螺旋线与平面交点的实时计算

西南交通大学

数学建模课程作业

组号：1

姓名：xxx

学号：2009xxxx

2010年11月13日

螺旋线与平面交点的实时计算

摘要

本文针为求解螺旋线与平面交点情况的问题，由两平面有交点的条件，即两平面要求存在对应的坐标相等的点，求解方法即为联立方程组求解，由求解值来判断是否存在交点以及存在交点的个数。该题中联立参数方程与函数方程，将函数化为参数方程，构建函数f(t)，令f(t)=0将问题转化为求解该函数方程与横坐标轴的交点问题。在计算该问题的过程中，运用Mathematica 软件，先将目标函数的大致图形画出，确定函数的图形走向，由图形直观的看出交点个数，然后分别求出对应的点的坐标值。由于不同的平面对应的函数关系是不一样，不同的平面与螺旋线的交点情况就不一样，所以在该问题的求解过程中并没有讨论一般平面，而是就具体平面进行讨论，或者就平面的参数之间满足一定的关系的平面进行讨论，从而并没有得出一个一般性的结论。

问题一中的具体模型一，求解平面x+2y+3=0与螺旋线的交点的个数，运用

Mathematica ，大致确定在一定的范围，通过对坐标几何图形的分析，可得出平面与螺旋线的交点个数为0。

问题一中的具体模型二，求解平面3x+4y+5z=0与螺旋线的交点，在Mathematica 中，大致确定在一定的范围，通过对坐标几何图形的分析，可得出有1个交点，之后进行相应的精确计算。

问题一中的具体模型三，求解平面6x+6y+z=1与螺旋线的交点，在Mathematica 中，大致确定在一定的范围，通过对坐标几何图形的分析，可得出有5个交点，之后进行相应的精确计算。

问题二中，变量A ，B ，C ，D 的值是不确定的，所以要求我们建立这四个参数的一种关系作为特殊情况求解并进行证明。

本文最大特色是运用平面几何关系，求解两函数相交应该满足的关系，对螺旋线与平面进行了转化，并且运用Mathematica 求解交点的具体值。将复杂问题简单化，将空间几何问题转化为二维平面问题。将抽象数学问题具体化、模型化，在数学软件上实现了函数与图形相结合，客观、清晰地描述了交点的个数，并且求解出交点的具体坐标值。

关键词：参数方程、联立方程、空间、平面

一、问题提出

⎧x =cos t ⎪已知空间螺旋线的方程为：⎨y =sin t ，现要求讨论任意平面Ax +By +Cz +D =0与

⎪z =t ⎩

该螺旋线的交点情况，要求完成下面几个问题：

（1）先建立一般的数学模型，然后就下面三个特殊的平面给出你的计算结果：①x +2y +3=0；②3x +4y +5z =0；③6x +6y +z =1。

（2）就某一种较特殊的情况进行讨论（此时A ，B ，C 大致满足某种关系），给出此时交点个数的结论并证明之。

二、基本假设

在问题一中，只需根据不同的平面建模求解就行了，不需要假设；在问题二中，可能会有多种情况，假设A ，B ，C 大致满足某种关系，再基于该关系对问题求解。

三、符号说明

四、问题分析

⎧x =cos t ⎪题目给出的是空间螺旋线的方程⎨y =sin t 和任意平面方程Ax +By +Cz +D =0，要

⎪z =t ⎩

讨论空间螺旋线与任意平面的交点情况，只需将螺旋线的参数方程与平面方程联立，可以得到关于参数t 的方程Acos t +B sin t +Ct +D =0，求螺旋线与平面的交点问题就转化为求这个方程的实根的问题，将复杂简单化，就可以得到满足交点条件的(x ，y ，z )，从而讨论交点情况了。

五、模型的建立与求解

5.1 问题一模型建立与求解

5.1.1 问题一的分析

⎧x =cos t ⎪将空间螺旋线的方程⎨y =sin t 和任意平面方程Ax +By +Cz +D =0联立，因为

⎪z =t ⎩

A 、B 、C 、D 值已知，可得到一个关于t 的方程Acos t +B sin t +Ct +D =0，看这个方程的实根情况，就可以得到交点的情况。

用简便的方法求解，需要引入函数f (t )=Acos t +B sin t +Ct +D ，画出函数图像，观察并求出图像与t 轴的交点情况，即f (t )=0得根的情况，也就是螺旋线与平面的交点情况。

5.1.2 问题一模型的建立

模型一：

求：(x ，y ，z )

⎧x =cos t ⎪y =sin t ⎪ s .. t ⎨z =t ⎪⎪⎩x +2y +3=0

模型二：

求：(x ，y ，z )

