常用求导公式.矩阵公式.MATLAB软件

常用求导公式、矩阵公式、MATLAB 软件

1．基本求导公式

⑴ (C ) '=0（C 为常数）⑵ (x n ) '=nx n -1；一般地，(x α) '=αx α-1。 特别地：(x ) '=1，(x 2) '=2x ，() '=-

1x

11

'，。 (x ) =2

x 2x

⑶ (e x ) '=e x ；一般地，(a x ) '=a x ln a (a >0, a ≠1) 。 ⑷ (lnx ) '=

11

(a >0, a ≠1) 。 ；一般地，(loga x ) '=

x x ln a

2．求导法则 ⑴ 四则运算法则

设f (x ) ，g (x ) 均在点x 可导，则有：（Ⅰ）(f (x ) ±g (x ) ) '=f '(x ) ±g '(x ) ； （Ⅱ）(f (x ) g (x ) ) '=f '(x ) g (x ) +f (x ) g '(x ) ，特别(Cf (x ) ) '=C f '(x ) （C 为常数）； （Ⅲ）(

f (x ) f '(x ) g (x ) -f (x ) g '(x ) 1g '(x )

'，特别。 ) '=, (g (x ) ≠0) () =-22

g (x ) g (x ) g (x ) g (x )

3．微分 函数y =f (x ) 在点x 处的微分：dy =y 'dx =f '(x ) dx 4、 常用的不定积分公式

1α+1x 2x 32

⎰x dx =α+1x +C (α≠-1), ⎰dx =x +c , ⎰xdx =2+c , ⎰x dx =3（1） ；

4x 3

x dx =+c ⎰4

α

1a x x x x

+C (a >0, a ≠1) ； （2） ⎰dx =ln |x |+C ； ⎰e dx =e +C ； ⎰a dx =

x ln a

（3）kf (x ) dx =k f (x ) dx （k 为常数） 5、定积分

⎰⎰

⎰

b

a

f (x ) dx =F (x ) |b a =F (b ) -F (a )

⑴

⎰

b

a

[k 1f (x ) +k 2g (x )]dx =k 1⎰f (x ) dx +k 2⎰g (x ) dx

a

a

b b

⑵ 分部积分法

设u (x ) ，v (x ) 在[a ，b ]上具有连续导数u '(x ), v '(x ) ，则

⎰u (x ) dv (x ) =u (x ) v (x )

a

b

b a

-⎰v (x ) du (x )

a

b

6、线性代数 特殊矩阵的概念

（1）、零矩阵 O 2⨯2

⎡10 0⎤

⎢01 0⎥

⎡00⎤⎡10⎤⎢⎥、单位矩阵I n =二阶I 2⨯2=⎢=⎢⎥, （2）⎥, ⎢⎥0001 ⎣⎦⎣⎦

⎢⎥⎣00 1⎦

⎡a 10 0⎤

2⎤⎡21⎢0a 0⎥

2⎥(4)、对称矩阵a =a , A =⎢1-3-5⎥ (3)、对角矩阵A =⎢ij ji ⎢⎥⎢ ⎥

⎢2-57⎥⎢⎥⎣⎦

⎣000a n ⎦⎡a 11⎢0

(5)、上三角形矩阵A =⎢

⎢ ⎢⎣0⎡a 11⎢a 21

(6)、矩阵转置A =⎢

⎢ ⎢⎣a n 1

a 12a 22 a n 2

a 1n ⎤⎡a 10 0⎤

⎢0a 0⎥a 22 a 2n ⎥2⎥下三角形矩阵A =⎢⎥ ⎢ ⎥ ⎥

⎥⎢⎥

00a nn ⎦000a n ⎦⎣ a 1n ⎤⎡a 11

⎢a a 2n ⎥T ⎥转置后A =⎢12⎢ ⎥

⎥⎢

a nn ⎦⎣a 1n

a 21 a n 1⎤

a 22 a n 2⎥⎥ ⎥

⎥

a 2n a nn ⎦

a 12

⎡a b ⎤⎡e

6、矩阵运算 A +B =⎢⎥+⎢g c d ⎣⎦⎣

⎡a b ⎤⎡e

AB =⎢⎥⎢

⎣c d ⎦⎣g

7、MATLAB 软件计算题

f ⎤⎡a +e b +f ⎤=⎢⎥ h ⎥c +g d +h ⎦⎣⎦

f ⎤⎡ae +bg af +bh ⎤

=⎢⎥⎥h ⎦⎣ce +dg cf +dh ⎦

例6 试写出用MATLAB 软件求函数y =x +x 2+e x ) 的二阶导数y ''的命令语句。 解：>>clear;

