高中数学不等式经典题库
高中数学不等式经典题库
典型例题一
例1 解不等式x +>2x -3-2
分析:解含有绝对值的不等式,通常是利用绝对值概念a =⎨
⎧a (a ≥0)
,将不等式中的绝对符号去掉,转化成与
⎩-a (a
之同解的不含绝对值的不等式(组),再去求解.去绝对值符号的关键是找零点(使绝对值等于零的那个数所对应的点),将数轴分成若干段,然后从左向右逐段讨论.
解:令x +1=0,∴ x =-1,令2x -3=0,∴x =
3
,如图所示.2
(1)当x ≤-1时原不等式化为-(x +1) >-(2x -3) -2∴x >2与条件矛盾,无解.
33时,原不等式化为x +1>-(2x -3) -2.∴ x >0,故0
(3)当x >时,原不等式化为x +1>2x -3-2.∴x
22
(2)当-1
说明:要注意找零点去绝对值符号最好画数轴,零点分段,然后从左向右逐段讨论,这样做条理分明、不重不漏.
典型例题二
例2 求使不等式x -4+x -3
分析:此题若用讨论法,可以求解,但过程较繁;用绝对值的几何意义去求解十分简便. 解法一:将数轴分为(-∞, 3], [3, 4],(4, +∞) 三个区间 当x
7-a 7-a
有解的条件为1; 22
当3≤x ≤4时,得(4-x ) +(x -3) 1;
a +7a +7,有解的条件为>4 ∴a >1. 22
以上三种情况中任一个均可满足题目要求,故求它们的并集,即仍为a >1.
当x >4时,得(x -4) +(x -3)
解法二:设数x ,3,4在数轴上对应的点分别为P ,A ,B ,如图,由绝对值的几何定义,原不等式PA +PB
因为AB =1,故数轴上任一点到A 、B 距离之和大于(等于1),即x -4+x -3≥1,故当a >1x -4+x -3
典型例题三
例3 已知x -a
εε, 0
分析:根据条件凑x -a , y -b .
证明:xy -ab =xy -ya +ya -ab =y (x -a ) +a (y -b ) ≤y x -a +a ⋅y -b
εε
+a ⋅=ε. 2M 2a
典型例题四
例4 求证
a 2-b 2
a
≥a -
分析:使用分析法
证明 ∵a >0,∴只需证明a -b ≥a -a ,两边同除,即只需证明
2
2
2
2
a 2-b 2
2
a a a a a a a a a a
≥2-,即 () 2-1≥() 2-当≥1时,() 2-1=() 2-1≥() 2-;当
b b b b b b b b b b a
2
a -b
说明:在绝对值不等式的证明,常用分析法.本例也可以一开始就用定理:
a 2-b 2
a
a -b
≥=a -⋅
a a
22
(1)如果
a
≥1,则a -b ≤0,原不等式显然成立. b
b b -b ,利用不等式的传递性知a -,b >a -b ,∴原不等式也成立. a a a
(2)如果
典型例题五
例5 求证
a +b 1+a +b
≤
a 1+a
+
b 1+b
.
分析:本题的证法很多,下面给出一种证法:比较要证明的不等式左右两边的形式完全相同,使我们联想利用构
造函数的方法,再用单调性去证明.
证明:设f (x ) =
x 1+x -11
. ==1-
1+x 1+x 1+x
定义域为{x x ∈R ,且x ≠-1},f (x ) 分别在区间(-∞, -1) ,区间(-1, +∞) 上是增函数.
又0≤a +b ≤a +b ,∴f (a +b ) ≤f (a +b ) 即∴原不等式成立.
说明:在利用放缩法时常常会产生如下错误:
a +b 1+a +b
≤
a +b 1+a +b
=
a 1+a +b
+
b 1+a +b
≤
a 1+a
+
b 1+b
∵a +b ≤a +b ,1+a +b >0,∴
a +b a b a b a +b ≤=+≤+.
1+a +b 1+a +b 1+a +b 1+a +b 1+a 1+b
错误在不能保证1+a +b ≥1+a ,1+a +b ≥1+b .绝对值不等式a ±b ≤a +b 在运用放缩法证明不等式时有非常重要的作用,其形式转化比较灵活.放缩要适度,要根据题目的要求,及时调整放缩的形式结构.
型例题六
(a +1) 2(a -1) 2
例6 关于实数x 的不等式x -与x 2-3(a +1) x +2(3a +1) ≤0(a ∈R ) 的解集依次为A 与B ,求使≤
22
A ⊆B 的a 的取值范围.
分析:分别求出集合A 、B ,然后再分类讨论.
(a +1) 2(a -1) 2(a -1) 2(a +1) 2(a -1) 2
≤解:解不等式x -,-,∴A =x 2a ≤x ≤a 2+1, a ∈R . ≤x -≤22222
{}
解不等式x 2-3(a +1) x +2(3a +1) ≤0,[x -(3a +1)](x -2) ≤0. 当a >
⎧11⎫
时(即3a +1>2时),得B =⎨x 2≤x ≤3a +1, a >⎬.
3⎭3⎩⎧11⎫
时(即3a +1≤2时),得B =⎨x 3a +1≤x ≤2, a ≤⎬.
