉原理除去我们在上一课中所接触的结论，还有以下更一般的结论．

抽屉原则（二）：

----把多于m×n个物体放到n 个抽屉里，那么一定有一个抽屉里有m ＋1个或者m ＋1个以上的物体．

我感觉应该是M 个或M+1或M+1个以上

例题分析：

例1 某班组织全班45人进行体育比赛，项目有A 、B 、C 三项，规定每人至少参加一项，最多参加两项，至少有几个人参加的项目完全相同？

解：按要求，我们将比赛项目分组：｛A ｝，｛B ｝，｛C ｝，｛A ，B ｝，｛A ，C ｝，｛B ，C ｝．

我们将上述6种情况看作6个“抽屉”，由于45=6×7＋3，根据抽屉原则〈二〉，至少有8个人参加的项目完全相同．( 本人观点:这种情况, 如果班级里只有42个人, 即42=6*7,那么至少有7个人参加的项目完全相同, 也就是说这里余下的3个只能增加一种可能)

问题：在上述问题中，如果规定每个人必须参加，且只能参加一项比赛，情况如何？如果不加限制条件呢？

例2 在一次钓鱼比赛中共有100人参加，比赛结束后，裁判宣布最少的钓了7条鱼，最多的钓了20条鱼，问这100人中，至少有几个人钓的鱼一样多？

解答：这100个人所钓的鱼按条数分为14种情况，将每一种情况看作一个抽屉，将100个人任意放入这14个抽屉中，由于100=7×14＋2，由抽屉原则〈二〉可知，至少有8个人钓的鱼条数一样．

例3 某班学生40人开展读书比赛活动，他们从学校图书馆借书，要保证其中至少有一人一次能借到5本书，图书馆至少应为这个班准备多少本书？

解答：将这个班的40个人看作40个“抽屉”，将图书馆为他们准备的书看作“苹果”，要使40个抽屉中至少有一个抽屉里放入了5个苹果，根据抽屉原则〈二〉可知，苹果数至少应为40×4+1，即：图书馆至少应为这个班的学生准备161本书．

例4 将25支笔放入六个铅笔盒中，证明至少有一个铅笔盒中放入了不少于5支笔．

证明，将六个铅笔盒看作六个“抽屉”，将25支笔看作“苹果”，由于25=4×6＋1，根据抽屉原则〈二〉，至少有一个铅笔盒中放入的笔不少于5支．

以上几例抽屉和苹果均较明显，解决起来比较方便，而有些问题，抽屉和苹果较隐蔽，要想将问题解决，需要我们通过分析，合理地构造抽屉，才能使问题得到解决．

例5 某单位购进一批桔子共计90箱，每箱至少110个，至多138个，现将桔子数相同的箱子作为一组，箱子数最多的一组至少有几箱桔子？

解答：根据题意，由于每箱至少110个，至多138个，按每箱的桔子个数，可构造29个“抽屉”，将90个元素放入到29个抽屉中，由抽屉原则〈二〉可知，箱子数最多的一组，至少有4箱桔子．

例6 某年级共有学生300人，年龄最大的15岁，最小的13岁，问：其中至少有多少人是同年同月出生的？

解答：根据题意，在这300名学生中，年龄最大的和年龄最小的相差三个年份，共计36个月份，将这36个月份看作36个抽屉，那么，将300个元素投放到36个抽屉中．

因为300=8×36＋12．所以必有不少于9个元素在同一抽屉中． 即：其中至少有9名同学是同年同月出生的．

............... 时钟间题

.... 时针的速度是分针速度的1/12，所以分针每分钟比时针多走11/12格。

例1:现在是3点，什么时候时针与分针第一次重合？

[分析]

....3点时分针与时针相差15格，要使分针与时针重合，即要分针比时针多走15格，才能追上时针。而分针每分钟比时针多走11/12格，所以

....15/（11/12）=16又4/11（分） .

例2:在10点与11点之间，钟面上时针与分针在什么时刻垂直？

[分析]

..... （1）、第一种情况：10点时分针与时针相差10格，要使分针与时针垂直，分针要比时针相差15格才行，所以分针要多走5格后才能与时针垂直。

.....5/（11/12）=5又5/11(分）

..... （2）、第二种情况：第二次垂直，分针要比时针多走50-15=35格，所以

.....35/(11/12)=38又2/11(分） .

