第12章 变化的电磁场作业

第12章 变化的电磁场

思考题

12.1 在电磁感应定律ε=-d ϕd t 中，负号的意义是什么？你是怎样根据正负号来确定感应电动势的方向的？

答：负号反映了感应电动势的方向，是愣次定律的体现。用正负符号来描述电动势的方向，首先应明确电动势的正方向（即电动势符号为正的时候所代表的方向）。在电磁感应现象中电动势的正方向即是所选回路的绕行方向，由于回路的绕行方向与回路所围面积的法线方向（即穿过该回路磁通量的正方向）符合右手螺旋，所以，回路电动势的正方向与穿过该回路磁通量的正方向也符合右手螺旋。原则上说，对于穿过任一回路的磁通量，可以任意规定它的正负，因此，在确定感应电动势的方向的时，可以首先将穿过回路的磁通量规定为正，然后，再按右手螺旋关系确定出该回路的绕行方向（即电动势的正方向）。最后，再由电动势ε的符号，若ε的符号为正即电动势的方向与规定的正方向相同，否则相反。

12.2 如图，金属棒AB 在光滑的导轨上以速度v 向右运动，从而形成了闭合导体回路ABCDA 。楞次定律告诉我们，AB 棒中出现的感应电流是自B 点流向A 点，有人说：电荷总是从高电势流向低电势。因此B 点的电势应高于A 点，这种说法对吗？为什么?

答：这种说法不对。回路ABCD 中AB 棒相当于一个电源，A 点是电源的正极，B 点是电源的负极。这是因为电源电动势的形成是非静电力做功的结果，非静电力在将正电荷从低电势的负极B 移向高电势的正极A 的过程中，克服了静电力而做功。所以正确的说法是：在作为电源的AB 导线内部，正电荷从低电势移至高电势。是非静电力做正功；在AB 导线外部的回路上，正电荷从高电势流至低电势，是静电力做正功。因此，B 点的电势低，A 点的电势高。

12.3 一根细铜棒在均匀磁场中作下列各种运动(如图) ，在哪种运动中铜棒内产生感应电动势？其方向怎样?

(1) 铜棒向右平移(图a ) 。

(2) 铜棒绕通过其中心的轴在垂直于B 的平面内转动(图b ) 。 (3) 铜棒绕通过中心的轴在平行于B 的平面内转动(图c ) 。

(c)

(a) (b)

图12.2 思考题12.3图

A

B

图12.1 思考题12-2图

答：(a)无；(b)由中心指向两端；(c)无。

12.4 如图所示，一矩形金属线框，以速度v 从无场空间进入一均匀磁场中，然后又从磁场中出来，到无场空间中，不计线圈的自感，下面哪一条图线正确地表示了线圈中的感应电流对时间的函数关系？ (从线圈刚进入磁场时刻开始计时，I 以顺时针方向为正)

t

图12.3 思考题12.4图

t

(b )

t

⨯ ⨯ ⨯ ⨯

B

⨯ ⨯ ⨯ ⨯⨯ ⨯ ⨯ ⨯

t

(a )

答：(C)

12.5 如图所示，为用冲击电流计测量磁极间磁场的装置。小线圈与冲击电流计相接，线圈面

积为A ，匝数为N ，电阻为R ，其法向n 与该处磁场方向相同，将小线圈迅速取出磁场时，冲击电流计测得感应电量为q ，问小线圈所在位置的磁感应强度为多少？

答：q =Idt = B =

⎰

1ΔΦNBA

εdt ==⎰R R R

接冲击电流计

图12.4 思考题12.5图

Rq

NA

12.6 将磁铁插入铜质园环中，铜环内有感应电流和感应电场吗？如果用非金属环代替铜环，环中还有感应电流和感应电场吗？

答：铜环内有感应电流和感应电场。如果用非金属环代替铜环，环中则无感应电流，但感应电场仍然存在。

12.7 两个线圈的自感系数分别为L 1和L 2，现把这两个线圈串联起来，在怎样情况下，系统的自感系数为L =L 1+L 2，又在怎样情况下，系统的自感系数L ≠L 1+L 2。

答：在这两个线圈无互感影响的情况下，L =L 1+L 2。当这两个线圈有互感影响时，L ≠L 1+L 2。 12.8 用金属丝绕成的标准电阻要求无自感，怎样绕制才能达到这一要求？为什么？ 答：把金属丝对折成双线如图缠绕即可。这样，近似地说，标准电阻部分的回路包围的面积为零，有电流时磁通为零，故自感为零。

12.9 当扳断电路时，开关的两触头之间常有火花发生，如在电路里串接一电阻小、电感大的线圈，在扳断开关时火花就发生得更厉害，为什么会这样?