>>syms x y;

>>y=log(sqrt(x+x^2)+exp(x)); >>dy=diff(y,2)

例：试写出用MATLAB 软件求函数y =x +e x ) 的一阶导数y '的命令语句。

>>clear;

>>syms x y;

>>y=log(sqrt(x)+exp(x)); >>dy=diff(y)

例11 试写出用MATLAB 软件计算定积分解：>>clear;

>>syms x y;

>>y=(1/x)*exp(x^3); >>int(y,1,2) 例 试写出用MATLAB 软件计算定积分

⎰1

2

1x 3

e d x 的命令语句。 x

⎰

1x 3

e d x 的命令语句。 x

解：>>clear;

>>syms x y;

>>y=(1/x)*exp(x^3); >>int(y)

MATLAB 软件的函数命令

典型例题

例1 设某物资要从产地A 1，A 2，A 3调往销地B 1，B 2，B 3，B 4，运输平衡表（单位：吨）和运价表（单位：百元/吨）如下表所示：

（1）用最小元素法编制的初始调运方案，

（2）检验上述初始调运方案是否最优，若非最优，求最优调运方案，并计算最低运输总费用。

解：用最小元素法编制的初始调运方案如下表所示：

运输平衡表与运价表

找空格对应的闭回路，计算检验数： λ11＝1， λ12＝1， λ22＝0， λ24＝－2 已出现负检验数，方案需要调整，调整量为1 调整后的第二个调运方案如下表：

求第二个调运方案的检验数： λ11＝－1 已出现负检验数，方案需要再调整，调整量为2 调整后的第三个调运方案如下表：

运输平衡表与运价表

求第三个调运方案的检验数：

λ12＝2， λ14＝1， λ22＝2， λ23＝1， λ31＝9， λ33＝12

所有检验数非负，故第三个调运方案最优，最低运输总费用为：

2×3＋5×3＋1×1＋3×8＋6×4＋3×5＝85（百元） 例2 某物流公司下属企业经过对近期销售资料分析及市场预测得知，该企业生产的甲、乙、丙三种产品，均为市场紧俏产品，销售量一直持续上升经久不衰。今已知上述三种产品的单位产品原材料消耗定额分别为4公斤、4公斤和5公斤；三种产品的单位产品所需工时分别为6台时、3台时和6台时。另外，三种产品的利润分别为400元/件、250元/件和300

元/件。由于生产该三种产品的原材料和工时的供应有一定限制，原材料每天只能供应180公斤，工时每天只有150台时。

1．试建立在上述条件下，如何安排生产计划，使企业生产这三种产品能获得利润最大的线性规划模型。

2. 写出用MATLAB 软件计算该线性规划问题的命令语句。

解：1、设生产甲、乙、丙三种产品分别为x 1件、x 2件和x 3件，显然x 1，x 2，x 3≥0

线性规划模型为

max S =400x 1+250x 2+300x 3

⎧4x 1+4x 2+5x 3≤180⎪

⎨6x 1+3x 2+6x 3≤150⎪x ，x ，x ≥0⎩123

2．解上述线性规划问题的语句为： >>clear;

>>C=-[400 250 300]; >>A=[4 4 5;6 3 6]; >>B=[180;150]; >>LB=[0;0;0];

>>[X,fval,exitflag]=linprog(C,A,B,[],[],LB)

⎡2-1⎤

⎡10-1⎤⎢41⎥，C =⎡10⎤，求：AB +C T 例3已知矩阵A =⎢，B =⎥⎢1-2⎥⎢⎥⎣012⎦⎣⎦⎢⎥1-1⎣⎦

⎡2-1⎤10-1⎡⎤⎢⎡10⎤⎡10⎤⎡11⎤⎡21⎤⎥解：AB +C =⎢⎥⎢41⎥+⎢1-2⎥=⎢6-1⎥+⎢0-2⎥=⎢6-3⎥ 012⎣⎦⎢1-1⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦

⎣⎦

例4 设y ＝(1＋x )ln x ，求：y '