3⎭3⎩
当a ≤
当a >
⎧2a ≥2, 1
时,要满足A ⊆B ,必须⎨2故1≤a ≤3; 3⎩a +1≤3a +1,
⎧2a ≥3a +1, ⎧a ≤-1, 1
时,要满足A ⊆B ,必须⎨ ∴a =-1. ⎨2
-1≤a ≤1, 32≥a +1; ⎩⎩
当a ≤
所以a 的取值范围是a ∈R a =-1或1≤a ≤3.
说明:在求满足条件A ⊆B 的a 时,要注意关于a 的不等式组中有没有等号,否则会导致误解.
{}
典型例题七
例6 已知数列通项公式a n =
sin a sin 2a sin 3a sin na
对于正整数m 、n ,当m >n 时,求证:+++ +
222232n
a m -a n
1
. 2n
分析:已知数列的通项公式是数列的前n 项和,它的任意两项差还是某个数列的和,再利用不等式
a 1+a 2+ +a n ≤a 1+a 2+ +a n ,问题便可解决.
证明:∵m >n ∴a m -a n =
sin(n +1) a sin(n +2) a sin ma sin(n +1) a sin(n +2) a sin ma
++ +≤++ +
2n +12n +22m 2n +12n +22m
1
1
≤12n +1
+12n +2
1
+ +m =2
(1-11-2
)
=
1111(1-)
2n +12n +2
项是常见错误.
说明:
1
+
1
+ +
111
是以为首项,以为公比,共有m -n 项的等比数列的和,误认为共有m -n -1m n +1
222
正余弦函数的值域,即sin α≤1,cos α≤1,是解本题的关键.本题把不等式、三角函数、数列、n 个变量的绝对值不等式问题连在一起,是一个较为典型的综合题目.如果将本题中的正弦改为余弦,不等式同样成立.
典型例题八
例8 已知f (x ) =x 2-x +13,x -a
分析:本题中给定函数f (x ) 和条件x -a 证明:∵f (x ) =x 2-x +13,∴f (a ) =a 2-a +13,∵x -a =x -a ⋅x +a -1说明:这是绝对值和函数的综合题,这类题通常要涉及绝对值及绝对值不等式的性质等综合知识的运用.分析中对条件x -a
典型例题九
⎧x >0
⎪
例9 不等式组⎨3-x 2-x 的解集是( ).
>⎪3+x 2+x ⎩
A .{x 0
{}
3-x 2-x 3-x
>,知∴-30,∴00,3+x 2+x 3+x
解原不等式组实为解不等式
3-x 2-x
>(0
解法一:不等式两边平方得:(3-x ) 2(2+x ) 2>(3+x ) 2(2-x ) 2.
∴(x 2-x -6) 2>(x 2+x -6) 2,即(x 2-x -6+x 2+x -6)(x 2-x -6-x 2-x +6) >0,
⎧x 2-6
∴x (6-x ) >0,又0
⎩0
2
解法二:∵x >0,∴可分成两种情况讨论: (1)当0
3-x 2-x
(0
3+x 2+x
(2)当x >2时,不等式组可化为
3-x x -2
(x >2),解得2
3+x 2+x
综合(1)、(2)得,原不等式组的解为0
说明:本题是在x >0的条件下,解一个含绝对值的分式不等式,如何去绝对值是本题的关键所在,必须注意,只有在保证两边均为非负数时,才能将不等式两边同时平方.另一种方法则是分区间讨论,从而去掉绝对值符号.当然本题还可用特殊值排除法求解.
典型例题十
例10 设二次函数f (x ) =ax 2+bx +c (a >0,且b ≠0) ,已知b ≤a ,f (0) ≤1,f (-1) ≤1,f (1) ≤1,当x ≤1时,证明f (x ) ≤
5
. 4
5,4
分析:从a >0知,二次函数的图像是开口向上的抛物线;从x ≤1且f (-1) ≤1f (1) ≤1知,要求证的是f (x ) ≤
所以抛物线的顶点一定在x 轴下方,取绝对值后,图像翻到x 轴上方.因此抛物线的顶点的取值非常重要,也是解这道题的关键所在.
证明:∵2b =(a +b +c ) -(a -b +c ) ≤a +b +c +a -b +c =f (1) +f (-1) ≤1+1=2,∴b ≤1.又∵b ≤a ,
b b 1b 4ac -b 2b 2
≤
a 2a 22a 4a 4a
1b 15b b 2b 2
≤c +=c +⋅⋅b ≤1+⋅1⋅1=.而f (x ) 的图像为开口向上的抛物线,且x ≤1,∴f (-) =c -
2a 4a 4a 4a 44-1≤x ≤1,∴f (x ) 的最大值应在x =1,x =-1或x =-
b 5b
处取得.∵f (1) ≤1,f (-1) ≤1,f (-) ≤,
2a 42a
∴f (x ) ≤
5
. 4
说明:本题考查了绝对值不等式的性质、二次函数的最值及分类讨论的思想和逻辑思维的能力,关键是通过对参数a ,b ,c 的分析,确定抛物线顶点的取值范围,然后通过比较求出函数在x ≤1范围内的最大值.