答：扳断电路时，电流从最大值骤然降为零，d I/d t 很大，自感电动势就很大，在开关触头之间产生高电压，击穿空气发生火花。若加上电感大的线圈，自感电动势就更大，所以扳断开关时，火花也更厉害。

12.10 为什么在电子感应加速器中，只有1/4的周期内才能对电子起加速作用？

思考题12-8解图

电子感应加速器是利用感生电场加速电子的高能电子加速器，在圆柱形电磁铁的两磁极间放置一个环形真空室，当电磁铁线圈中通以交变电流时，在两磁极间产生一圆形区域的交变磁场。交变磁场又在真空室内激发涡旋状的感生电场。电子由电子枪注入环形真空室时，在磁场施加的洛伦兹力和涡旋电场的电场力共同作用下电子作加速圆周运动。

由于磁场是交变的，涡旋电场当然也是交变的。因此，在一个周期内电子并不按一种回旋方向加速，而且电子所受的洛仑兹力也并非总是指向圆心。在圆柱形空间区域内，有E i =只有

r d B

，故2d t

d B

不变号时，感生电场的方向保持不变，另一方面，要保证电子所受的洛仑兹力也总是指向d t

圆心，磁场B 的方向应保持不变，对于交变磁场，只有1/4的周期内才满足上述两点。

12.11 一平板电容器充电以后断开电源，然后缓慢拉开电容器两极板的间距，则拉开过程中两极板间的位移电流为多大? 若电容器两端始终维持恒定电压，则在缓慢拉开电容器两极板间距的过程中两极板间有无位移电流? 若有位移电流，则它的方向怎样?

答：I d =C

dU

dt

12.12 圆形平行板电容器，从q =0开始充电，试画出充电过程中，极板间某点P 处电场强度的方向和磁场强度的方向。

12.13. 试写出与下列内容相应韦方程的积分形式：

P

图12.5 思考题12.12图 图12.5 思考题12.12解图

的麦克斯

（1）电力线起始于正电荷终止于负电荷； （2）磁力线无头无尾； （3）变化的电场伴有磁场； （4）变化的磁场伴有电场。

答：（1） （2） （3） （4）

D ∙d S =∑q

S

i

B ∙d S =0

S

H ∙d l =∑I c +⎰

S

∂D

∙d S S ∂t

E ∙d l =-⎰

S

∂D

∙d S S ∂t

12.14. 试述平面电磁波的基本性质.

答：(1) 电磁波是横波。 若k 为沿电磁波传播方向的单位矢量，则E 、H 均与k 垂直，

(2) 电矢量E 与磁矢量H 相互垂直，并且在任何时刻，任何地点，E 、H 和k 三个矢量

总构成右旋系，即E ⨯H 的方向总是沿着传播方向k 的。

(3) E 和H 同频率、同相位，即E 和H 同时达到各自的正极大值，E 和H 的大小有下述

关系

ε0εr E =μ0μr H

(4) 电磁波的传播速度为

u =

在真空中εr =μr =1，故

1μ0μr ε0εr 1μ0ε0

c =≈2. 9979⨯108m ⋅s -1

12.15 在一通有电流I 的无限长直导线所在平面内，有一半径为r 、电阻为R 的导线环，环中心距直导线为a ，如图所示，且a >>r ，当直导线的电流被切断后，沿着导线环流过的电量约为

μIr a +r μ0Ir 211

(A) ； (-) ； (B) 0ln

2πR a a +r 2πR a μ0Ir 2μ0Ia 2

(C) ； (D) 。

2aR 2rR

答：(C )

12.16 在如图所示的装置中，当不太长的条形磁铁在闭合线圈内作振动时(忽略空气阻力) ，

(A) 振幅会逐渐加大; (B) 振幅会逐渐减小; (C) 振幅不变;

(D) 振幅先减小后增大。 答：(B )

图12.6 思考题12.15图

图12.7 思考题12.16图

12.17 圆铜盘水平放置在均匀磁场中，B 的方向垂直盘面向上。当铜盘绕通过中心垂直于盘面的轴沿图示方向转动时，

(A) 铜盘上有感应电流产生, 沿着铜盘转动的相反方向流动; (B) 铜盘上有感应电流产生，沿着铜盘转动的方向流动; (C) 铜盘上产生涡流;

(D) 铜盘上有感应电动势产生，铜盘边缘处电势最高; (E) 铜盘上有感应电动势产生，铜盘中心处电势最高。 答：(D)

12.18 在圆柱形空间内有一磁感应强度为B 的均匀磁场，如图所示， B 的大小以速率d B /dt 变化。有一长度为l 0的金属棒先后放在磁场的两个不同位置1(ab ) 和2(a ′b ′)；则金属棒在这两个位置时棒内的感应电动势的大小关系为

图12.8 思考题12.17图

(A) E 2=E 1≠0; (B) E 2>E 1; (C) E 2

答：(B)