2

1+x 2

解：y '=(1+x ) 'ln x +(1+x )(lnx ) '=2x ln x +

x

2

2

e x

例5 设y =，求：y '

1+x

(e x ) '(1+x ) -e x (1+x ) 'x e x

解：y '= =22

(1+x ) (1+x )

例7 某厂生产某种产品的固定成本为2万元，每多生产1百台产品，总成本增加1万

2

元，销售该产品q 百台的收入为R (q ) ＝4q －0.5q （万元）。当产量为多少时，利润最大？最大利润为多少？

解：产量为q 百台的总成本函数为：C (q ) ＝q ＋2

2

利润函数L (q ) ＝R (q ) －C (q ) ＝－0.5q ＋3q －2 令ML (q ) ＝－q ＋3＝0 得唯一驻点 q ＝3（百台） 故当产量q ＝3百台时，利润最大，最大利润为

L (3)＝－0.5×32＋3×3－2＝2.5（万元）

例8 某物流企业生产某种商品，其年销售量为1000000件，每批生产需准备费1000元，而每件商品每年库存费为0.05元，如果该商品年销售率是均匀的，试求经济批量。

解：库存总成本函数C (q ) =

q 1000000000

+

40q

令C '(q ) =

[1**********]

-=0得定义域内的唯一驻点q ＝200000件。 240q

10

即经济批量为200000件。 例9 计算定积分：解：

1

⎰

(x +3e x ) d x

125x x 1(x +3e ) d x =(x +3e ) =3e - |0⎰0

22

例10 计算定积分：解：

⎰1

3

2

(x 2+) d x

x

⎰1

3

32126

(x 2+) d x =(x 3+2ln |x |)|=+2ln 3

1x 33

教学补充说明

1. 对编程问题，要记住函数e ，ln x ，x 在MATLAB 软件中相应的命令函数exp(x)，

log(x)，sqrt(x)；

2 对积分问题，主要掌握积分性质及下列三个积分公式：

a

⎰x d x =

x

1a +1

x +c （a ≠－1） a +1x x e d x =e +c ⎰

1

⎰x d x =ln |x |+c

7. 记住两个函数值：e ＝1，ln 1＝0。

模拟试题

一、单项选择题：（每小题4分，共20分）

1. 若某物资的总供应量（ C ）总需求量，可增设一个虚销地，其需求量取总供应量与总需求量的差额，并取各产地到该销地的单位运价为0，则可将该不平衡运输问题化为平衡运输问题。

(A) 等于 (B) 小于 (C) 大于 (D) 不超过

2．某物流公司有三种化学原料A 1，A 2，A 3。每公斤原料A 1含B 1，B 2，B 3三种化学成分的含量分别为0.7公斤、0.2公斤和0.1公斤；每公斤原料A 2含B 1，B 2，B 3的含量分别为0.1公斤、0.3公斤和0.6公斤；每公斤原料A 3含B 1，B 2，B 3的含量分别为0.3公斤、0.4公斤和0.3公斤。每公斤原料A 1，A 2，A 3的成本分别为500元、300元和400元。今需要B 1成分至少100公斤，B 2成分至少50公斤，B 3成分至少80公斤。为列出使总成本最小的线性规划模型，设原料A 1，A 2，A 3的用量分别为x 1公斤、x 2公斤和x 3公斤，则目标函数为（ D ）。 (A) max S ＝500x 1＋300x 2＋400x 3 (B) min S ＝100x 1＋50x 2＋80x 3 (C) max S ＝100x 1＋50x 2＋80x 3 (D) min S ＝500x 1＋300x 2＋400x 3

2⎤⎡1⎡12⎤

3. 设A =⎢。 , B =⎥⎢x 7⎥，并且A ＝B ，则x ＝（ C ）

4-x 7⎣⎦⎣⎦

(A) 4 (B) 3 (C) 2 (D) 1

2

4．设运输某物品q 吨的成本（单位：元）函数为C (q ) ＝q ＋50q ＋2000，则运输该物品100吨时的平均成本为（ A ）元/吨。

(A) 170 (B) 250 (C) 1700 (D) 17000

5. 已知运输某物品q 吨的边际收入函数为MR (q ) ，则运输该物品从100吨到300吨时的收入增加量为（ D ）。

(A)

