特殊四边形分类讨论
分类讨论(相似三角形、平行四边形、梯形)
1.相似三角形的分类讨论
将三角形纸片(△ABC )按如图所示的方式折叠,使点B 落在边AC 上,记为点B ′,折痕为EF .已知AB =AC =3,BC =4,若以点B ′,F ,C 为顶点的三角形与△ABC 相似,那么BF 的长度是 .
12/7 或2.
抛物线的关系式为y =x -4 x+3. 2图1
(1)若点M (x ,y 1),N (x +1,y 2)都在该抛物线上,试比较y 1与y 2的大小;
(2)D 是线段AC 的中点,E 为线段AC 上一动点(A 、C 两端点除外),过点E 作y 轴的平行线EF 与抛物线交于点F .问:是否存在△DEF 与△AOC 相似?若存在,求出点E 的坐标;若不存在,则说明理由.
解:
(2)∵点M (x ,y 1),N (x +1,y 2)都在该抛物线上,
∴y 1-y 2=(x -4 x+3)-[(x+1) -4(x+1) +3]=3-2x. 22图2-1 333时,y 1>y 2 ; 即x =时,y 1=y 2 ; 即x >时,y 1<y 2 . 222
33(3)线段AC 的中点为D (, )直线AC 的函数关系式为y =-x +3 . 22即x
①如图2-1,当F 为直角顶点时, E(4-2+,) . 22
5-1+,).
22②如图2-2,当D 为直角顶点时,得点E (
2.平行四边形分类:
2如图,已知抛物线y=ax-2ax-b (a >0)与x 轴的一个交点为B (-1,0),与y 轴的负半轴交于点
C ,顶点为D .
(1)直接写出抛物线的对称轴,及抛物线与x 轴的另一个交点A 的坐标;
(2)以AD 为直径的圆经过点C .①求抛物线的解析式;②点E 在抛物线的对称轴上,点F 在抛物线上,且以B ,A ,F ,E 四点为顶点的四边形为平行四边形,求点F 的坐标.
抛物线的解析式为:y=x²-2x-3 所以F 点的坐标为(-3,12)或(5,12)
3.梯形分类:
已知二次函数y=ax2+bx+c的图像经过A (-2,0)、B (4,0)、C (0,3)三点,联结BC 、AC ,该二次函数图像的对称轴与x 轴相交于点D .
(1)求这个二次函数的解析式、点D 的坐标及直线BC 的函数解析式.
(2)已知点P 是该二次函数图像上一动点,请探求以点P 、C 、D 、B 为顶点的四边形能否成为梯形?若能,请直接写出所有符合条件的点P 的个数及其坐标;若不能,请说明理由
4.菱形分类:
如图,在平面直角坐标系中,直线y=kx+b分别与x 轴负半轴交于点A ,与y 轴的正半轴交于点B ,⊙P 经过点A 、点B (圆心P 在x 轴负半轴上),已知AB=10,AP=25/4
(1)求点P 到直线AB 的距离;
(2)求直线y=kx+b的解析式;
(3)在⊙P 上是否存在点Q ,使以A 、P 、B 、Q 为顶点的四边形是菱形?若存在,请求出点Q 的坐标;若不存在,请说明理由.
∴M (-4,2)把x=-4代入y=2∴点M 在抛物线上∴存在这样的点M ,使四边形APCM 为矩形.
6.在平面直角坐标系xOy 中,二次函数y=x+bx+c的图象经过点A (0,3)和点B (3,0),其顶点记为点C .
(1)确定此二次函数的解析式,并写出顶点C 的坐标;
(2)将直线CB 向上平移3个单位长度,求平移后直线l 的解析式;
(3)在(2)的条件下,能否在直线上l 找一点D ,使得以点C 、B 、D 、O 为顶点的四边形是等腰梯形.若能,请求出点D 的坐标;若不能,请说明理由
(1)二次函数的为:y=x2-4x+3,顶点C 的坐标为(2,-1)
(2)直线l 的解析式为:y=x
(3)故所求的点D 的坐标为(2,2).
27.已知:如图所示,关于x 的抛物线y=ax+x+c(a≠0)与x 轴交于点A (-2,0)、点B (6,0),
与y 轴交于点C .
(1)求出此抛物线的解析式,并写出顶点坐标;
(2)在抛物线上有一点D ,使四边形ABDC 为等腰梯形,写出点D 的坐标。
(3)在(2)中的直线AD 交抛物线的对称轴于点M ,抛物线上有一动点P ,x 轴上有一动点Q .是否存在以A 、M 、P 、Q 为顶点的平行四边形?如果存在,请直接写出点Q 的坐标;如果不存在,请说明理由.
解:(1)抛物线的解析式为 y=-1/4x^2+x+3=-1/4(x-2)^2+4
∴顶点坐标是(2,4)
解:(2)在抛物线上有一点D ,使四边形ABDC 为等腰梯形
所以点D:(4,3) 设直线AD 的解析式为为:y=(1/2)x +1
解:(3)存在
共有四种情况如图: Q1(2√2-2,0)、 Q2(-2√2-2,0)、 Q3(6+2√6,0) 、Q4(6-2√6,0) 2