例3:在9点与10点之间的什么时刻，分针与时针在一条直线上？

[分析]

..... 分针与时针成180度角时，分针与时针相差30格，而9点时分针与时针相差15格，所以要分针多走15格。

.....15/（11/12）=16又4/11（分）

[练习]：1、小明在7点与8点之间解了一道题，开始时分针与时针正好成一条直线，解完题时两针正好重合，小明解题的起始时间？小明解题共用了多少时间？

---例1：某人到食堂去买饭，主食有三种，副食有五种，他主食和副食各买一种，共有多少种不同的买法？

分析：某人买饭要分两步完成，即先买一种主食，再买一种副食。其中，买主食有3种不同的方法，买副食有5种不同的方法。故可以由乘法原理解决：

解：由乘法原理，主食和副食各买一种共有3×5=15种不同的方法。 ---例2：书架上有6本不同的外语书，４本不同语文书，从中任取外语、语文书各一本，有多少本不同的取法？

分析：要做的事情是从外语、语文书中各取一本。完成它要分两步：即先取一本外语书（有６种取法），再取一本语文书（有４种取法）。所以，用乘法原理解决。

解：从架上各取一本共有６×４＝２４种不同的取法。

---例３：由数字０、１、２、３组成的三位数，问：

（１）、可组成多少个不相等的三位数？

（２）、可组成多少个没有重复数字的三位数？

分析：在确定由０、１、２、３组成的三位数的过程中，应该一位一位地去确定。所以，每个问题都可以看成是分三个步骤来完成。

（１）：要求组成不相等的三位数。所以，数字可以重复使用，百位上，不能取０，故有３种不同的取法；十位上，可以在四个数字中任取一个，有４种不同的取法；个位上，也有４种不同的取法，由乘法原理，共可组成３×４×４＝４８个不相等的三位数。

（２）：要求组成的三位数中没有重复数字，百位上，不能取０，有３种不同的取法；十位上，由于百位上已在１、２、３中取走一个，故只剩下０和其它两个数字，故有３种取法；个位上，由于百位和十位已各取走一个数字，故只能在剩下的两个数字中取，有２种取法，由乘法原理，共有３×３×２＝１８个没有重复数字的三位数。

---例４：现有一角的人民币４张，贰角的人民币２张，壹元的人民币３张，如果从中至少取一张，至多取９张，那么，共可以配成多少种不同的钱数？

分析：要从三种面值的人民币中任取几张，构成一个钱数，需一步一步地来做。如先取一解的，再取贰角的，最后取壹元的。但注意到，取２张一角的人民币和取１张贰角的人民币，得到的钱数是相同的。这就会产生重复，如何解决这一问题呢？我们可以把壹角的人民币４张和贰角的人民币２张统一起来考虑。即从中取出几张组成一种面值，看共可以组成多少种。分析得知，共可以组成从壹角到捌角间的任何一种面值，共８种情况。整个问题就变成了从８张壹角的人民币和３张壹元的人民币中分别取钱。这样，第一步，从８张壹角的人民币中取，共９种取法，即０、１、２、３、４、５、６、７、８；第二步，从３张壹元的人民币中取共４种取法，即０、１、２、３. 由乘法原理，共有９×４＝３６种情形，但注意到，要求“至少取一张”而现在包含了一张都不取的这一种情形，应减掉。所以有３５种不同的情形。

---例1：学校组织读书活动，要求每个同学读一本书。小明到图书馆借书时，图书馆有不同的外语书150本，不同的科技书200本，不同的小说100本。那么，小明借一本书可以有多少种不同的选法？

分析：在这个问题中，小明选一本书有三类方法。即要么选外语书，要么选科技书，要么选小说。所以，是就用加法原理的问题。 解：小明借一本书共有：150+200+100=450（种）不同的选法。

---例2：一个口袋内装有3个小球，另一个口袋内装有8个小球，所有这些小球颜色各不相同。

问：（1）、从两个口袋内任取一个小球，有多少种不同的取法？ （２）、从两个口袋内各取一个小球，有多少种不同的取法？ 分析：（１）、从两个口袋中只需取一个小球，则这个小球要么从第一个口袋中取，要么从第二个口袋中取，共有两大类方法。所以是加法原理的问题。