12.19 在圆柱形空间内有一磁感应强度为B 的均匀磁场，如图所示，

l 图12.9 思考题12.18

图

B 的大小以速率d B /dt 变化，在磁场中有A 、B 两点, 其间可放直导线AB 和弯曲的导线A B ，则

(A) 电动势只在AB 导线中产生;

(B) 电动势只在A B 导线中产生;

(C) 电动势在AB 和A B 中都产生，且两者大小相等;

(D) AB 导线中的电动势小于A B 导线中的电动势。

答：(D)

12.20 在一个塑料圆筒上紧密地绕有两个完全相同的线圈aa ′和bb ′，当线圈aa ′和bb ′如图(a ) 绕

制时其互感系数为M 1，如图(b ) 绕制时其互感系数为M 2，M 1与M 2的关系是

(A) M 1=M 2≠0 (B) M 1=M 2=0 (C) M 1>M 2

(D) M 1

(a

)

图12.11 思考题12.20图

(b )

答：(D)

(A) 只适用于无限长密绕螺线管; (B) 只适用于单匝圆线圈;

(C) 只适用于一个匝数很多, 且密绕的螺绕环; (D) 适用于自感系数L 一定的任意线圈。 答：(D)

2

12.21 用线圈和自感系数L 来表示载流线圈磁场能量的公式W m =LI

,

12.22 有两个长直密绕螺线管，长度及线圈匝数均相同，半径分别为r 1和r 2, 管内充满均匀介质，其磁导率分别为μ1和μ2，设r 1/r 2=1/2, μ1/μ2=1/2，当将两只螺线管串联在电路中通电稳定后，其自感系数之比L 1/L2与磁能之比W m1∶W m2分别为

（A ）L 1L 2=，W m 1/W m 2= （B ）L 1L 2=2，W m 1/W m 2= （C ）L 1L 2=2，W m 1/W m 2=2 （D ）L 1L 2=，W m 1/W m 2=2 答：(C)

12.23 两根很长的平行直导线，其间距离为a ，与电源组成闭合回路(如图) 。已知导线上的电流强度为I ，在保持I 不变的情况下，若将导线间的距离增大，则空间的

(A) 总磁能将增大; (B) 总磁能将减少; (C) 总磁能将保持不变; (D) 总磁能的变化不能确定。 答：

(A)

图12.12 思考题12.23图

I

12.24 如图，平板电容器(忽略边缘效应) 充电时，沿环路L 1、L 2磁场强度H 的环流中，必有

H ⋅dl ; (B)H ⋅dl =H ⋅dl ; (C)H ⋅dl

(A)H ⋅dl >

L 1L 1

L 2L 2

L 1

L 2

L 1

2

图12.13 思考题12.24图

答：(C)

12.25 在感应电场中电磁感应定律可写成此式表明:

(A) 闭合曲线L 上E k 处处相等; (B) 感应电场是保守力场;

(C) 感应电场的电力线不是闭合曲线;

(D) 在感应电场中不能像对静电场那样引入电势的概念。 答：(D)

L

E k ⋅d l =-

d Φ

，式中E k 为感应电场的电场强度，d t

12.26 如图所示，空气中有一无限长金属薄壁圆筒，在表面上沿圆周方向均匀地流着一层随时间变化的面电流i (t ) ，则

(A) 圆筒内均匀地分布着变化磁场和变化电场;

(B)

(C) 沿圆筒外任意闭合环路上磁感应强度的环流不为零; (D) 沿圆筒内任意闭合环路上电场强度的环流为零。 答：(B)

12.27 如图所示，图(a ) 中是充电后切断电源的平行板电容器；图(b ) 中是一与直流电源相接的电容器。当两板间距离相互靠近或分离时，试判断两种情况的极板间有无位移电流，并说明原因。

答：(1)因平板电容器的电量不变，当两板间距改变时电场强度不变，故无位移电流。

(2) 电容改变而电源所加电压不变，所以电容器上的电量

必定改变，极板间场强也必定改变，由位移电流定义I d =dΦD /dt 知存在位移电流。

12.25 对位移电流

, 有下述四种说法，请指出哪一种说法正确。 (A) 位移电流是由变化电场产生的; (B) 位移电流是由变化磁场产生的; (C) 位移电流的热效应服从焦耳-楞次定律; (D) 位移电流的磁效应不服从安培环路定理。

图12.14 思考题12.26图

+ q

(a )

图12.15 思考题12.27图

答：(A)

第12章 习题

12.1. 直导线中通以交流电，如图所示， 置于磁导率为μ的介质中，已知：I =I 0sin ωt ，其中I 0、ω是大于零的常量. 求：与其共面的N 匝矩形回路中的感应电动势.