⎧x =cos t ⎪y =sin t ⎪ s .. t ⎨z =t ⎪⎪⎩3x +4y +5z =0

模型三：

求：(x ，y ，z )

⎧x =cos t ⎪y =sin t ⎪ s .. t ⎨z =t ⎪⎪⎩6x +6y +z =1

5.1.3 问题一模型的求解

对于这一非线性规划问题，我们可以用Mathematica 软件求解(程序见附录1) ，引入函数f (t )=Acos t +B sin t +Ct +D ，画出其图像，图像与t 轴的交点对应的t 值就是方程Acos t +B sin t +Ct +D =0的实根。求解结果为：

模型一：

n +3=0，引入函数经过联立求解可得到一个关于t 的方程c o t s +2s i t

f (t )=cos t +2sin t +3，在Mathematica 中输入Pt[Cos[t]+2Sin[t]+3,{t,-20,20}]，输出如图：

很明显图像与t 轴无交点，则曲线与平面无交点。

模型二：

t +5t =0，引入函数经过联立求解可得到一个关于t 的方程3c o t s +4s i n

在Mathematica 中输入Plot[3Cos[t]+4Sin[t]+5t,{t,-20,20}]f (t )=3c o t s +4s i n t +5t ，

输出如图(程序见附录2) ：

显然，图像与t 轴有一个交点。要求得该点的空间位置，只需求出该交点对应的t 值，再带入参数方程，就可以得出具体的点(x ，y ，z )。在Mathematica 中输入FindRoot[3Cos[t]+4Sin[t]+5t,{t,0}]，再输入{Cos[t],Sin[t],t}/.%3，就可以得到对应的点(x ，y ，z )。结果如下图：

即当t= -0.318916时，交点的坐标为（0.949576,-0.313537,-0.318916）

模型三：

t +t -1=0，引入函数经过联立求解可得到一个关于t 的方程6c o t s +6s i n

f (t )=6c o t s +6s i n t +t -1，在Mathematica 中输入Plot[6Cos[t]+6Sin[t]+t-1,{t,-10,10}]，输出如图(程序见附录3) ：

显然，图像与t 轴有5个交点，只需求出该交点对应的t 值，再带入参数方程，就可以得出具体的点(x ，y ，z )。在Mathematica 中输入：

FindRoot[6Cos[t]+6Sin[t]+t-1,{t,-6}]

FindRoot[6Cos[t]+6Sin[t]+t-1,{t,-5}]

FindRoot[6Cos[t]+6Sin[t]+t-1,{t,0}]

FindRoot[6Cos[t]+6Sin[t]+t-1,{t,2}]

FindRoot[6Cos[t]+6Sin[t]+t-1,{t,5}]

再将各个t 值带入参数方程，有输出结果：

当 t=-6.08129时，交点坐标为：（0.979688,0.200527,-6.08129）

t=-4.65669时，交点坐标为：（-0.0556672,0.998449,-4.65669）

t=-0.596161时，交点坐标为：（0.827497,-0.56147,-0.596161）

t=2.53852时，交点坐标为：（-0.823596,0.567176,2.53852）

t=5.00609时，交点坐标为：（0.289497,-0.957179,5.00609）

5.1.4 问题一结果的分析及验证

模型的构建基于目标函数的确定，而目标函数又是由所给出的螺旋线的参数方程与已知的一个确定的平面方程确定的，而此时，我们利用数学软件绘出图形观察是否与x 轴有交点来确定是否螺旋线与平面在空间中是否相交的，这种运用类比的方法求解时较为合理，所以此结果是正确的。

5.2 问题二模型建立与求解

5.2.1 问题二的分析

在这个问题中，变量A ，B ，C ，D 的值是不确定的，所以要求我们建立这四个参数的一种关系作为特殊情况求解并进行证明。

5.2.2 问题二模型的建立

本题中最主要的模型函数为f (t )=A cos t +B sin t +Ct +D ，此函数可以变形为f (t ) =A +B cos(t +θ) +Ct +D ，其中θ=，函数可以表示为f (t ) =22⎧C =D =0B ，我们可以假设⎨，此时A ⎩A =B θ=π

42A C o s (t +π

4) ，此时得到的f (t ) =0的解就是平面

⎧x =cos t ⎪Ax +By +Cz +D =0与螺旋线⎨y =sin t 的交点。

⎪z =t ⎩

模型四：

求：(x ，y ，z )

