如何学好函数.极限.连续
如何学好《高等数学》
一、《高等数学》是干什么的? 1、《高等数学》是科学计算的工具。
2、《高等数学》培养我们的逻辑思维、逻辑推理、空间想象力。 3、《高等数学》培养我们:把无序的问题化为有序问题。 二、如何解决问题? 在我们阅读试题时,研究:
1、试题中的每一句话是什么意思?给我们带来什么结果? 2、本题要解决什么问题?
3、解决这个问题有几个途径?每一个途径(方法)需要什么条件? 4、结合已知条件,选择合适的方法、公式进行论证、计算。 三、在学习过程中我们要做什么? 1、弄懂基本概念:
1)概念是怎么形成的?
(规定的名词?图形特征?过程描述?) 2)概念说明了什么问题?解释了什么现象?
3)概念中所阐述的几何意义是什么?(在几何图形中的意义与作用) 4)概念的数学特征(表达式)是什么? 2、掌握基本定理与基本公式:
定理,是经过证明论证的正确结论。
学习定理,一定要清楚:定理解决什么问题? 定理需要的条件是否满足?
定理的结论的表达式? 学习公式,要:理解公式中每个字母的含义, 公式规则,
逆向书写(思考、使用)
3、掌握一些特殊问题的解决技巧,可以帮助我们更好、更快地突破难点。 4、及时补充基础知识,否则,我们解决问题的思维受阻。5及时总结每一章、每一节、每一单元的知识点与解决问题的方法、规则、
6、实践一下,检验我们的学习成果。练习与作业是我们必须完成的。、关于函数的问题1)理解函数的意义 什么是函数?简单说来,y =3x 2
2)真正明白:什么是函数的定义域、对应关系。什么是定义域?定义域是使函数有意义(能求得函数值)的自变量(已知函数2x +,它的计算规则是:1
y 表示,则称:u 表示,则称:f (x
函数就是变量之间的某一种对应关系y 是u 是
的定义域为:f () x 的函数;x 的函数。[-1,3].
3() 2-2()
f (x -1) 的定义域。
(也叫:(对应关系)
计x 本技巧。四、高等数学的基本知识 1算规则)
至于用什么字母来表示,那是另当别论。比如: =+1- 这个结果用 这个结果用身)的取值范围。比如:+1) 求:
分析:1、“f (x +1) 的定义域为:[-1,3].”告诉我们什么?
f (x +1) 中的x 的取值范围是:-1≤x ≤3 f (x +1) 中的() 的取值范围是:0≤(x +1) ≤4
2、“f (x ) -1中的x 与f (x +1) 中的x 意义相同吗?不同! 这两个函数什么没有变化?() 的取值范围不变! 因此,在f (x -1) 中,() 的取值范围是:3、“求:f (x -1) 的定义域”是什么意思?这是求:在f (x -1) 中的x 的取值范围!怎样转换?0≤(x -1) ≤4,这就解决了函数f (x -1) 的定义域是:2、研究函数的什么?
1)表达式:
2)图形:(这个很重要哦!)
通过图形,我们才能掌握函数的基本特征:定义域、值域、 单调性、奇偶性、周期性、有界性、特殊值、对称性。3)函数的基本性质:
(1)单调性:(图形特征)对于某区间内的任意两点 ~单调增加函数
(2)奇偶性:(图形特征)
前提是:函数的定义范围必须关于原点对称1≤x ≤50≤(x -1) ≤4
x ∈[1,5]。
....x 1, x 2(x 1单调减少函数~
(否则谈不上奇偶性)x 2) ∴。
。
偶函数
f (-x ) =f (x )
奇函数
f (-x ) =-f (x )
(3)周期性:
l 是与x 无关的常数。
T 最小的正数l 这叫做:周期
(4)有界性:
存在两个常数m , M ,使得
函数f (x ) 在区间 (a
, b ) 内满足:
m
有界函数的“界”不是唯一的。
3、基本初等函数:(注意函数的表达式、函数的图形)你记住了吗? 包括:常函数:y =c
幂函数:y =x μ
指数函数:y =a x (a >0, ≠1)
对数函数:y =log a x (a >0, ≠1)
三角函数:y =sin x ,cos x , tan x ,cot x
反三角函数:y =sin -1x ,cos -1x , tan -1x ,cot -1x
1
o
函数的性质:观察图形可知。
(包括:定义域,值域,单调性,奇偶性,周期性,有界性) 4、常用公式:
(1)幂(指数)与对数的运算公式【双向使用】
a m a n =a m +n a m /a n =a m -n (a m ) n =a mn (ab ) n =a n b n (a /b ) n =a n /b n a 0=1(a ≠0) a -1=1/a
n m
1、定义式:a x =M ~x =log a M (a >0,≠1) 2、性质:log a a =1; log a 1=0, 零和负数没对数。3、公式:log a M +log a N =log a MN (M >0, N >0)
log a M -log a N =log a
M
(M >0, N >0) N
log a M λ=λlog a M (M >0, λ∈R )
4、换底公式:log a M =
log c M log c a
(c >0, ≠-1)
a n =a
2
(a >0)
常见的结论:log a b =5、恒等式:a log a M =M
1n
; log a m b n =log a b log b a m
a =|a |(a ) 2=a (a ≥0)
6、常用对数与自然对数:log 10M =lg M ,log e M =ln M
(2)常用的三角函数公式
sin x +cos x =11+tan 2x =sec 2x x
1-cos x =2sin ()
2
2
22
1-sin x =cos x sec 2x -1=tan 2x 1
sin x cos x =sin 2x
2
22
sin x
tan x =
cos x 1
sec x =
cos x
cos 2x =cos 2x -sin 2x
5、认识:复合函数、反函数、隐函数、分段函数、参数方程
1)复合函数
复合函数,就是几个函数的叠加。 定义:假设变量y 是u 的函数,即:y =f (u ). 而u 是x 的函数,即:u =φ(x ).