解：B =

μ0I

2πx

μ0I μI l d +a

⋅l d x =0ln 2πx 2πd

Φ=

⎰

d +a

d

图12.16 习题12.1图

ε=-N

μωl d +a d Φ

=-0ln cos ωt dt 2πd

12.2. 如图所示，长直导线中通有电流I =5. 0A ，在与其相距d =0. 5cm 处放有一矩形线圈，共1000匝，设线圈长l =4. 0cm ，宽a =2. 0cm 。不计线圈自感，若线圈以速度υ=3. 0cm /s沿垂直于长导线的方向向右运动，线圈中的感生电动势多大？

解：εab =NB 2lv εdc =NB 1lv ε=εdc -εab =NB 1lv -NB 2lv =

O

图12.17 习题12.2图

μ0IN 1μI a l v N 1

？ (-) lv =0

2πd d +a 2πd (d +a )

12.3 如图所示，一根长为L 的金属细杆ab 绕竖直轴O 1O 2以角速度ω在水平面内旋转。O 1O 2

在离细杆a 端L /5处。若已知地磁场在竖直方向的分量为B ，求ab 两端间的电势差U a -U b 。

解：ob 间的动生电动势

ε1=

⎰

4L /5

(υ⨯B ) ⋅d l =

⎰

4L /5

ωBl d l

1416=ωB (L ) 2=ωBL 2

2550

b 点电势高于o 点。

oa 间的动生电动势

图12.18 习题 12.3图

ε2=

⎰

L /5

(υ⨯B ) ⋅d l =

⎰

L /5

ωBl d l

1L 1=ωB () 2=ωBL 2

2550

a 点电势高于o 点。

∴U a -U b =ε2-ε1=

1163

ωBL 2-ωBL 2=-ωBL 2 505010

12.4 求长度为L 的金属杆在均匀磁场B 中绕平行于磁场方向的定轴O O '′转动时的动生电动势, 已知杆相对于均匀磁场B 的方位角为θ，杆的角速度为ω，转向如图所示。

解 在距的动生电动势为

o

υ×

习题 12-4

o

习题 12-4 解图

o 点为l 处的d l 线元中

d ε=(υ⨯B ) ⋅d l ; υ=ωl sin θ ∴ε==

L

⎰

L

(v ⨯B ) ⋅d l =

2

⎰υB sin(π)cos αd l

L

2

L 0

1

2

⎰ωlB sin θd l =ωB sin θ⎰

1

B ωL 2sin 2θ 2

l d l

=

E 的方向沿着杆指向上端。

12.5. 电流为I 的无限长直导线旁有一弧形导线，圆心角为120 ，几何尺寸及位置如图所示。求当圆弧形导线以速度υ平行于长直导线方向运动时，弧形导线中的动生电动势。 解：连接AO 、OB ，圆弧形导线与AO 、OB 形成闭合回路，闭合回路的电动势为0，所以圆弧形导线电动势与 A O B 直导线的电动势相等。 εAO =v ⨯B ∙⋅d l =-

⎰⎰

2R

R

μ0Iv μIv

=-0ln 2 2πx 2π

εOB =⎰v ⨯B ∙d l =-⎰

5R 22R

μ0Iv μIv 5

=-0ln 2πx 2π4

图12.20 习题 12.5图

εAB =εAO +εOB =-

μ0Iv 5ln 2π2

12.6. 如图，半径分别为b 和a 的两圆形线圈（b >>a ），在t =0时共面放置，大圆形线圈通有稳恒电流I ，小圆形线圈以角速度ω绕竖直轴转动，若小圆形

线圈的电阻为R ，求：（1）当小线圈转过90 时，小线圈中电流的瞬时值；（2）从初始时刻转到该位置的过程中，磁力矩所做功的大小。

解：B =

μ0I

2b

任一时间穿过小线圈的磁通量 Φ=B πa 2cos ωt

ε1d ΦB ωπa 2

小线圈的感应电流 i ===sin ωt

R R dt R B ωπ2a 4π2

当 ωt =时 p m =i πa =

R 2

22

I ωπ2a 4B 2ωπ2a 4μ0

M =Bp m = =2

R 4Rb

B 2ωπa 22

W =⎰i πa Bd θ=

R

⎰

π20

22

I ωπ3a 4B 2ωπ2a 4μ0

sin θd θ=-=

R 16Rb 2

2

12.7 长为L 质量为m 的均匀金属细棒，以棒端O 为中心在水平面内旋转，棒的另一端在半径为L 的金属环上滑动，棒端O 和金属环之间接一电阻R ，整个环面处于均匀磁场B 中，B 的方向垂直纸面向外，如图。设t =0时，初角速度为ω0，忽略摩擦力及金属棒、导线和圆环的电阻。求：

(1) 当角速度为ω时金属棒内的动生电动势的大小。 (2) 棒的角速度随时间变化的表达式。 解 (1)εi =

⎰υB d r =⎰

L L

B ωL 2

r ωB d r = =2

d ω1

(2) J =-M 其中 J =mL 2

d t 3

M =r ⋅BI d r =

1

BIL 2

02

2

1B ωL 2B 2ωL 4=B () L =22R 4R

图12.22 习题 12.7图

⎰

L

d ω3B 2L 2=-d t ω4Rm 3B 2L 2ω=ω0exp(-t )

4Rm

12.8. 圆柱形匀强磁场中同轴放置一金属圆柱体，半径为R ，高为h ，电阻率为ρ，如图所示。若匀强磁场以d B d t =k (k >0, k 为恒量) 的规律变化，求圆柱体内涡电流的热功率.