⎧x =cos t ⎪y =sin t ⎪ s .. t ⎨⎪z =t

⎪⎩Ax +Ay =0

5.2.3 问题二模型的求解

对于函数f (t ) =0即2A cos(t +π

4) =0得解，需进行以下情况的讨论：

A =0，此时，方程Ax +By +Cz +D =0不表示平面，这样，对于问题四的讨论便无意义，所以A ≠0。

A ≠0时，方程可进一步简化为cos(t +π

4) =0，此时由三角函数知识可得，t =π

4+k π，其

⎧x =cos t ⎪中k ∈Z 。所以，平面Ax +By +Cz +D =0与螺旋线⎨y =sin t 有无数个交点，交点位置为

⎪z =t ⎩

(cos t , sin t , t )t =π

4+k π。

5.2.4 问题二结果的分析及验证

模型的构建基于目标函数的确定，而目标函数又是由所给出的螺旋线的参数方程与已知的一个确定的平面方程确定的，而此时，我们利用数学软件绘出图形观察是否与x 轴有交点来确定是否螺旋线与平面在空间中是否相交的，这种运用类比的方法求解时较为合理，所以此结果是正确的。

六、模型的评价与推广

7.1 模型的评价

对于求解螺旋线与平面交点的问题，由于螺旋线较一般直线而言更复杂抽象，在空间延伸上趋于多样化，因此在求解螺旋线与平面交点时，如果直接求解则相对较为复杂因此，构建了关于t 的目标函数f (t ) ，联立螺旋线与平面的函数。结合数学图形，将立体几何转变成平面几何，将求解螺旋线与平面的交点问题转换成求解目标函数与X 轴交点的问题，此时，我们运用数学软件Mathematica ，勾勒出目标函数与X 轴交点的情况，先从确定

⎧x =cos t ⎪有几个交点，然后再根据交点范围，逐一求出t 值，然后代入⎨y =sin t ，求解出空间内，

⎪z =t ⎩

螺旋线与平面相交的交点坐标（x,y,z ）。此次求解过程中，将问题简便化了，在理想的状态下先勾勒出一个空间图像，在求解出螺旋线与平面交点的坐标，清楚的表明螺旋线与平面交点的情况。

7.2 模型的推广

由于平面方程的系数A 、B 、C 的情况较为复杂，而在第四个问题中只是列举了一个简单的例子，即A 2+B 2=0。而实际情况要复杂的多，即在进行相应的和差化积变换之

后f (t ) =t +θ) +Ct +D ，A 2+B 2可以取更为复杂的值，因此求解螺旋线与平面交点的问题还可以推广到空间内，求解任意不规则图形与平面的交点的问题，同样可以转换为平面几何求解交点的问题。

七、参考文献

[1] 姜启源等, 《数学模型》（第三版），高等教育出版社，2003年8月

八、附录

8.1 附录清单

附录1：求解问题一中模型一的Mathematica 程序 附录2：求解问题一中模型二的Mathematica 程序 附录3：求解问题一中模型三的Mathematica 程序

8.2 附录正文

附录1：求解问题一中模型一的Mathematica 程序 Plot[Cos[t]+2Sin[t]+3,{t,-20,20}]

附录2：求解问题一中模型二的Mathematica 程序 Plot[3Cos[t]+4Sin[t]+5t,{t,-20,20}] FindRoot[3Cos[t]+4Sin[t]+5t,{t,0}] {t→-0.318916}

{Cos[t],Sin[t],t}/.%3

{0.949576,-0.313537,-0.318916}

附录3：求解问题一中模型三的Mathematica 程序 Plot[6Cos[t]+6Sin[t]+t-1,{t,-10,10}] Graphics

FindRoot[6Cos[t]+6Sin[t]+t-1,{t,-6}] {t→-6.08129}

{Cos[t],Sin[t],t}/.%26

{0.979688,0.200527,-6.08129}

FindRoot[6Cos[t]+6Sin[t]+t-1,{t,-5}] {t→-4.65669}

{Cos[t],Sin[t],t}/.%28

{-0.0556672,0.998449,-4.65669}

FindRoot[6Cos[t]+6Sin[t]+t-1,{t,0}] {t→-0.596161}

{Cos[t],Sin[t],t}/.%30

{0.827497,-0.56147,-0.596161}

FindRoot[6Cos[t]+6Sin[t]+t-1,{t,2}] {t→2.53852}

{Cos[t],Sin[t],t}/.%32

{-0.823596,0.567176,2.53852}

FindRoot[6Cos[t]+6Sin[t]+t-1,{t,5}] {t→5.00609}

{Cos[t],Sin[t],t}/.%34

{0.289497,-0.957179,5.00609}

8