如果 φ(x ) 的值域能够全部或部分地满足...............f (u ) 的定义域,..... 则称:变量y 是变量x 的复合函数。记作:y =f [φ(x )]. 复合:就是迭代;复合函数的分解是重点。 2)反函数
①定义(也是求法):假设y =f (x )
由等式 x ②函数y 关于直线
③函数y 3)隐函数 有些函数可明显地表示成: 有些函数不能够明显地表示成 s i n
x y = 但是,每当变量只是不能够表示成y =f (x ) 解出唯一的结果.....
:x =f -1(y ) ,则称:f -1(y ) 是函数y =f (x ) 的反函数。记作:y 这是因为:习惯上,我们常用字母y 表示函数; 用字母x 表示自变量。f -1(x ) 与函数y =f (x ) 的图像在同一个坐标系中,y =x 对称。 f -1(x ) 与函数y =f (x ) 的定义域与值域:互换!
y =f (x ) ;
y =f (x ) 的形式。比如:1-x +;y e x +y =x 2+xy -3,等等。 x 取一个值时,变量y 总有一个值与之对应,y =f (x ) 的形式,这种函数,叫做隐函数。 f -1(x )
== ==
4)分段函数
分段函数是指:在不同的区间上用不同的表达式表示的一个函数。 通常的形式:
5)参数方程
⎧φ(x ) 当x ∈I 1
y =⎨[I 1⋂I 2=Φ]⎩ϕ(x ) 当x ∈I 2
6、关于函数的极限问题 1)极限的含义
2)极限存在的充要条件: t 控制 ⎧⎨
x =φ(t )
⎩
y =ϕ(t ) (t 为参数)
..f (x ) 在x 的某一种变化过程中的变化趋势.....
。 lim
n →∞x n =a ,lim x →∞f (x ) =a ,lim x →x
f (x ) =a 。 0
1:x →x 0表示:x 的取值可以无限地接近于x 0,但x ≠x 0。 2:∞仅表示一个符号,表示无穷远的方向,不是数值。
3:x →∞~⎧⎨x →+∞⎧⎪x →x +
⎩x →-∞,x →x 0~⎨⎪-
。 x x →x -f (x ) x ⎩x →x 0
0点的左极限:lim 0点的右极限:lim f (0x →x +
x ) 0
1:x lim →x
f (x ) =a 的充分必要条件是:x lim →x -f (x ) =lim f (x ) =a 0
0x →x +0
理解: 通常用于研究: 分段函数在分段点 处的极限问题。
2:lim x →∞f (x ) =a 的充分必要条件是:x lim →-∞f (x ) =x lim →+∞
f (x ) =a 平面上点的坐标(轨迹)由第三个参数变量通常的形式: 极限是指:函数 记作: 注 注 注定理 定理
理解: 通常用于研究:
非对称函数在 x →∞ 时的极限问题。 3)如何求极限?