⎰100

300

MR (q ) d q +C (0)

(B) (D)

⎰300MR (q ) d q ⎰100MR (q ) d q

300

100

(C) ⎰MR (q ) d q

二、计算题：（每小题7分，共21分）

⎡2-1⎤

⎡10-1⎤⎢41⎥，C =⎡10⎤，求：AB ＋C 6．已知矩阵A =⎢，B =⎥⎢1-2⎥⎢⎥⎣012⎦⎣⎦⎢⎣1-1⎥⎦

⎡2-1⎤

⎡10-1⎤⎢⎥+⎡10⎤=⎡10⎤+⎡10⎤=⎡20⎤ 解：AB +C =⎢41⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎥⎢

⎣012⎦⎢1-1⎥⎣1-2⎦⎣6-1⎦⎣1-2⎦⎣7-3⎦

⎣⎦7. 设y =

ln x

，求：y ' 1+x 3

1+x 32

-3x ln x 33

(lnx ) '⋅(1+x ) -(lnx ) ⋅(1+x ) '=解：y '=

(1+x 3) 2(1+x 3) 2

8. 计算定积分：解：

1

⎰0

1

(x 3+2e x ) d x

1473x x 1

(x +2e ) d x =(x +2e ) =2e -|⎰0044

三、编程题：（每小题6分，共12分）

9. 试写出用MATLAB 软件求函数y =x +x 2+e x ) 的二阶导数y ''的命令语句。解：>>clear;

>>syms x y;

>>y=log(sqrt(x+x^2)+exp(x)); >>dy=diff(y,2)

10. 试写出用MATLAB 软件计算定积分

⎰

10

x e x d x 的命令语句。

解：>>clear;

>>syms x y;

>>y=x*exp(sqrt(x)); >>int(y,0,1)

四、应用题（第11、12题各14分，第13题19分，共47分）

11. 某物流企业生产某种商品，其年销售量为1000000件，每批生产需准备费1000元，而每件商品每年库存费为0.05元，如果该商品年销售率是均匀的，试求经济批量。

q 1000000000+解： 库存总成本函数C (q ) = 40q

令C '(q ) =

[1**********]

-=0得定义域内的惟一驻点q ＝200000件。 240q

即经济批量为200000件。

12. 某物流公司下属企业经过对近期销售资料分析及市场预测得知，该企业生产的甲、乙、丙三种产品，均为市场紧俏产品，销售量一直持续上升经久不衰。今已知上述三种产品的单位产品原材料消耗定额分别为4公斤、4公斤和5公斤；三种产品的单位产品所需工时分别为6台时、3台时和6台时。另外，三种产品的利润分别为400元/件、250元/件和300元/件。由于生产该三种产品的原材料和工时的供应有一定限制，原材料每天只能供应180公斤，工时每天只有150台时。试建立在上述条件下，如何安排生产计划，使企业生产这三种产品能获得利润最大的线性规划模型，并写出用MATLAB 软件计算该线性规划问题的命令语句。

解：设生产甲、乙、丙三种产品分别为x 1件、x 2件和x 3件，显然x 1，x 2，x 3≥0

线性规划模型为

max S =400x 1+250x 2+300x 3

⎧4x 1+4x 2+5x 3≤180⎪

⎨6x 1+3x 2+6x 3≤150⎪x ，x ，x ≥0⎩123

解上述线性规划问题的语句为： >>clear;

>>C=-[400 250 300]; >>A=[4 4 5;6 3 6]; >>B=[180;150]; >>LB=[0;0;0];

>>[X,fval,exitflag]=linprog(C,A,B,[],[],LB) 线性规划习题

1. 某物流公司下属企业生产甲、乙两种产品，要用A ，B ，C 三种不同的原料，从工艺资料知道：每生产一件产品甲，需用三种原料分别为1，1，0单位；生产一件产品乙，需用三种原料分别为1，2，1单位。每天原料供应的能力分别为6，8，3单位。又知，销售一件产品甲，企业可得利润3万元；销售一件产品乙，企业可得利润4万元。试写出能使利润最大的线性规划模型，并用MATLAB 软件计算（写出命令语句，并用MATLAB 软件运行）。