解：在圆柱体内任取一个半径为r ，厚度为dr ，高为h 的小圆柱通壁

d ΦdB

=πr 2

dt dt

2πr

电阻 R =ρ

hdr

ε=

ε2h dB

dP = =⋅r d r

R ρdt

图12.23 习题 12.8图

P =

πh dB 23πhk R

() ⋅r dr =⎰02ρdt 8ρ

R

24

12.9 如图所示，一电磁“涡流”制动器，由一导电率为σ和厚度为t 的圆盘组成，此盘绕通过其中心的轴以角速度ω旋转，且有一覆盖面积为a 的磁场B 垂直于圆盘。若面积a 是在离轴r 日处，试求使圆盘慢下来的转矩的近似表达式。

解：圆盘旋转过程中的任意时刻，在习题12-9解图所示的处，始终有一覆盖面积为a 2的磁场B 垂直于圆盘。当圆盘经过此处时切割磁力线而产生动生电动势，进而产生一径向感应电流。该感应电流受安培力作用而产生磁力矩，其方向与圆盘旋转方向相反。圆盘上沿径向长度为a 的线段切割磁力线时所产生的动生电动势为

2

2

εi =(υ⨯B ) ⋅dl =Ba υ=Bar ω

⎰

t

习题12-9

习题12-9解图

小方块径向电阻为 R =ρ

a 1= at σt =Bar ωσt

所以感应电流为 i =

εi

R

其所受到的安培力为 F =iaB

所产生的力矩为 M =rF =riaB =r 2a 2B 2ωσt

12.10 均匀磁场B 被限制在半径R =10cm 的无限长圆柱空间内，方向垂直纸面向里，取一固定的等腰梯形回路abcd ，梯形所在平面的法向与圆柱空间的轴平位置如图所示。设磁场以dt =

1T s 的匀速率增加，已知

行，

c

⨯

θ=π/3，oa =ob =6cm ，求等腰梯形回路中感生电动势的大小和方向。

解： 如图12-10 所示 ε=

d Φd B

=S

d t d t

ε=S

d B 121d B

=(R θ-ab ⋅ol ) d t 22d t =3.68mV

ε 方向：沿adcb 绕向。

12.11 在半径为R 的圆柱形空间内，充满磁感应强度为B 的均匀磁场， B 的方向与圆柱的轴线平行。有一无限长直导线在垂直圆柱中心轴线的平面内，两线相距为a ，a >R ，如图所示，已知磁感应强度随时间的变化率为dt ，求长直导线中的感应电动势ε。

解：由该问题的轴对称性和轴向的无限长条件可知，感生电场的场

图12.26 习题 12.11图

强E 在垂直轴线的平面内，且与径向相垂直。如图所示，选取过轴线而平行给定的无限长直导线的

一条无限长直导线，与给定的无限长直导线构成闭合回路(在无限远闭合) ，则在过轴线的长直导线上，因E 处处与之垂直，所以电动势为零。又在无限远处E =0，故此回路中的电动势就是给定的无限长直导线中的电动势ε 。

该回路的磁通量 Φ=由电磁感应定律有

12

πR B 2

>0

图12.26 ε 习题12.11图 > 0

d Φ1d B

ε=- =-πR 2

d t 2d t

ε 的正方向如图所示。

12.12 电量Q 均匀分布在半径为a 、长为L (L >>a )的绝缘薄壁长圆筒表面上，圆筒以角速度

ω绕中心轴线旋转，一半径为2a 、电阻为R 的单匝圆形线圈套在圆筒上(如图所示) 。若圆筒转速

按照ω=ω0(1-t /t 0) 的规律(ω0和t 0是已知常数) ，随时间线性地减小，求圆形线圈中感应电流的

大小和流向。

解：筒以ω旋转时，相当于表面单位长度上有环形电流

Q ω

，它和通电流螺线管的nI 等效。按长螺线管⋅L 2π

产生磁场的公式，筒内均匀磁场的磁感应强度为

图12.27 习题12.12图

B =

μ0Q ω

(方向沿筒的轴向) 2πL

筒外磁场为零。所以穿过线圈的磁通量为

Φ=πa B =

在单匝线圈中产生感生电动势为

2

μ0Q ωa 2

2L

2

μ0Qa 2ω0d Φμ0Qa d ω

ε=-=(-) =

d t 2L d t 2Lt 0

感应电流i 为 i =

ε

R

=

μ0Qa 2ω0

2RLt 0

i 的方向与转向一致。

12.13 如图所示，两个半径分别为R 和r 的同轴圆形线圈相距x ，且R >>r ，x >>R 。若大线圈通有电流I 而小线圈沿x 轴方向以速率υ运动，试求x =NR 时(N 为正数) 小线圈回路中产生的感应电动势的大小。