清楚常见的事实:lim
1
=0(k >0) ; k 极限表达了:函数 基本方法:(1) 四(4)利用等阶无穷小的性质;(6)罗必达法则。(1)四则运算法则:前提条件:公式:
说明:若前提条件不满足,这组公式不能用! 关于求极限的处理方法: ①代入 n →∞
n lim 1
x →∞x
k =0(k >0) ; k x lim →x x =x k 。 0
0(k >0) f (x ) 在x 的某一变化过程中的变化趋势,与
则运算法则;(2)等阶无穷小代换;((5)连续函数求极限;
x lim
→x f (x ) 存在(=a ) ,lim g (x ) 存在(=b ) 0
1). lim[f (x ) ±g (x x →x
x →x )]=lim f (x ) ±lim g (x )
x →x 0
x →x 0
2). lim[x →x f (x ) g (x )]=lim 0
x →x f (x ) lim 0
x →x g (x )
3). lim[x →x kf (x )]=k lim f (x )
x →x 0
4). lim[f (x ) lim f (x ) ]=x →x 0x →x lim g (x ) (limx →x g (x ) ≠0) 0g (x ) 0
x →x 0
这组公式对于 x →∞
的极限同样适用!
x 0能求函数值,就求函数值;
lim(2
x 2x →3
-7) =2⨯32-7=11 f (x 0) 无关。3)重要极限;
②分式函数,代入x 0后分母=0时,检查分子是否为零; 分子=0的,因式分解找出(x -x 0) 的因子,约分化简
直到分母的极限≠0,才可以使用四则运算法则。
lim x 2-3x -4x →-1x 2-1=lim (x -4)(x +1)
x →-1(x -1)(x +1) =lim (x -4) 5x →-1(x -1) =2
分子≠0的,此极限先把函数倒过来说明是无穷小量,而后才能说明原极限是无穷大。
求:lim
x x -2x x -2,解: lim
x →2x
=0,∴lim x
→2
x →2x -2=∞。 ③对于 x →∞ 时的分式函数极限,通常是:分子、分母 同时除以分母的最高次幂,以使得分母的极限存在且不等于零。如:
2
lim 2x -3x -42-3-42
x →∞x 2-1=lim x →∞=2 1-2
x lim →+∞=lim = x →+∞2+3x lim
→+∞x 2+x
=(2) 利用重要极限公式。x lim →+∞==
2+x lim
→+∞x 2+2x
重要公式(原型)lim
sin x x →0x =1,lim(11
x →∞+x
) x =e 扩展:φlim
sin φ(x ) (x ) →0φ(x ) =1, 1φ(x )
φlim (x ) →∞(1+φ(x )
) =e 1
φ(lim x ) →0
[1+φ(x )]
φ(x )
=e
如:x sin
1lim 1sin(1
)
x →∞x sin x =lim
x →∞1=lim x →∞(=1 x
)
lim(1x →∞-12x ) x =lim(11(-2x ) (-12
) 1(-2x ) -1x →∞+(-2x ) ) =lim[(1x →∞+(-2x )
) ]2
e -1
2
=
f (x ) =f (x 0) (3) 如果函数在x 0点连续,则必有:x lim →x
一切初等函数,在它们的定义域内都连续。
这就是说:只要x 0是初等函数定义域内的一点,必有:
f (x ) =f (x 0) x lim →x
连续的复合函数求极限,可以把极限符号与函数符号互换。
x →x 0
lim f [φ(x )]=f [limφ(x )]
x →x 0
x →0
e 如: lim x →0
sin 2x x
=e
lim
sin 2x x
=e 2。
=
x →(4) 利用等阶无穷小代换,以简化求极限的函数。
常用的结论: 当φ(x ) →0时,
sin φ(x ) ~φ(x ); arcsin φ(x ) ~φ(x )
tan φ(x ) ~φ(x ); arctan φ(x ) ~φ(x ) 如:lim
x →0
e φ(x ) -1~φ(x ); ln(1+φ(x )) ~φ(x ) [1+φ(x )]-1~λφ(x )
x sin 2x x (2x ) 2
=lim = x →0arctan x ln(1+3x ) x (3x ) 3
λ
x x 2sin 2() 2 () 2
1-cos x 1lim 3x 2=lim 3x 2=lim 2= x →0x →03x 6e -1x →0e -1
(5) 利用等阶无穷小的性质
“无穷小与有界函数的积仍为无穷小”。
x sin =0。且不可写成:lim x limsin =0。 如:lim x →0x →0x →01
x
x arctan x x
=lim arctan x =0 再如:lim 22x →∞x →∞1+x 1+x
