公理化思想
小谈公理化思想
严相荣
（学号：[1**********]6，电话：[1**********]）
所谓的公理化思想，就是从尽可能少的无定义的原始概念和一组不用证明的基本命题出发，利用逻辑推理的方法，把数学建立成一门系统的演绎的方法。原始概念及基本命题是人们长期以来智慧的产物，反映数学实体对象的最单纯的本质和客观关系，不是人们自由随意的创造。
如所共知，希尔伯特1899年出版的《几何学基础》一书是近代数学公理化的典范著作。该书问世后的二、三十年间曾引起西方数学界的一阵公理热，足见其影响之大。希尔伯特的几何公理系统实际是在前人的一系列工作成果基础上总结出来的，书中的公理条目也曾屡经修改。直到1930年出第七版时，还作了最后修改。这说明一门学科的公理化未必是一次完成的，公理化过程可以是包含一些发展阶段的。
公理化思想方法的作用我认为有以下几点：
1.这种方法具有分析、总结数学知识的作用。凡取得了公理化结构形式的数学，由于定理与命题都已经按照逻辑关系联系起来，所以使用起来很方便。
2.公理化方法把一门数学的基础分析的很清楚，有利于比较各门数学之间的实质性异同，并能促进新理论的创立。
3.数学公理化方法在科学方法论上具有示范作用，这种方法对现代理论力学及各门自然科学的表述方法起到了积极的借鉴作用。
如前所述，数学公理化的目的是要把一门数学表述为一个演绎系统。这个系统的出发点就是一组基本的概念和公理。因此，如何引进基本概念和确立一组公理便是运用公理化方法的关键，也即这种方法的基本内容。基本概念即就是不加定义的概念，他们就必须是真正基本的，而无法用更简单更原始的概念去界定的概念。换句话说，基本概念应该是最原始最简单的思想规定，他们必须是对数学实体的高度纯化的抽象。当基本概念确定以后，重要的问题是如何设置公理的问题。
公理是对诸基本概念互相关系的规定。这些规定必须是必要的、合理的。即公理的选取和设置必须符合三条要求：一是协调性要求，协调性又称无矛盾性或相容性。二是独立性要求，这就是要求公理的数目减少到最低限度，不容许公理集合中出现多余的公理。三十关于公理系统的完备性要求，这就是要确保从公理系统能推导出所论数学某分支的全部命题。
人们在理性思维上总习惯与希望通过逻辑推理证明一切，岂知某些具有“无限性”飞跃结构的概念系统往往越出有限步逻辑推理判断的范围之外。因此，懂得概念思维的辩证法，即公理化思想，也就能够自觉的去辨识并避免徒劳无功的尝试了。