（２）、要从两个口袋中各取一个小球，则可看成先从第一个口袋中取一个，再从第二个口袋中取一个，分两步完成，是乘法原理的问题。 解（１）：３＋８＝１１（种）

（２）：３×８＝２４（种）

---例３：有两个相同的正方体，每个正方体的六个面上分别标有数字１、２、３、４、５、６。将两个正方体放到桌面上，向上的一面数字之和为偶数的有多少种情形？

分析：要使两个数字之和为偶数，只要这两个数字的奇偶性相同，即这两个数字同为奇数，要么同为偶数，所以，要分两大类来考虑。

第一类：两个数字同为奇数。由于放两个正方体可认为是一个一个地放。放第一个正方体时，出现奇数有三种可能，即１，３，５；放第二个正方体，出现奇数也有三种可能，由乘法原理，这时共有３×３＝９种不同的情形。

第二类：两个数字同为偶数，类似第一类的讨论方法，也有９种不同的情形。

所以，最后再由加法原理即可求解。９＋９＝１８（种）

植树问题的解题要点:

(1) 在没有封闭的线路(如:一条直线, 折线半圆等) 上植树, 由于头尾两端都可以种植一棵树, 应比要分的段数多1, 棵数=段数+1=全长÷株距+1

(2) 如果两端已经种树(或两端不必种树) 再在树间种树时, 则种树的棵数应比可分的段数少1, 棵数=段数-1=全长÷株距-1

(3) 在封闭线路(如:圆, 正方形, 长方形, 闭合曲线等) 上种树, 因为头尾两端重合在一起, 所以种树的棵数, 就等于可分的段数。棵数=段数=全长÷株距

---------------巧求四位数

---有一个四位数3AA1，它能被9整除，请问数A 代表几？（1980年美国长岛小学数学竞赛试题）

分析与解：

---已知四位数3AA1能被9整除，那么它的数字和（3＋A ＋A ＋1）一定是9的倍数。因为A 是一个数字，只能是0、1、2、3、„„、9中的某一个整数，最大值只能是9。若A=9，那么3＋A ＋A ＋1＝22，22＜27，所以3AA1的各位数字和只能是9的1倍或2倍，即9或18。 当3＋A ＋A ＋1＝9时，A=2.5，不合题意。

当3＋A ＋A+1=18时，A=7，符合题意，所以A 代表7，这个四位数是3771。

例2 只有1和它本身为约数的数叫质数，例如2、3、5、7、11„„都是质数。如果一个长方形的长和宽均为质数个单位，并且周长是36个单位，那么这个长方形的面积最多可以是多少个平方单位？（1990年美国小学数学奥林匹克邀请赛试题）

分析与解：

假设这个长方形的面积最大时长为A 个单位，宽为B 个单位。根据题意可知：

（A ＋B ）×2=36 因此，A ＋B ＝18 长方形的面积S ＝A×B。

经过尝试可知A 和B 均为质数个单位，而A 与B 的和是18，可有三组结果①A＝17，B ＝1；②A＝13，B=5；③A＝11，B=7。当A 与B 越接近，长方形的面积越大，因此，这个长方形的面积最多可以是11×7＝77个平方单位。

本题的解答依据了这样一个性质：

当A 与B 的和一定时，A 与B 越接近，两者的积越大。当A 与B 相等时，积最大。而本题要求A 、B 均为质数，所以A=B＝9不合题意。这个性质在实际生活中经常运用，请小朋友一定记住并能灵活运用

４关于方程问题．我不是很清楚这样的题．比如一部片要在４个单位轮流放影，每个单位放影一场，由几种轮影次序．我知道是４＊３＊２＊１＝２４ 但我不知道为什么？请具体解答一下．这样的简单我会，但难了就不会了．所以我想详细了解一下这样的题的最基本的原理． 4题，这是简单的排列组合问题：规律公式

排列： 排列P5=5!=5*4*3*2*1

排列P(4/5)=5*4*3*2=120; P(3/5)=5*4*3=60; P(2/5)=5*4=20 （）中“/”前面表示上标，后面的表示下标

组合C(5/5)=1;

C(4/5)=5*4*3*2/4*3*2*1=5; C(3/5)=5*4*3/3*2*1=10

C(4/5)=C(1/5); C(3/5)=C(2/5)

1. 一个体积为1立方米的正方体，如果将它分为体积各为1立方分米的正方体，并沿一条直线将他们一个一个连起来，可连多少米？( )

A. 10 B. 100 C. 1000 D. 10000

1立方米=1000立方分米

所以可以有1000个

每个的边是1分米=0.1米

所以就是100米

答案：B