不存在,这是因为:limsin 不能用四则运算法则。 x →0
1
x
1x
(6) 罗必达法则
罗必达法则解决:, . 型函数的极限问题。 只要:
f (x )
的分子、分母同时趋于0或∞; g (x )
0∞0∞
f (x ), g (x ) 都可导且lim f '(x )
存在或无穷大。 则必有:使用时,要注意:条件是否满足? 不存在,可考虑其它办法解决。7、关于连续函数的问题1)函数连续的特征: (1)函数在 ∆
l x i →m 0∆y = (2)如果函数函数f (x ) (3)如果函数 f (x ) 在a 点右连续【 则称:函数
g '(x )
lim
f (x ) f '(x ) g (x ) =lim
g '(x )
。 ⎧⎪f (x ) ∞⎪⎨
g (x ) 为0
0型或∞
型?f '(x ) ⎪⎪⎩
lim g '(x ) 存在或无穷大?如果条件成立,则结论一定正确;
如果条件不成立,则结论未必成立(公式不能使用)但极限未必
x 0点连续的特征:
lim x →x
f (x ) =f (x 0
0) f (x ) 在区间(a , b ) 内的每一点都连续,则称:
(a , b ) 上连续。
f (x ) 在开区间(a , b ) 上连续,且:
x lim →a +
f (x ) =f (a ) 】在b 点左连续【 lim x → b -
f (x ) = f (b ) 】
f (x ) 在闭区间[a , b ]上连续。(如图)
或0在区间
2)函数f (x ) 在x 0点连续,要满足条件:
3)间断以及间断点
⎧
⎪(1)f (x 0) 存在;⎪
lim f (x ) 存在
~lim f (x ) =lim f (x ) ⎨(2)x -+→x 0x →x 0x →x 0
⎪
⎪(3)lim f (x ) =f (x 0).
x →x 0⎩
间断,是连续问题的对立。既“不连续” 如何理解“间断”?(如图)曲线
在x 0(1)(2)(3)如果函数4)间断点的分类 第一类间断点:第二类间断点: 函数f (x ) 在x 0点没有定义(没有值) 函数f (x ) 在x 0点虽然有定义,但是 虽然f (x ) 在x 0点虽然有定义,且f (x ) 在x 0点满足上述条件之一,则称研究函数在哪一点没有极限?注意分段函数在分段点的左右极限;
。
f (x ) 在x 0点连接着吗?没有!
;
x lim
→x
f (x ) 不存在; 0
lim lim f (x ) ≠f x →x
f (x ) 存在,但 0
x →x (x 0) 0x 0为间断点。
lim x → x f (x ) ≠f (x 0) 0 ?
间断的曲线有什么特征?如何寻求间断点?
首先,研究函数在哪一点没有定义?使函数没有定义的点就是间断点; 其次, 最后,对于分段函数在分段点处如果极限存在,看一看是否满足:
第一类间断点的特征:左、右极限都存在。 左、右极限相等的间断点,称为“可去间断点”。 左、右极限不相等的间断点,称为“跳跃间断点”
f (x ) ,则函数在x 0点连续。 对于可去间断点x 0,可规定f (x 0) =x lim
→x
第二类间断点的特征:左、右极限至少有一个不存在。 极限=∞的间断点,叫做: 函数来回震荡的间断点,叫做:5)连续函数的性质:“在x 0点连续”就说明“ (1)在同一点连续的函数之和、 (2)连续函数的复合函数,仍是连续函数。 (3)连续函数的反函数仍是连续函数。 (4)一切基本初等函数,在它们的定义域内都是连续的。 (5)一切初等函数,在他们的定义域内都是连续的。 这说明:只要x 0在初等函数6)闭区间上连续函数的性质: (1)最大值最小值定理:(如图) 如果函数则在 即:闭区间上的连续函数一定有最大值和最小值。。 “震荡间断点”。
lim x → x
f ( x ) = f ( x 0) ” 0
差、积、商(分母不等于零)仍是连续函数。
lim x → x f [φ(x )]=
f [limφ(x )]=f [φ(x 0)]0
x →x
f (x ) 的定义域内,则: lim x →x f (x ) =f (x 0)
f (x ) 在[a , b ]上连续,
[a , b ]上至少有一点ξ1,使得f (ξ1) 为
函数f (x ) 在[a , b ]上的最大值; [a , b ]上至少有一点ξ2,使得f (ξ1) 为 函数f (x ) 在[a , b ]上的最小值。
“无穷间断点”在
(2)介值定理(如图) 如果函数f (x ) 在[a , b ]上连续, 则对于介于最大值M 和最小值m 之间 的任何常数c ,在区间(a , b ) 内至少
存在一点ξ,使之满足:f (ξ) =c 。
推论(根的存在定理):
f (x ) 在闭区间f (a ) f (b )
ξ是方程f (x ) [a , b ]上连续,(a , b ) 内至少有一点0的根。
假设函数 且ξ 满足:即:=