恒力做功与变力做功讲义
恒力做功与变力做功
一,恒力做功的计算
一个恒力F 对物体做功W=Fscosα有两种处理方法:一种是W 等于力F 乘以物体在力F 方向上的分位移scos α,即将物体的位移分解为沿F 方向上和垂直F 方向上的两个分位移s 1和s 2,则F 做的功W=F•s 1cos α。另一种是W 等于力F 在位移方向上的分力Fcos α乘以物体的位移s ,即将力F 分解为沿s 方向上和垂直s 方向的两个分力F 1和F 2,则力F 做的功W=F1cos α•s 。
例1 如图所示,光滑水平面上有木板B 长为L ,在B 上放一木块
A ,现给A 冲量使A 向右运动,由于A 、B 间存在摩擦力F ,B 也向
右运动,在B 向右运动s 的过程中,A 恰好运动到B 的右端,求摩擦
力对A 、B 两物体做的功。
分析:A 、B 间摩擦力为恒力,可用定义式W=F•scos α求。但要注意A 、B 间位移的关系。
解:在B 前移s 的过程中,A 的位移为s A =s+L,摩擦力对A 做的功W A =FA s A cos1800=-F (s+L),摩擦力对A 做负功。
摩擦力对B 做的功W B =FB s B cos00=Fs,摩擦力对B 做正功。
点评:上题中,A 、B 间的摩擦力FA 、FB 为作用力和反作用力,它们做的功显然不相等,代数和也不为零,同时注意到力对哪个物体做功,位移就必须用哪个物体的位移,摩擦力可做正功,可做负功可也可不做功。
例2 如图1-1所示,恒力F 拉细绳使物体A 在水平地面上产生位移s ,恒力的方向与水平面成θ角,求此过程中恒力对物体所做的功。
解法一:尽管物体的位移为s ,但恒力F 作用点的位移却与s 不同,根据功的定义,需确定出力的作用点移动的距离,由图1-2可知,恒力作用点的位移为L ,据几何关系有,L =2s cos
所做的功为:
θ2,所以恒力W =FL cos θ=F ⋅2s cos cos =2Fs cos 22222θθθ
解法二:因为本题中只有恒力对物体做功,所以做功做成可等效为如图1-3所示的情况,看成是作用在物体上的两个力使物体发生的位移,分析求出这两个力的功,再求两功的代数和即可得出恒力F 对物体所做的功。按照上述思路,根据图1-3的情景进行计算,则有:
2θW =Fs +Fs cos θ=Fs (1+cos θ) =2Fs cos 2
点评:当力对物体做功时,对于物体的位移与力的作用点的位移相一致时,可以直接根据功的定义进行计算,但对于本例题这样力的作用点的位移与物体的位移不一致的问题,则要进行具体分析。 二,变力做功的计算
1,W=Fscosα只能用来计算恒力的功,若是变力,求变力的功只有通过将变力转化为恒力,再用W=Fscosα计算。
2,有两类不同的力:一类是与势能相关联的力,比如重力、弹簧的弹力、以及电场力等,它们的功与
路径无关,只与位移有关或者说只与始末点的位置有关,另一类是滑动摩擦力、空气阻力等,在曲线
运动或往返运动时,这类力的功等于力和路径(不是位移)的乘积。
3,当物体在变力的作用下作曲线运动时,若力的方向与物体运动的切线方向之间的夹角不变,且力与位移的方向同步变化,可用微元法将曲线分成无限个小元段,每一小元段可认为恒力做功,总功即为各个小元段做功的代数和,即微元法。
4,求出变力F 对位移的平均力来计算,当变力F 为位移s 的线性函数时,平均力F =F 1+F 2. 2
5,作出变力F 随位移s 变化的图像,图像与位移轴所围的“面积”即为变力所做的功。
6,当某力做功的功率P 一定时,该力在时间t 内做的功可由W=Pt求出。
7,根据功和能的关系,如动能定理、功是能量转化的量度,通过求能的变化来求变力的功。 例3 如图2-1所示,用恒力F 通过光滑的定滑轮把静止在水平面上的物体
从位置A 拉到位移B ,物体的质量为m ,定滑轮离水平面的高度为h ,物
体在水平位置A 、B 时细绳与水平方向的夹角分别为θ1和θ2,求绳的拉力
对物体做的功。
解析:人拉绳的力是恒力,但绳拉物体的力的方向不断变化,故绳拉物体
的力F ’是变力,但此力对物体所做的功与恒力F 所做的功相等,力F 作用
的位移与物体的位移相关连,即s =h (11-) ,则细绳对物体的拉sin θ1sin θ2
力F ’所做的功为:W =W F =Fh (' 11- sin θ1sin θ2
例4 如图2-2所示,长度为l 、质量为m 的均匀细绳,一段置于水平的光滑桌面上,另一段a 垂于桌面下,当绳下滑全部离开桌面时,求重力所做的功。
分析:开始使绳下滑的力是a 段绳所受的重力,此后下垂的绳逐渐增大,使绳下滑的力也逐渐增大,且随下垂段的增长成线性增大,这是一个变力做功的问题,可用图像法分析。
解:设绳的质量为m ,开始使绳下滑的力是a 段绳所受的重力F =a mg ,当绳全部离开桌面时,绳l
下滑的位移是l-a ,且此时下滑力是整条绳所受的重力mg 。在此区间使绳下滑的重力均匀地增加,如图2-3所示。那么,重力做的功在竖直上就等于图线所包围的梯形面积,即
1a mg (l 2-a 2) W =⋅(mg +mg ) ⋅(l -a ) = 2l 2l
例5 电动机通过一绳吊起一质量为8kg 的物体,绳的拉力不能超过120N ,电动机的功率不能超过1200W ,要将此物体由静止起用最快的方式吊高90m (已知此物体在被吊高90m 时已开始以最大速度匀速上升)所需的时间为多少?
