中职数学 函数的单调性学案
3.3 函数的单调性
一.学习目标
1、理解函数单调性的概念,会根据函数的图像判断函数的单调性;
2、能够根据函数单调性的定义证明函数在某一区间上的单调性。
3、通过对函数单调性定义的探究,渗透数形结合的思想方法,培养学生观察、
归纳、抽象的能力和语言表达能力;通过对函数单调性的证明,提高学生的
推理论证能力
x 二.预习案
(一). 自学引导
观察函数f (x ) =x ,f (x ) =x 的图象
从左至右看函数图象的变化规律:
(1).f (x ) =x 的图象是_________的, 2
f (x ) =x 2的图象在y 轴左侧是______的,f (x ) =x 2的图象在y 轴右侧是_______的.
(2) f (x ) =x 在(-∞, +∞) 上,f (x ) 随着x 的增大而___________;
(3) f (x ) =x 在(-∞, 0] 上,f (x ) 随着x 的增大而_______;
f (x ) =x 在(0, +∞) 上,f (x ) 随着x 的增大而________.
归纳总结
一、单调性
※ 增函数、减函数的定义 22
在函数y =f (x ) 的图象上任取两点A (x1,y 1), B (x2,y 2), 记△
△y= 这里△x 表示自变量的增量或改变量,△y 表示函数值的增量或改变量
1. 增减函数定义:一般地,设函数f (x ) 的定义域为I :
如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1, x 2,当
时,则称f (x ) 在这个区间上是增函数,而这个区间称函数的一个 ; 当时,则称f (x ) 在这个区间上是减函数2. 函数的单调性定义
如果函数y=f(x)在某个区间上是 或 ,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间D 叫做y=f(x)的单调区间:
例1. 下列说法正确的是 ( )
∆y >0A. 定义在(a , b ) 上的函数f (x ) ,若存在不相等x 1, x 2∈(a , b ) ,当∆x 时,那么f (x ) 在
(a , b ) 上为增函数
∆y >0B. 定义在(a , b ) 上的函数f (x ) ,若有无穷多对不相等x 1, x 2∈(a , b ) ,当∆x 时,那么
f (x ) 在(a , b ) 上为增函数
C. 若函数f (x ) 在区间I 1上为减函数,在区间I 2上也为减函数,那么f (x ) 在区间I 1⋃I 2上就一定是减函数
D. 若函数f (x ) 在区间I 上是增函数,且f (x 1)
(1)若x 1
(2)若x 1f (x 2) ,则f (x ) 在[a , b ]上是减函数吗?
(二). 预习自测
1. 下列函数中, 在(-∞, 0) 上不是增函数的是( )
2 A.y =3x B.y =-x C.y =x D.y =-1 x
2. 对于函数y =f (x ) ,在定义域内有两个值x 1, x 2,且x 1
A.一定是增函数 B.一定是减函数 C.可能是常数函数 D.单调性不能确定
3.已知函数f (x ) 在(-2,3)上是减函数,则有( )
A.f (-1)
4. 如图是定义在区间[-5,5]上的函数y=f(x),根据图象说出函数的单调区间,以及在每一单调区间上,它是增函数还是减函数?
解:
三.探究案
1. 探究一:利用图像求下列函数的单调区间并指出在其单调区间上是增函数还是减函数:
) -4 (3)y =1 (4)y =x (1)y =2x -1 (2)y =(x -1x 2
2. 探究二:求证:f (x ) =x +1在R 上是增函数。
3
变式训练:证明函数f (x ) =-1在(-∞, 0) 上是增函数。 x
归纳小结:
函数单调性的判断与证明常用方法:
1. 定义法:“取值-----计算----定号----判断”;
2. 图像法:先作出函数的图像,利用直观的图像判断函数的单调性;
巩固练习:
1 课本P 54练习第1、2、3题 ○
课堂小结
①通过增(减)函数概念的形成过程,你学习到了什么?
②增(减)函数的图象有什么特点?如何根据图象指出单调区间? ③怎样用定义证明函数的单调性?
师生共同就上述问题进行讨论、交流,发表自己的意见。