解：由题义，大线圈中的电流I 在小线圈回路处产生的磁场可视为均匀的。

μ0μ0IR 22πIR 2

B ==

4π(R 2+x 2) 3/22(R 2+x 2) 3/2

故穿过小回路的磁通量为

Φ=B ⋅S =

μ0

IR

πr 2 223/2

2(R +x )

2

图12.28 习题12.13图

≈

πμ0Ir 2R 2

2x 3

由于小线圈的运动，小线圈中的感应电动势为

d Φ3μ0πr 2IR 2d x 3μ0πr 2IR 2

εi ===υ

d t 2x 4d t 2x 4

当x =NR 时，小线圈回路中的感应电动势为

εi =3μ0πr 2I υ/(2N 4R 2)

12.14 如图所示，一个限定在半径为R 的圆柱体内的均匀磁场B ，以1.0⨯10-2T ⋅s -1恒定速率减少，当把电子放在a ，o ，c 各点处时，其所获得的瞬时加速度(大小和方向) 各为若干？设γ=5. 0cm ？

解：由感应电场的环路定理得

εi =E ⋅d l =-

L

d Φd B

=-πr 2

d t d t

d B

d t

E ⋅2πr =-πr 2

所以r 处感应电场的大小为

ε=

r d B

=2.5⨯10-4N ⋅C -1 2d t

图12.29 习题 12.14图

方向为顺时针方向。

故电子在o 点的加速度a o =0。 电子在a ， c 两点的加速度大小相等，均为

a a =a c =

F eE ==4. 4⨯107m ⋅s -2 m m

其中a 点加速度向右，c 点加速度向左。

12.15 无限长密绕螺线管半径为r ，其中通有电流，在螺线管内部产生一均匀磁场B ，在螺线管外同轴地套一粗细均匀的金属圆环，金属环由两个半环组成，ab 为其分界面，半环电阻分别为R 1和R 2，如图所示图中螺线管垂直纸面放置。当螺线管内部磁感应强度B 增大时，分别就(1)R 1=R 2；(2) R 1>R 2 ；(3) R 1

解：当螺线管内部磁感应强度增大时，在金属环内产生涡旋电场，其电场线为沿逆时针方向的圆。

由ε=E k ⋅d l =-动势为

a

R 1 R 2

∂B

⎰∂t ⋅d S 可知，整个金属圆环产生感应电

图12.30 习题12.15图

ε=πr 2

d B d t

R a

2

πr 2d B πr 2d B

左半圆电动势ε1=，右半圆电动势ε2=，由基尔霍

2d t 2d t

夫电压定律

εε-R 22R 1+R 2

U ab =ε1-IR 2=

b

习题12-15解图

ε(R 1-R 2) =

2(R 1+R 2)

讨论：(1)R 1= R2， U a = Ub ，两端电势相等。

(2) R1> R2，U a > Ub ，a 端电势高。 (3) R1

12.16 有一圆环，环管横截面的半径为a ，中心线的半径为R ，R >>a 。有两个彼此绝缘的导线圈都均匀地密绕在环上，一个N 1匝，另一个N 2匝，求:

(1) 两线圈的自感L 1和L 2; (2) 两线圈的互感M ; (3) M 与L 1和L 2的关系。

12.17. 将金属薄片弯成如图所示回路，两端为半径为a 的圆柱面，中间是边长为l ，间隔为d 的两正方形平面，且l >>a ，

图12.31 习题12.17图

（2）若沿圆柱面的轴向加变化磁场B =B 0+kt ，试求a >>d . （1）试求该回路的自感系数；

回路中的电流I (t ) . （回路中的电阻很小，可忽略不计）

解：（1） B =μ0nI =μ0

I l

1B 21B 222

⋅πR l +⋅l d W =wV =2⋅

2μ02μ0

μ0I 21

πR 2+μ0I 2d =l 2

根据 W =

12LI 2

2μ0πR 2

+μ0d L =l

（2）ε=L

dI d Φ

d Φ=S ⋅dB =

dt dt

S 2πR 2+ld l k t

= I =⎰kdt = 2

L μ2μ0πR 0

+μ0d l

12.18 截面为圆的长直铜导线中，通有强度为I 的电流，电流均匀地分布在横截面上。求： (1) 导线内部单位长度上的磁能；

(2) 若I =10A ，计算2m 长导线内的磁能。 解：(1)导线内，离轴为r 处的磁感应强度为

B =

μ0Ir

2πR 2

式中，R 代表导线的半径，铜的相对磁导率μR =1，因此在铜导线内部的磁能密度为

22I B 21μ0

w m ==r 2 24

2μ02μ04πR

导线内单位长度上的总磁能为

μ0I 22μ0I 2

W =r ⋅2πR d r =

8π2R 44πR 4

⎰⎰

R

μ0I 2

r d r =16π

3

(2) W =2⨯10-7⨯

1

⨯102=5. 0⨯10-6J 4

12.19 一长铜导线载有I =10A 的电流，电流均匀地分布在横截面上，若铜导线的直径

d =2. 54mm ，每单位长度的电阻为3. 28⨯10-3Ω⋅m -1。求：

(1) 导线表面处的磁能密度； (2) 导线表面处的电能密度。

解：(1)按上题的结果，在导线内的磁能密度为

μ0I 22

w m =24r

8πR

在导线的表面处，其磁能密度为

μ0I 2

'=22=0. 99J /m 3 w m

8πR

(2)由微分形式的欧姆定律有

j =E /ρ

故 E =j ρ=

I

ρ=R 'I 2

πR

其中 R '=3. 28⨯10-3Ω/m 电能密度为 w e =

12.20 如图所示，一匝边长为a 的正方形线圈与一无限长直导线共面，置于真空中。 (1) 当二者之间的最近距离为b 时，互感系数M 为多少？线圈受力F 为多少？

(2) 若维持I 1及I 2不变而线圈向左移动，由b 减至b 2的过程中磁力做功A 为多少？磁能增量ΔW 为多少？

B

12

εE =4. 8⨯10-15J /m 3 2

I 解：(1)在线圈平面上，距长直导线x 处，取宽为d x 、长为a 且与长直导线平行的面积元(习题13-18解图) 。在面积元上，磁感应强

图12.32 习题12.20图

度

B =

方向垂直纸面向内。磁通量

μ0I 1

2πx

d Φ=BdS =

通过线圈的磁通量

μ0I 1a

dx 2πx

Φ=d Φ=

⎰⎰

a +b

b

μ0I 1a μI a a +b

dx =01ln

2πx 2πb

因此，长直导线与线圈的互感系数

M =

Φμ0a a +b

=ln

I 12πb

AB 、AC 两边受磁力作用，但它们等值反向，互相抵消，线圈所受合力为

F =F AD -F BC =I 2aB 1-I 2aB 2

=

μ0I 1I 2a μI I a μI I a 11 -012=012(-) 2πb 2π(a +b ) 2πb a +b

方向垂直并指向长直导线。

I 1

I 1

C C

习题12-18

习题12-18解图

(2)当线圈与长直导线相距为x 时，线圈受力

F =

μ0I 1I 2a 11

(-) 2πb x x +a

线圈向左移动到x =b /2时，磁力作的功

A =F ⋅dS =-Fdx =

b

⎰⎰

b /2

μ0I 1I 22a +b

(1) ln

2πa a +b

线圈移动后，它和长直导线的互感系数也变了，其值变为

M '=

μ0a a +b /2μ0a 2a +b

ln =ln

2πb /22πb

线圈移动前，线圈与长直导线这一系统的磁能

W 1=

线圈移动后，系统的磁能

11

L 1I 12+L 2I 22+MI 1I 2 22

W 2=

所以磁能的增量

11

L 1I 12+L 2I 22+M 'I 1I 2 22

ΔW =W 2-W 1=(M '-M ) I 1I 2

μ0a 2a +b μ0a a +b

ln -ln ) I 1I 22πb 2πb μI I a 2a +b =012ln

2πa +b =(

(2)

由(1)、(2)可知，磁力做功，同时系统磁能也增加，其能量来源于维持I 1、I 2不变的两回路中的电源。

12.21 一平行板电容器的电容为C ，两板间电势差为V ，试证该平板电容器中的位移电流为 I d =C

d V

d t

另外在1μF的电容器中产生1A 的位移电流，问加在电容器上的电压变化率应为多大? 解：设平行板电容器极板面积为S ，极板间距为d ，则其电容器C =电介质的电容率。

因为 ΦD =DS =εES =ε

εS

，式中ε为两极板间的d

V

S =CV d

故位移电流 I d =

d ΦD d V

=C

d t d t

由I d =C

d V

，有 d t

d V I d 16

===10V/s d t C 1⨯10-6

12.22 如图所示，电荷+q 以速度υ向O 点运动(+q 到O 的距离以x 表示) 。在O 点处作一半径为a 的圆，圆面与υ垂直，试计算通过此圆面的位移电流以及圆周上各点处磁场强度H 。