解：设生产甲产品x 1吨，乙产品x 2吨。 线性规划模型为： max S =3x 1+4x 2

⎧x 1+x 2≤6⎪x +2x ≤8⎪12 ⎨

⎪x 2≤3⎪⎩x 1, x 2≥0

用MATLAB 软件计算该线性规划模型的命令语句为： >> clear; >> C=-[3 4];

>> A=[1 1;1 2;0 1]; >> B=[6;8;3]; >> LB=[0;0];

>> [X,fval]=linprog(C,A,B,[],[],LB)

2. 某物流公司有三种化学产品A 1，A 2，A 3都含有三种化学成分B 1，B 2，B 3，每种产品成分含量及价格(元/斤) 如下表，今需要B 1成分至少100斤，B 2成分至少50斤，B 3成分至少80斤，试列出使总成本最小的线性规划模型。

解：设生产A 1产品x 1公斤, 生产A 2产品x 2公斤, 生产A 3产品x 3公斤,

min S =500x 1+300x 2+400x 3⎧0. 7x 1+0. 1x 2+0. 3x 3≥100⎪0. 2x +0. 3x +0. 4x ≥50⎪123⎨

⎪0. 1x 1+0. 6x 2+0. 3x 3≥80⎪x 1, x 2, x 3≥0⎩

3. 某物流企业下属家具厂生产桌子和椅子，产品的销路挺好。生产每张桌子的利润为12元，每张椅子的利润为10元。生产每张桌子在该厂的装配中心需要10分钟，在精加工中心需要20分钟；生产每张椅子在装配中心需要14分钟，在精加工中心需要12分钟。该厂装配中心一天可利用的时间不超过1000分钟，精加工中心一天可利用的时间不超过880分钟。假设生产桌子和椅子的材料能保证供给。试写出使企业获得最大利润的线性规划模型，并用MATLAB 软件计算（写出命令语句，并用MATLAB 软件运行出结果）

解：设生产桌子x 1张，生产椅子x 2张

max S =12x 1+10x 2

⎪

⎧10x 1+14x 2≤1000

20x +12x ≤880⎨12⎪x 1, x 2≥0⎩

MATLAB软件的命令语句为： >> clear;

>> C=-[12 10];

>> A=[10 14; 20 12]; >> B=[1000；880]; >> LB=[0;0];

>> [X,fval]=linprog(C,A,B,[],[],LB)

4、某物流企业在一个生产周期内生产甲、乙两种产品，这两种产品分别需要A,B,C,D 四种不同的机床加工，这四种机床的可用工时分别为1500，1200，1800，1400. 每件甲产品分别需要A,B,C 机床加工4工时、2工时、5工时；每件乙产品分别需要A,B,D 机床加工3工时、3工时、2工时。又知甲产品每件利润6元，乙产品每件利润8元。试写出能获得最大利润的线性规划问题。

解：设生产甲产品x 1件，乙产品x 2件。 线性规划模型为： max S =6x 1+8x 2

⎧4x 1+3x 2≤1500⎪2x +3x ≤1200

2⎪1

⎨5x 1≤1800

⎪2x ≤1400

2

⎪

x 1, x 2≥0⎩

用MATLAB 软件计算该线性规划模型的命令语句为：

>> clear; >> C=-[6 8];

>> A=[4 3;2 3;5 0；0 2];

>> B=[1500；1200；1800；1400]; >> LB=[0;0];

>> [X,fval]=linprog(C,A,B,[],[],LB)

5、 某物流企业用甲、乙两种原材料生产A,B,C 三种产品。企业现有甲原料30吨，乙原料

50吨。每吨A 产品需要甲原料2吨；每吨B 产品需要甲原料1吨，乙原料2吨；每吨C 产品需要乙原料4吨。又知每吨A,B,C 产品的利润分别为3万元、2万元和0.5万元。试写出能获得最大利润的线性规划问题。

解：设生产A 产品x 1吨，B 产品x 2吨，C 产品x 3吨。 线性规划模型为：

max S =3x 1+2x 2+0. 5x 3

⎧2x 1+x 2≤30⎪2x +4x ≤50⎪23 ⎨

⎪⎪⎩x 1, x 2, x 3≥0

用MATLAB 软件计算该线性规划模型的命令语句为： >> clear;

>> C=-[3 2 0.5];

>> A=[2 1;2 4];

>> B=[30；50];

>> LB=[0;0；0];

>> [X,fval]=linprog(C,A,B,[],[],LB)

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