分析:本题可分为两个过程来处理,第一个过程是以绳所能承受的最大拉力拉物体,使物体匀加速上
升,第一个过程结束时,电动功率刚到达电动机的最大功率。第二个过程是电动机一直以最大功率拉
物体,拉力逐渐减小,物体变加速上升,当拉力减小至等于重力时,物体开始匀速上升。 在匀加速运动过程中,加速度a =
匀加速运动的末速度v 1=
匀加速上升时间t 1=F m -mg 120-8⨯10=m /s 2=5m /s 2 m 8P m 1200=m /s =10m /s F m 120v 110=s =2s a 5
v 10匀加速上升高度h 1=1t 1=⨯2m =10m 22
在功率恒定的上升过程中,最后匀速运动的速度v m =
此过程外力对物体做的总功W =P m t 2-mgh 2
由动能定理W =∆E K 得P m t 2-mgh 2=P m P m 1200==m /s =15m /s F mg 8⨯101212mv m -mv 1 22
代入数据解得t 2=5.75s
所需时间最少应为t=t1+t2=(2+5.75)s=7.75s。
随堂练习
1、 一质量为 m的小球,用长为l 的轻绳悬挂于O 点。小球在水平拉力F 作用下,从平衡位置P 点很缓慢地移动到Q 点,如图所示,则拉力F 所做的功为
A. mg l cos θ B. mg l (1-cos θ) C. F l cos θ D. F l sinθ
2、如图2所示,某力F=10N作用于半径R=1m的转盘的边缘上,力F 的大小保持不变,但方向始终保持与作用点的切线方向一致,则转动一周这个力F 做的总功应为:
A、 0J B、20πJ C 、10J D、20J.
3、一辆汽车质量为10kg ,从静止开始运动,其阻力为车重的0.05倍。其牵引力的大小与车前进的
3距离变化关系为F=10x+f0,f 0是车所受的阻力。当车前进100m 时,牵引力做的功是多少?
5
4、用铁锤将一铁钉击入木块,设木块对铁钉的阻力与铁钉进入木块内的深度成正比. 在铁锤击第一次时,能把铁钉击入木块内1 cm。问击第二次时,能击入多少深度?(设铁锤每次做功相等)
5、如图,斜面足够长,其倾角为α,质量为m 的滑块,距挡板P 为s 0,以速度v 0沿斜面上滑,滑块与斜面的动摩擦因数为μ,滑块所受摩擦力小于重力沿斜面向下的分力,若滑块每次与挡板相碰均无能量损失,求滑块在斜面上经过的总路程是多少?
6、如图4所示,AB 为1/4圆弧轨道,半径为0.8m ,BC 是水平轨道,长L=3m,BC 处的摩擦系数为1/15,今有质量m=1kg的物体,自A 点从静止起下滑到C 点刚好停止。求物体在轨道AB 段所受的阻力对物体做的功。
巩固练习
1、一滑块在水平地面上沿直线滑行,t=0时其速度为1 m/s.从此刻开始滑块运动方向上再施加一水平面作用力F, 力F 和滑块的速度v 随时间的变化规律分别如图a 和图b 所示。设在第1秒内、第2秒内、第3秒内力F 对滑块做的功分别为W 1、W 2、W 3, 则以下关系式正确的是( )
A. W1=W2=W3 B.W 1
2、如图,两个与水平面夹角相同的力F 1和F 2作用在质量相等的物体上,使物体在水平面内做匀速直线运动。甲图中F 1为拉力,乙图中F 2为推力,当两物体经相同位移时,F 1和F 2对物体做功分别为W 1和W 2,若两物体与水平面的动摩擦因数相同,则( )
A .W 1>W2 B .W 1=W2 C .W 1
3、一辆汽车在平直公路上从速度v0开始加速行驶,经时间t 后,前进了距离s, 此时恰好达到其最大速度vmax, 设此过程中发动机始终以额定功率P 工作,汽车所受阻力恒为F, 则在这段时间里,发动机所做的功为
A.Fs B.Pt C. v +v 01212 D. F ⋅m mv m +Fs -mv 0⋅t 222
4、人在A 点拉着绳通过一定滑轮吊起质量为m 的物体。如图所示,已知人拉绳子从A 到B 的过程中,物体由静止被提升了高度为h ,且人在B 处时,物体的速度为v ,求人在整个过程中拉力做的功的大小是多少?(忽略人的高度)
5、如图,斜面高H ,倾角为θ,滑块质量为m ,与斜面的动摩擦因数为μ,计算滑块由上端滑到底端过程中外力对物体做的总功。
6、如图甲,质量为m 的物块与倾角为θ的斜面相对静止,当斜面沿水平面向左匀速运动位移s 时,求物体所受重力、支持力、摩擦力做的功。