解：电荷q 沿着圆的轴线运动。在某一时刻，电荷在圆面积上产生的电通量等于以此圆为底面的球冠面积上的电通量，此球冠的球心在点电荷所在处，球半径为r 。球冠面积

S =2πr (r -x )

q 4πε0r 2

球冠上场强 E =

+q q

电位移 D =ε0E =

4πr 2

球冠上(即圆面上) 电通量

图Φe =DS =

q

⋅2πr (r -x ) 4πr 2

q q x x =(1-) =(1-)

222r 2x +a

当点电荷向圆面积运动时，圆面上的位移电流

I d =

d Φe d Φe d x =d t d x d t

q a 2d x =-

2(x 2+a 2) 3/2d t

dx dx

qa 2υ

所以 I d = 223/2

2(x +a )

由于电荷沿圆的轴运动，位移电流产生的磁场具有轴对称性，在圆周上各点磁场强度相同，方向与圆相切。沿圆周的积分

H ⋅d l =2πaH

根据安培环路定律

qa 2υ

2πaH =I d =

2(x 2+a 2) 3/2

H =

q υa

4π(x 2+a 2) 3/2

因为 x 2+a 2=r 2,

a a

==sin θ

(x 2+a 2) 1/2r

所以 H =

q υsin θ

4πr 2q υ⨯r

3

4πr

写成矢量式即 H =

与运动电荷的磁场计算公式完全相同。

12.23 一内导体半径为R 1、外导体半径为R 2的球形电容器，两球间充有相对电容率为εr 的介质，在电容器上加电压，内球对外球的电压为U =U 0sin ωt，假设ω不太大，以致电容器电场分布与静态场情形近似相同，求介质中各处的位移电流密度，再计算通过半径为r (R1

解：由静电学计算

E =

q (t ) 4πε0εr r 2

e r

U =

q (t ) 4πε0εr

(

q (t )(R 2-R 1) 11

-) =

R 1R 24πε0εr R 1R 2

∴E =

UR 1R 2R 1R 2

e =U 0sin(ωt ) e r r 22

r (R 2-R 1) r (R 2-R 1)

位移电流密度为

j =

εεR R ∂D ∂E

=ε0εr =20r 12U 0ωcos(ωt ) e r ∂t ∂t r (R 2-R 1)

-t

12.24 给电容为C 的平行板电容器充电，电流为i =0. 2e (SI)，t =0时电容器极板上无电荷。求：

(1) 极板间电压U 随时间t 而变化的关系。 (2) t 时刻极板间总的位移电流I d (忽略边缘效应) 。 解：(1)U =

q 1t 1

=i d t =-⨯0. 2e -t C C 0C

⎰

t 0

=

0. 2

(1-e -t ) C

(2)由全电流的连续性，得

I d =i =0. 2e -t

12.25 一平面电磁波在真空中沿x 轴正方向传播，设某点的电场强度为

E y =900cos(2πνt +

和磁场强度如何？

π

6

m -1) ) (V·

试求这一点的磁场强度的表达式。若在该点前方a 米处和后方a 米处(均沿x 轴计算) ，其电场强度

解：设该电磁波沿x 轴正向传播，根据磁场强度H z 与电场强度E y 的关系，有

H z =

y 式中，ε0=8.85⨯10-12C 2⋅N -1⋅m -2，μ0=4π⨯17-7H ⋅m -1，故H z 为

H z ≈2.4cos(2πνt +) (A⋅m -1)

6

故电磁波的波动方程为

π

E y =900cos(2πνt -H z =2.4cos(2πνt -

当x =a 时

2πx

+) (V⋅m -1) λ6

π

2πx

+) (A⋅m -1) λ6

π

E y =900cos(2πνt -H z =2.4cos(2πνt -

当x =-a 时

2πa

+) (V⋅m -1) λ6

π

2πa

+) (A⋅m -1) λ6

π

E y =900cos(2πνt +H z =2.4cos(2πνt +

2πa

+) (V⋅m -1) λ6

π

+) (A⋅m -1) λ6

12.26 一广播电台的广播辐射功率是10kW 。假定辐射均匀分布在以电台为中心的半球面上。

试求：

(1) 距离电台r =10km处坡印廷矢量的平均值；

(2) 若在上述距离处的电磁波可看作平面波，求该处电场强度和磁场强度的振幅。

2πa π

解：(1)在距电台r 处的坡印廷矢量的平均值为

P 10⨯10S =≈≈1. 6⨯10-5(J ⋅m -1⋅s -2) 2262πr 6. 28⨯10⨯10

(2)坡印廷矢量的最大值为平均值的2倍，即

S max =2S =E 0H 0

式中，E 0和H 0分别为电场强度和磁场强度的振幅值，根据ε0E 0=μ0H 0可分别求和如下：

又

∴

E 2ε00μ=2S 0∴E 00=2S μ≈0. 11(V ⋅m -1ε) 0H 200=με=2S 0H ε00=2S μ≈2. 9⨯10-4(A ⋅m -1) 0

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